完整版线性代数试题套卷及答案.docx

1、完整版线性代数试题套卷及答案(线性代数)(A卷)V姓名:题号-一-二二三总分总分人复分人得分专业年级:学号:一、单项选择题(本大题共 5小题，每小题5分，共25分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填1设Am n为实矩阵，则线性方程组 Ax 0只有零解是矩阵(AtA)为正定矩阵的1，则行列式(A)40 ;(B) 16;(C) 3;(D) 40。3.设向量组S (S 2)线性无关，且可由向量组 1 , 2 ,性表示，则以下结论中不能成立的是7.设n阶向量 (x ,0, ,0,x)T , x 0；矩阵A E且 A 1 E 1 T，则 x已知实二次型 f (x1,x2,x

2、3) X； 4x； 2x1 2ax1x2 2x2x3正定，则常数a的取值范围为a 112a 12 3a 13，已知 a 11 0 ,则 an10.设 A1 ，已知向量A与线性相关,得分评卷人三、分析计算题(本大题共5小题，每小题10分,共50分)11. (1)求方程 f(x)0的根，其中f(x)X1X2Xn 1XiX2y Xn 1y XnXn计算n阶行列式D12.设实向量Xiy Xiy X2X2XnXnai a2 a3 ，其中ai 0，XnXn3，矩阵A E(1)试说明矩阵A能相似于对角阵;(2)求可逆矩阵p,使p Fap为对角阵,并写出此对角阵;(3)求行列式I A E |。x3kx1 (k

3、 1)x2 x3 113已知线性方程组kx1 kx2 x3 2 ，试讨论：2kx1 2(k 1)x2 kx3 2(1) k取何值时，方程组无解； (2) k取何值时,方程有唯一解，并求出其解;(3) k 取何值时 ,方程有无穷多解，并求出其通解。2 2 214. 设实二次型 f (x1 ，x2 ，x3) 2x1 5x2 4x1x2 5x3 4x1x3 8x2x3 ，求：正交变换 x Q y ，将 f 化为标准型。15.设 R3 的基为1 1 ， 2 1 ， 3100。(1)试由1233 构造 R3 的一个标准正交基123(2)求由基 1 ，2， 3到 1， 2， 3 的过渡矩阵 P；(3) 已

4、知向量求向量在基 1 ， 2 ，3 下的坐标。、选择题1.(C) 2.(D)线性代数3.(B) 4.(C)期末试卷5.(A)(A)参考答案二、填空题-1,-3,0 ;7.1；8.|a|77/2 ;10. 1o三、计算题11. (1) f(x)5(x2 1)(x9)，X-1,3, - 3;(4 分)(2) Dn(n 1)1)F12. (1) A为实对称矩阵,因为A (E(y、n 1Xi)y o(10 分)所以相似于对角阵。(2分)T) 2 ，所以2是A的特征值。又秩 r( T) 1，|E A| |T | 0，所以2 3 1是A的另两个特征值。(X1 ,X2 ,X3)t 为 A 对应2 3 1的特

5、征向量，则由,)a/ 82X283X30,得A对应2 3 1的线性无关的特征向量a1a2(a2 , a1,0),(a3,0, a1 )，令 P ( ,1,2) a2a3a10a30a113. (1)E的特征值为一2 + 仁1, 1+1=2 , 1+1=2，因此 |A E |k 0 时，r(A) 20, k 2 时，r(A)2 时，r(A) r(A)(7分)(10 分)r(A) 3，无解(2r(A) 3，唯一解(X1,X2,X3)T2，无穷多解，通解X1X2X3(2,1, 0)T (6 分)(10 分)14. Q3/543亦32323(82y12y2210y3。(10 分)15. (1)1463

6、4224242(3 分)2 ,3)注：本题答案不唯一，如3 12 21(3）J6(6 分)172，则(10 分)（线性代数）卷）题号-一-二二三总分总分人复分人得分专业年级:姓名:学号:、单项选择题（本大题共 5小题，每小题5分，共25 分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填1.设A （aij）3 3的特征值为1, 2, 3, Ai j是行列式|A|中兀素a的代数余子式,则小丨(A11 A22 A33)=211111a.;b.c.;d. 6。663001a11a12a13已知P 010，A a21a22a23，若P mA Pn A，则以下选项中正确的是 （100a

7、31a32a33a. m 5 , n4 ;b. m5，n5 ;c. m 4 , n5 ;d. m 4 , n 4。)2.3. n维向量s (3s n）线性无关的充要条件是a.存在不全为零的数k1, k2 , ks，使 k1 1 k2 2ksb.s中任意两个向量都线性无关;c.s中任意一个向量都不能用其余向量线性表示;d.s中存在一个向量，它不能用其余向量线性表示。4.设A,B是正定矩阵，则以下矩阵中，一定是正定矩阵为（其中ki ,2为任意常数）a. A + Bb. A B ；c. A B ；d. k1 A + k2 B。5.已知矩阵a ，伴随矩阵20，且A x 0有非零解，则a. a 2 ；b

8、.c. a 4 ；d. a 2 且 a得分评卷人二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25 分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6 .设行列式 D7 .设A是实对称中元素aij的代数余子式，Ai j逆矩阵，则将fXTAX 化为 f Y TA 1Y 的变换为&设矩阵A 24 X有特征值6, 2, 2,且A能相似于对角阵，则X =3 59.已知0是n维实列向量，矩阵 A E k T, k为非零常数，则A为正交矩阵的充分必要条件为10.设 Aa12a1a2a；a3 , ba21 ，其中ai互不相同，i 1,2,3 ,1则线性方程组ATXb的解是得分评卷人三、分析计算题（本大题共

9、5小题，每小题10分,共50分）11.计算n阶行列式:X112已知线性方程组X1X1X1X1X2X1X3X1aX2X3X2X2X2 yX2XnXn 1XnXnXn yXnXnXn1)试问：常数 a，b 取何值时，方程组有无穷多解、唯一解、无解？当方程组有无穷多解时，求出其通解。1113设 A1aa11,11 ,已知线性方程组 Ax 有解但不唯一。试求：2a 的值；(2)正交矩阵Q,使得QtAQ为对角矩阵。14设矩阵 A 的伴随矩阵 A15已知线性空间R3 的基试求： (1) 基，且ABA 1 BA 13E 。求矩阵 B 。3到基3 的过渡矩阵为 P ，且0，11，03；(2)在基；P3与123

10、有相同坐标的全体向量。选择题填空题计算题1.b 2.d6. 11;3.C4.a7.10.5.CX A 1Y ；8. x 2 ；11. D (1)n(n 1)2n 1 (yXi)。 (10 分)12. (1) Aa 2,X1(2) X2X313.解：(1)方程组特征值为112无穷多解;AX丄462丄U6a 2唯一解；a2, b 1无解(5 分)14.由 I A| |A|n(10 分)有解但不唯一，所以r(A)r(A)(3 分)1，有 | A|3用A , A左右乘方程的两端,(6 分)qtaq得| A|(2E(10 分)B6E(3 分)(6 分)* 1B 6(2E A ) 1(10 分)15. (1)设 A (3), B2,3),则 BAP,故1 11 ，108，82 ；3 分）2）设所求向量的坐标为，则 AxAPx,即A(P E)x 0 ，因为 A 为可逆矩阵，得(PE)x0，6 分）(P E)得 x k（1，1，1） ，8 分）故 k( 1 2 3 )k（2，1，3）T10 分）