完整版线性代数试题套卷及答案.docx
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完整版线性代数试题套卷及答案
（线性代数）
（A卷）
V
姓名:
题
号
-一-
-二二
三
总分
总分人
复分人
得
分
专业年级:
学号:
一、单项选择题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填
1•设Amn为实矩阵，则线性方程组Ax0只有零解是矩阵（AtA）为正定矩阵的
1，则行列式
（A）
40;
（B）16;
（C）3;
（D）40。
3.设向量组
S（S2）线性无关，且可由向量组1,2,
性表示，则以下结论中不能成立的是
7.
设n阶向量（x,0,,0,x）T,x0；矩阵AE
且A1E1T，则x
已知实二次型f（x1,x2,x3）X；4x；2x12ax1x22x2x3正定，则常数a的
取值范围为
a11
2a123a13，已知a110,则an
10.设A
1，已知向量A与线性相关,
得分
评卷人
三、分析计算题
（本大题共5小题，每小题
10分,
共50分）
11.
（1）求方程f（x）
0的根，其中
f（x）
X1
X2
Xn1
Xi
X2
yXn1
yXn
Xn
⑵计算n阶行列式D
12.设实向量
Xi
yXi
yX2
X2
Xn
Xn
aia2a3，其中
ai0，
Xn
Xn
3，矩阵AE
（1）试说明矩阵A能相似于对角阵;
（2）求可逆矩阵
p,使pFap为对角阵,
并写出此对角阵;
（3）求行列式IAE|。
x3
kx1（k1）x2x31
13．已知线性方程组
kx1kx2x32，试讨论：
2kx12（k1）x2kx32
（1）k取何值时，方程组无解；
（2）k取何值时,方程有唯一解，并求出其解;
（3）k取何值时,方程有无穷多解，并求出其通解。
222
14.设实二次型f（x1，x2，x3）2x15x24x1x25x34x1x38x2x3，
求：
正交变换xQy，将f化为标准型。
15.
设R3的基为
11，21，3
10
0。
（1）
试由
12
3
3构造R3的一个标准正交基
123
（2）
求由基1，
2，3到1，2，3的过渡矩阵P；
（3）已知向量
求向量
在基1，2，
3下的坐标。
、选择题
1.（C）2.（D）
线性代数
3.（B）4.（C）
期末试卷
5.（A）
（A）参考答案
二、填空题
-1,-3,0;
7.
1；
8.
|a|
77/2;
10.—1o
三、计算题
11.
（1）f（x）
5（x21）（x
9），X
-1,
3,-3;
（4分）
（2）D
n（n1）
1）F
12.
（1）A为实对称矩阵,
⑵因为A（E
（y
、n1
Xi）yo
（10分）
所以相似于对角阵。
（2分）
T）
）2，所以
2是A的特征值。
又秩r（T）1，|EA||
T|0，所以231是A的另两个特征值。
（X1,X2,X3）t为A对应
231的特征向量，则由
）a/82X2
83X3
0,得A对应231的线性无关的特征向量
a1
a2
（a2,a1,0）,
（a3,0,a1），令P（,1,2）a2
a3
a1
0
a3
0
a1
13.
（1）
E的特征值为一
2+仁—1,1+1=2,1+1=2，因此|AE|
k0时，r（A）2
0,k2时，r（A）
2时，r（A）r（A）
（7分）
（10分）
r（A）3，无解
（2
r（A）3，唯一解（X1,X2,X3）T
2，无穷多解，通解
X1
X2
X3
（2
1,0）T（6分）
（10分）
14.Q
3/5
4
3亦
3
2
3
2
3
（8
2
y1
2
y2
2
10y3。
（10分）
15.
（1）
1
46
342
242
42
（3分）
2,3）
注：
本题答案不唯一，如
3122
1（
3）
J6
（6分）
1
72
，则
（10分）
（线性代数）
卷）
题
号
-一-
-二二
三
总分
总分人
复分人
得
分
专业年级:
姓名:
学号:
、单项选择题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填
1.设A（aij）33的特征值为1,2,3,Aij是行列式|A|中兀素a」的代数余子式,
则小丨（A11A22A33）=
21
11
11
a.—;
b.——
c.—;
d.6。
6
6
3
0
0
1
a11
a12
a13
已知P0
1
0
，Aa21
a22
a23
，若PmAPnA，
则以下
选项中正确的是（
1
0
0
a31
a32
a33
a.m5,n
4;
b.m
5，n
5;
c.m4,n
5;
d.m4,n4。
）
2.
3.n维向量
s（3
sn）线性无关的充要条件是
a.存在不全为零的数
k1,k2,ks，使k11k22
ks
b.
s中任意两个向量都线性无关;
c.
s中任意一个向量都不能用其余向量线性表示;
d.
s中存在一个向量，它不能用其余向量线性表示。
4.设
A,B是正定矩阵，则以下矩阵中，一定是正定矩阵为（其中
ki,2为任意常数）
a.A+B
b.AB；
c.AB；
d.k1A+k2B。
5.已知矩阵
a，伴随矩阵
2
0，且Ax0有非零解，则
a.a2；
b.
c.a4；
d.a2且a
得分
评卷人
二、填空题（本大题共
5小题，每小题5分，共25分）
请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
6.设行列式D
7.设A是实对称
中元素aij的代数余子式，
Aij
逆矩阵，则将f
XTAX化为fYTA1Y的
变换为
&设矩阵A2
4X有特征值6,2,2,且A能相似于对角阵，则X=
35
9.已知
0是n维实列向量，矩阵AEkT,k为非零常数，则
A为正交矩阵的充分必要
条件为
10.设A
a1
2
a1
a2
a；
a3,b
a2
1，其中ai互不相同，i1,2,3,
1
则线性方程组ATX
b的解是
得分
评卷人
三、分析计算题
（本大题共
5小题，每小题
10分,
共50分）
11.计算n阶行列式:
X1
12•已知线性方程组
X1
X1
X1
X1
X2
X1
X3
X1
aX2
X3
X2
X2
X2y
X2
Xn
Xn1
Xn
Xn
Xny
Xn
Xn
Xn
1）
试问：
常数a，b取何值时，方程组有无穷多解、唯一解、无解？
当方程组有无穷多解时，求出其通解。
11
13．设A
1a
a1
1,
1
1,已知线性方程组Ax有解但不唯一。
试求：
2
a的值；
（2）正交矩阵Q,使得QtAQ为对角矩阵。
14．设矩阵A的伴随矩阵A
15．已知线性空间
R3的基
试求：
（1）基
，且
ABA1BA1
3E。
求矩阵B。
3到基
3的过渡矩阵为P，且
0，
1
1，
0
3；
（2）
在基
；P
3与
123
有相同坐标的全体向量。
选择题
填空题
计算题
1.b2.d
6.—11;
3.C
4.a
7.
10.
5.C
XA1Y；
8.x2；
11.D（
1）
n（n1）
—2~
n1（
（y
Xi）。
（10分）
12.
（1）A
a2,
X1
（2）X2
X3
13.解：
（1）方程组
特征值为
1
12
无穷多解;
AX
丄
46
2
丄
U6
a2唯一解；a
2,b1
无解
（5分）
14.由IA
||A|n
（10分）
有解但不唯一，所以r（A）
r（A）
（3分）
1，有|A|3
用A,A左右乘方程的两端,
（6分）
qtaq
得|A|
（2E
（10分）
）B
6E
（3分）
（6分）
*1
B6（2EA）1
（10分）
15.
（1）设A（
3）,B
2,
3）,则B
AP,故
111，
10
8，
8
－2；
3分）
2）设所求向量的坐标为
，则Ax
APx,即
A（PE）x0，
因为A为可逆矩阵，得
（P
E）x
0，
6分）
（PE）
得xk（1，－1，1），
8分）
故k（123）
k（2，1，3）T
10分）
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