不等式选讲高考高考文科数学热点难点专题专题突破.docx

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不等式选讲高考高考文科数学热点难点专题专题突破

不等式选讲

1．不等式|x－4|＋|x－3|≤a有实数解的充要条件是________．

解析　a≥|x－4|＋|x－3|有解⇔a≥（|x－4|＋|x－3|）min＝1.

答案　a≥1

2．设x，y，z∈R，2x＋2y＋z＋8＝0则（x－1）2＋（y＋2）2＋（z－3）2的最小值为________．

解析（x－1）2＋（y＋2）2＋（z－3）2]（22＋22＋12）≥[2（x－1）＋2（y＋2）＋（z－3）]2＝（2x＋2y＋z－1）2＝81.

答案　9

3．已知函数f（x）＝|2x－a|＋a.若不等式f（x）≤6的解集为{x|－2≤x≤3}，则实数a的值为________．

解析　∵不等式f（x）≤6的解集为{x|－2≤x≤3}，

即－2，3是方程f（x）＝6的两个根，即|6－a|＋a＝6，|a＋4|＋a＝6，∴|6－a|＝6－a，|a＋4|＝6－a，即|6－a|＝|a＋4|，解得a＝1.

答案　1

4．若不等式|x＋|>|a－2|＋1对于一切非零实数x均成立，则实数a的取值范围是________．

解析　∵|x＋|≥2，

∴|a－2|＋1<2，即|a－2|<1，

解得1

.

答案　（1，3）

5．若不等式|x＋1|＋|x－3|≥|m－1|恒成立，则m的取值范围为________．

解析　∵|x＋1|＋|x－3|≥|（x＋1）－

（x－3）|＝4，

∴不等式|x＋1|＋|x－3|≥|m－1|恒成立，

只需|m－1|≤4.即－3≤m≤5.

答案　[－3，5]

6．设f（x）＝x2－bx＋c，不等式f（x）<0的解集是（－1，3），若f（7＋|t|）>f（1＋t2），则实数t的取值范围是_______

_．

解析　∵x2－bx＋c<0的解集是（－1，3），

∴>0且－1，3是x2－bx＋c＝0的两根，则函数f（x）＝x2－bx＋c图象的对称轴方程为x＝＝1，

且f（x）在[1，＋∞）上是增函数，

又∵7＋|t|≥7>1，1＋t2≥1，

则由f（7＋|t|）>f（1＋t2），

得7＋|t|>1＋t2，

即|t|2－|t|－6<0，

亦即（|t|＋2）（|t|－3）<0，

∴|t|<3，即－3

答案　（－3，3）

8．设函数f（x）＝|x－a|＋1，a∈R.

（1）当a＝4时，解不等式f（x）<1＋|2x＋1|；

（2

）若f（x）≤2的解集为[0,2]，＋＝a（m>0，n>0），求证：

m＋2n≥3＋2.

（2）依题可知|x－a|≤1⇒a－1≤x≤a＋1，所以a＝1，即＋＝1（m>0，n>0），所以m＋2n＝（m＋2n）·＝3＋＋≥3＋2

当且仅当m＝1＋，n＝1＋时取等号．

9．设函数f（x）＝|2x－a|＋|2x＋1|（a>0），g（x）＝x＋2.

（1）当a＝1时，求不等式f（x）≤g（x）的解集；

（2）若f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围．

解　

（1）当a＝1时，|2x－1|＋|2x＋1|≤x＋2

⇒无解，

⇒0≤x<，

⇒≤x≤

综上，不等式的解集为.

（2）|2x－a|＋|2x＋1|≥x＋2，转化为|2x－a|＋|2x＋1|－x－2≥0.

令h（

x）＝|2x－a|＋|2x＋1|－x－2，

因为a>0，所以h（x）＝，

在a>0下易得h（x）min＝－1，

令－1≥0，得a≥2.

10．已知函数f（x）＝|x－a|.

（1）若f（x）≤m的解集为{x|－1≤x≤5}，求实数a，m的值；

（2）当a＝2且0≤t≤2时，解关于x的不等式f（x）＋t≥f（x＋2）．

解　

（1）∵|x－a|≤m，∴－m＋a≤x≤m＋a.

∵－m＋a＝－1，m＋a＝5，

∴a＝2，m＝3.

（2）f（x）＋t≥f（x＋2）可化为|x－2|＋t≥|x|.

当x∈（－∞，0）时，2－x＋t≥－x,2＋t≥0，

∵0≤t≤2，∴x∈（－∞，0）；

当x∈[0,2）时，2－x＋t≥x，x≤1＋，0≤x≤1＋，

∵1≤1＋≤2，∴0≤x≤1＋；

当x∈[2，＋∞）时，x－2＋t≥x，t≥2，

当0≤t<2时，无解，

当t＝2时，x∈[2，＋∞）．

∴当0≤t<2时原不等式的解集为；

当t＝2时x∈[2，＋∞）．

11．设函数f（x）＝|2x＋1|－|x－2|.

（1）求不等式f（x）>2的解集；

（2）∀x∈R，使f（x）≥t2－t，求实数t的取值范围．

（2）易得f（x）min＝－，若∀x∈R都有f（x）≥t2－t恒成立，

则只需f（x）min＝－≥t2－，

解得≤t≤5.

12．已知函数f（x）＝|x－4|＋|x＋5|.

（1）试求使等式f（x）＝|2x＋1|成立的x的取值范围；

（2）若关于x的不等式f（x）

解　

（1）f（x）＝|x－4|＋|x＋5|＝

又|2x＋1|＝

所以若f（x）＝|2x＋1|，则x的取值范围是（－∞，－5]∪[4，＋∞）．

（2）因为f（x）＝|x－4|＋|x＋5|≥|（x－4）－（x＋5）|＝9，

∴f（x）min＝9.

所以若关于x的不等式f（x）f（x）min＝9，即a的取值范围是（9，＋∞）．

13．已知函数f（x）＝|x＋2|－|x－1|.

（1）试求f（x）的值域；

（2）设g（x）＝（a>0），若任意s∈（0，＋∞），任意t∈（－∞，＋∞），恒有g（s）≥f（t）成立，

试求实数a的取值范围．

解　

（1）函数可化为

f（x）＝

∴f（x）∈[－3，3]．

（2）若x>0，则g（x）＝＝ax＋－3≥2－3，即当ax2＝3时，g（x）min＝2－3，

又由

（1）知f（x）max＝3.

若∀s∈（0，＋∞），∀t∈（－∞，＋∞），恒有g（s）≥f（t）成立，则有g（x）min≥f（x）max，

∴2－3≥3，

∴a≥3，即a的取值范围是[3，＋∞）．

14．设函数f（x）＝|2x－1|－|x＋2|.

（1）求不等式f（x）≥3的解集；

（2）若关于x的不等式f（x）≥t2－3t在[0，1]上无解，求实数t的取值范围．

解　

（1）f（x）＝

所以原不等式转化为或或所

以原不等式的解集为∪[6，＋∞）．

（2）只要f（x）max＜t2－3t，

由

（1）知f（x）max＝－1＜t2－3t解得t＞或t＜.

15．设函数f（x）＝|x＋|＋|x－a|（a>0）．

（1）证明：

f（x）≥2；

（2）若f（3）<5，求a的取值范围．

（1）证明　由a>0，有f（x）＝|x＋|＋|x－a|≥|x＋－（x－a）|＝＋a≥2.所以f（x）≥2.

（2）解　f（3）＝|3＋|＋|3－a|.

当a

>3时，f（3）＝a＋，

由f（3）<5得3

当0

由f（3）<5得＜a≤3.

综上，a的取值范围是.

16．已知函数f（x）＝|x－a|，其中a>1.

（1）当a＝2时，求不等式f（x）≥4－|x－4|的解集；

（2）已知关于x的不等式|f（2x＋a）－2f（x）|≤2的解集为{x|1≤x≤2}，求a

的值．

解　

（1）当a＝2时，f（x）＋|x－4|＝

当x≤2时，由f（x）≥4－|x－4|得－2x＋6≥4，解得x≤1；

当2

当x≥4时，由f（x）≥4－|x－4|得2x－6≥4，解得x≥5；

所以f（x）≥4－|x－4|的解集为{x|x≤1或x≥5}．

（2）记h（x）＝f（2x＋a）－2f（x），

则h（x）＝

由|h（x）|

≤2，

解得≤x≤.

又已知|h（x）|≤2的解集为{x|1≤x≤2}，所以于是a＝3.

17．已知函数f（x）＝|x－2|＋|2x＋a|，a∈R.

（1）当a＝1时，解不等式f（x）≥4；

（2）若∃x0，使f（x0）＋|x0－2|<3成立，求a的取值范围．

（2）应用绝对值不等式，可得

f（x）＋|x－2|＝2|x－2|＋|2x＋a|＝|2x－4|＋|2x＋a|≥|2x＋a－（2x－4）|＝|a＋4|.（当且仅当（2x－4）（2x＋a）≤0时等号成立）

因为∃x0，使f（x0）＋|x0－2|<3成立，

所以（f（x）＋|x－2|）min<3，

所以|a＋4|<3，解得－7

故实数a的取值范围为（－7，－1）．

18．已知x，y∈R＋，x＋y＝4.

（1）要使不等式＋≥|a＋2|－|a－1|恒成立，求

实数a的取值范围；

（2）求证：

x2＋2y2≥，并指出等号成立的条件．

解　

（1）因为x，y∈R＋，x＋y＝4，

所以＋＝1.

由基本不等式，得

＋＝

＝＋

≥＋＝1，

当且仅当x＝y＝2时取等号．

要使不等式＋≥|a＋2|－|a－1|恒成立，

只需不等式|a＋2|－|a－1|≤1成立即可．

构造函数f（a）＝|a＋2|－|a－1|，

则等价于解不等式f（a）≤1.

因为f（a）＝

所以解不等式f（a）≤1，得a≤0.

所以实数a的取值范围为（－∞，0]．

（2）因为x，y∈R＋，x＋y＝4，

所以y＝4－x（0

于是x2＋2y2＝x2＋2（4－x）2

＝3x2－16x＋32＝32＋≥，

当x＝，y＝时等号成立．

19．知函数f（x）＝|2x－4|＋|x＋1|，x∈R.

（1）解不等式f（x）≤9；

（2）若方程f（x）＝－x2＋a在区间[0,2]上有解，

求实数a的取值范围．

解　

（1）f（x）≤9，即|2x－4|＋|x＋1|≤9，

即或或

解得2

∴不等式的解集为[－2,4]．

（2）当x∈[0,2]时，f（x）＝5－x.

由题意知，f（x）＝－x2＋a，即a＝x2－x＋5，x∈[0,2]，

故方程f（x）＝－x2＋a在区间[0,2]上有解，即函数y＝a和函数y＝x2－x＋5的图象在区间[0,2]上有交点，

∵当x∈[0,2]时，y＝x2－x＋5∈，

∴a∈.

20．f（x）＝|2x＋a|－|x－2|.

（1）当a＝－2时，求不等式f（x）≤4的解集；

（2）若关于x的不等式f（x）≥3a2－3|2－x|恒成立，求a的取值范围．

解　

（1）当a＝－2时，由f（x）≤4，

得2|x－1|－|x－2|≤4，

当x≤1时，由2（1－x）－（2－x）≤4，得－4≤x≤1；

当1

当x≥2时，由2（x－1）－（x－2）≤4，得2≤x≤4.

综上所述，f（x）≤4的解集为[－4,4]．

（2）由不等式f（x）≥3a2－3|2－x|，

得|2x＋a|－|x－2|＋3|x－2|≥3a2，

即为|2x＋a|＋|4－2x|≥3a2，

即关于x的不等式|2x＋a|＋|2x－4|≥3a2恒成立，

而|2x＋a|＋|2x－4|≥|（2x＋a）－（2x－4）|＝|a＋4|，

当且仅当（2x＋a）（2x－4）≤0时等号成立，

所以|a＋4|≥3a2，

解得a

＋4≥3a2或a＋4≤－3a2，

解得－1≤a≤或a∈∅.

所以a的取值范围是.

21．函数f（x）＝|2x＋1|.

（1）求不等式f（x）≤8－|x－3|的解集；

（2）若正数m，n满足m＋3n＝mn，求证：

f（m）＋f（－3n）≥24.

（1）解　此不等式等价于

或或

即不等式的解集为.

（2）证明　∵m>0，n>0，m＋3n＝mn，

∴m＋3n＝（m·3n）≤×，

即m＋3n≥12，

当且仅当

即时取等号，

∴f（m）＋f（－3n）＝|2m＋1|＋|－6n＋1|

≥|2m＋6n|，

当且仅当（2m＋1）（－6n＋1）≤0，即n≥时取等号，

又|2m＋6n|≥24，当且仅当m＝6，n＝2时，取等号，

∴f（m）＋f（－3n）≥24.

22．函数f（x）＝|3x－1|－|2x＋1|＋a.

（1）求不等式f（x）>a的解集；

（2）若恰好存在4个不同的整数n，使得f（n）<0，求a的取值范围．

解　

（1）由f（x）>a，得|3x－1|>|2x＋1|，

不等式两边同时平方，得9x2－6x＋1>4x2＋4x＋1，

即5x2>10x，解得x<0或x>2.

所以不等式f（x）>a的解集为（－∞，0）∪（2，＋∞）．

（2）设g（x）＝|3x－1|－|2x＋1|

＝

作出函数g（x）的图象，如图所示，

因为g（0）＝g

（2）＝0，g（3）

又恰好存在4个不同的整数n，使得f（n）<0，

所以即

故a的取值范围为.

23．函数f（x）＝x2＋|x－2|.

（1）解不等式f（x）>2|x|；

（2）若f（x）≥a2＋2b2＋3c2（a>0，b>0，c>0）对任意x∈R恒成立，求证：

·c<.

（1）解　由f（x）>2|x|，得x2＋|x－2|>2|x|，

即或

或

解得x>2或02或x<1.

所以不等式f（x）>2|x|的解集为（－∞，1）∪（2，＋∞）．

（2）证明　当x≥2时，f（x）＝x2＋x－2≥22＋2－2＝4；

当x<2时，f（x）＝x2－x＋2＝2＋≥，

所以f（x）的最小值为.

因为f（x）≥a2＋2b2＋3c2对任意x∈R恒成立，

所以a2＋2b2＋3c2≤.

又a2＋2b2＋3c2＝a2＋c2＋2（b2＋c2）

≥2ac＋4bc≥4，且等号不能同时成立，

所以4<，即·c<.

24.数f（x）＝|x＋|－|x－|.

（1）当a＝1时，解不等式f（x）≥；

（2）若对任意a∈[0,1]，不等式f（x）≥b的解集不为空集，求实数b的取值范围．

（2）∵不等式f（x）≥b的解集不为空集，

∴b≤f（x）max，

∵a∈[0,1]，∴f（x）＝|x＋|－|x－|

≤|x＋－x＋|

＝|＋|＝＋，

∴f（x）max＝＋

.

对任意a∈[0,1]，不等式f（x）≥b的解集不为空集，

∴b≤[＋]min，

令g（a）＝＋，

∴g2（a）＝1＋2·＝1＋2＝1＋2.

∴当a∈时，g（a）单调递增，当a∈时，g（a）单调递减，当且仅当a＝0或a

＝1时，g（a）min＝1，

∴b的取值范围为（－∞，1]．