故选：
D.
【点睛】解法一是严格的证明求解方法,其中的极限处理在中学知识范围内需要用到指数函数的增长特性进行估计，解法二是根据基于对指数函数的图象的清晰的理解与认识的基础上，直观解决问题的有效方法.
8.有6个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回的随机取两次,每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”,乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”,丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”,丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”,则（）
A.甲与丙相互独立B.甲与丁相互独立
C.乙与丙相互独立D.丙与丁相互独立
【答案】B
【解析】
【分析】根据独立事件概率关系逐一判断
【详解】P（甲）=［，P（乙）=4,尸（丙）=3,尸（丁）=£='，
6636366
p（甲丙）=0?
p（甲）p（丙），p（甲T）=—=P（甲）P（丁），
P（乙丙）=—^P（乙）户（丙），P（丙丁）=0,P（丁）户（丙），
36
故选：
B
【点睛】判断事件&3是否独立，先计算对应概率,再判断P（A）PGB）=P（A3）是否
成立
二、选择题：
本题共4小题,每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9.有一组样本数据邑，可，…，X",由这组数据得到新样本数据乂，力，…，打，其中
必=x,.+c（Z=l,2,.../）,c为非零常数，则（）
A.两组样本数据的样本平均数相同
B.两组样本数据样本中位数相同
C.两组样本数据的样本标准差相同
D.两组样数据的样本极差相同
【答案】CD
【解析】
【分析】A、C利用两组数据的线性关系有E（y）=E（x）+c、D（y）=D（X）,即可判
断正误；根据中位数、极差的定义，结合已知线性关系可判断B、D的正误.
【详解】A：
E（y）=E（x+c）=E（x）+c且30,故平均数不相同,错误；
B：
若第一组中位数为％，则第二组的中位数为%=吐+c,显然不相同,错误；
C：
—D（x）+D（c）—D（x）t故方差相同，正确；
D：
由极差的定义知：
若第一组的极差为翥宓-Xmm,则第二组的极差为
Xnax-Vmin="max+C-（玉血+C）=-工nun,故极差相同，正确；故选：
CD
10.已知。
为坐标原点，点
*（cosa,sina）,g（cos”,-sin/?
）,心（cos（a+0）,sin（a+0））,A（l,0），则（）
A.|评1=1死|B.|独|=|死|
c.oaop3=o^o^d.oao^^o^o^
【答案】AC
【解析】
kUUIUuuu
【分析】A、B写出OP\,OPa、A*,Ag的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；
C、D根据向量的坐标,应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误.
【详解】A:
再=（cosa,sina）,OP2=（cos/?
-sin/?
）,所以
|OPX|=a/cos2a+sin2a=1,|0P21=^/（cos/?
）2+（-sinJ3）2=1,故IOPX|=|OP21,正确；
B：
APX=（cosa-l,sindz）,AP^=（cos/?
-1,-sin/?
），所以
|AF\\=J（cosa-1）2+sin2a=a/cos2a-2cosor+1+sin2a=J2（l-cosa）=^4sin2-^=21sin号|
同理|有|=J（cos"-l）2+sinV=2|sing,故|曹1,1有耳|不一定相等,错误；
C：
由题意得：
OA-OP^=lxcos（a+”）+Oxsin0+/?
）=cos0+/?
）,
OPX•OP2=cosa-cos/?
+sina•（-sin/?
）=cos0+/?
）,正确；
D：
由题意得：
OA-OF[=lxcosQ+Oxsina=cosa,
OP2•OP^=cos/?
xcos（cif+少）+（—sin”）xsin（a+p）
=cos（P+（a+P））=cos（a+2p）,故一般来说OkOPx^OP,OP3故错误；
故选：
AC
11.己知点P在圆3—5）2+3—5）2=16上,点人（4,0）、3（0,2），则（）
A.点尸到直线的距离小于10
B.点尸到直线的距离大于2
C.当ZPBA最小时,\PB\=3j2
D.当ZPBA最大时，\PB\=3^2
【答案】ACD
【解析】
【分析】计算出圆心到直线A3的距离，可得出点尸到直线的距离的取值范围,可判断AB选项的正误；分析可知，当ZPBA最大或最小时，PB与圆肱相切，利用勾股定理可判断CD选项的正误.
【详解】圆（x—5）2+（y—5）2=16的圆心为肱（5,5）,半径为4,
直线A3的方程为三+宣=1,即x+2y-4=0,
圆心M到直线AB的距离为，［2x5-4|=J1=追|>彳，
VI2+22V55
所以，点P到直线A3的距离的最小值为¥一4<2,最大值为兴1+4<1O,A选
项正确,B选项错误；
当ZPBA最大或最小时，PB与圆肱相切，连接"、可知PM上PB,网|=J（O—5）\（2—5）2=应,|MP|=4,由勾股定理可得
\BP\=yj\BMf-\MPf=3扼，CD选项正确.
故选：
ACD.
【点睛】结论点睛：
若直线/与半径为广的圆。
相离，圆心。
到直线/的距离为d,则圆。
上一点尸到直线/的距离的取值范围是[d-r,d+r]_
12.正三棱柱A3C-A4G中，AB=AAl=l,点尸满足质=赤+廊，其中
Ae[O,l],//g[0,1],则（）
A.当人=1时，的周长为定值
B.当〃=1时,三棱锥P-A.BC的体积为定值
C.当人=!
时,有且仅有一个点巳使得\PLBP
D.当"=:
时,有且仅有一个点巳使得平面
【答案】BD
【解析】
【分析】对于A,由于等价向量关系，联系到一个三角形内，进而确定点的坐标；对于B,将P点的运动轨迹考虑到一个三角形内，确定路线，进而考虑体积是否为定值；
对于C,考虑借助向量的平移将。
点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解P点的个数；
对于D,考虑借助向量的平移将尸点轨迹确定,进而考虑建立合适的直角坐标系来求解尸点的个数.
y
B
易知，点P在矩形BCC]Bi内部（含边界）.
对于A,当人=1时，BP=BC+piBBx=BC+pi€Cx,即此时Pe线段K,△AB『周长不是定值，故A错误；
对于B,当〃=1时，BP=ABC+BB^=BB^+AB^，故此时P点轨迹为线段3©,而
B.CJ/BC,BXCX〃平面A3C,则有尸到平面ABC的距离为定值，所以其体积为定值,故B正确.
对于C,当洋!
时，序=；配+泌瓦，取中点分别为Q,H,则
BP=BQ+^iQH,所以尸点轨迹为线段QH,不妨建系解决，建立空间直角坐标系如
图，A，g，o，i；p（o,o”），虬。
，!
，。
）则
AP=,&尸=]°，一!
，，，同尸,时=//（//_1）=0,所以〃=0或
"=1.故均满足，故C错误；
1_.—1——-
对于D,当A=-0t,BP=ABC+-BB｛，取凹，*中点为M,N.BP=BM+4MN,
（n（也、
所以P点轨迹为线段设PO,yo,-，因为A—AO，所以
V7\7
—「右1）—fJ31311I
AP=，AB=—5'5'T，所以项+5%_5=°0丸=一5,此时尸与
、」4）k匕匕J匕匕匕
N重合，故D正确.
故选：
BD.
【点睛】本题主要考查向量的等价替换，关键之处在于所求点的坐标放在三角形内.
三、填空题：
本题共4小题,每小题5分，共20分.
13.已知函数/（x）=x3（«-2'-2是偶函数，则a=.
【答案】1
【解析】
【分析】利用偶函数的定义可求参数"的值.
【详解】因为/'（工片力。
？
一2-，），故/'（—*）=一丁（。
.27-2*）,
因为f（x）为偶函数，故/x）=/（x）,
时V（a.2,—2—x）=—V（a.2-x—2、），整理得到（a—1）（2、+2一，）=0,
故"=1,
故答案为：
1
14.已知。
为坐标原点，抛物线C：
y2=2px（P>0）的焦点为F,P为C上一
点，PF与工轴垂直，Q为x轴上一点，且PQLOP,若|F0=6,则C的准线方程为
3
【答案】x=--
【解析】
【分析】先用坐标表示P，Q,再根据向量垂直坐标表示列方程，解得。
，即得结果.
【详解】抛物线c：
y2=2px（p>0）的焦点
为C上一点，PF与X轴垂直，
所以P的横坐标为代入抛物线方程求得P的纵坐标为土P,
不妨设P（%，P）,
因为Q为X轴上一点，且PQ^OP，所以Q在F的右侧，
又•.•|FQI=6,
nUUD
•••06+§0）,.・如=（6,-p）
因为PQKOP，所以PQOP=^x6-p2=0,
Qp>0,:
.p=3,
3
所以。
的准线方程为》=-；
3
故答案为：
x=-|.
【点睛】利用向量数量积处理垂直关系是本题关键.
15.函数/（x）=|2x-l|-21nx的最小值为.
【答案】1
【解析】
【分析】由解析式知/'（X）定义域为（O，+0,讨论0l,并结合导数研究的单调性，即可求/'（X）最小值.
【详解】由题设知：
/（x）=|2x-l|-21nx定义域为（0,+8）,
.•.当0<》
时,/'3）=1-2工一2111工,此时/'3）单调递减；
12
当-2x
2
当』>1时,/（x）=2x-l-21nx,有f（x）=2-一>0,此时/'⑴单调递增；
x
又r（x）在各分段的界点处连续，
...综上有：
0<》<1时”3）单调递减，x>l时，f（x）单调递增；
/«>/①=1
故答案为：
1.
16.某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折,规格为20dmxl2dm的长方形纸，对折1次共可以得到
10dmxl2dm,20dmx6dm两种规格的图形，它们的面积之和S=240dm2，对折2次共可以得到5dmxl2dm,10dmx6dm,20dmx3dm三种规格的图形,它们的面积之和S2=180dm2,以此类推,则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为；如果对折兀次那么£&=dm2.
k=l
【答案】⑴.5
（2）.720-型空
2
【解析】
【分析】
（1）按对折列举即可；
（2）根据规律可得S“，再根据错位相减法得结果.
【详解】
（1）由对折2次共可以得到5dmxl2dm,10dmx6dm,20dmx3dm三种规53
格的图形，所以对着三次的结果有：
-xl2,5x6,10x3；20x-,共4种不同规格（单位
dm）；
5533
故对折4次可得到如下规格：
-xl2,-x6,5x3,10x-,20x-（共5种不同规格；
（2）由于每次对着后的图形的面积都减小为原来的一半,故各次对着后的图形，不论规格如何，其面积成公比为!
的等比数列,首项为120（dn?
）,第"次对折后的图形面积为120x[!
]，对于第n此对折后的图形的规格形状种数，根据
（1）的过程和结论，猜想为"+1种（证明从略），故得猜想$.=12；台+1）,
_120x2^120x3^120x4,120（〃+1）
120（"+1）
攻3=2。
+~+22+L+~2^-'
-36012012°（〃+1）一36012°（〃+3）
2"
2"
2“_i*■
故答案为：
5；720_15"3）
2”-4
【点睛】方法点睛：
数列求和的常用方法：
（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；
（2）对于｛%"｝结构，其中｛%｝是等差数列，｛如｝是等比数列,用错位相减法求和;
（3）对于｛an+bn｝结构，利用分组求和法；
（4）对于二一结构，其中｛%｝是等差数列，公差为雄却），则
11/11'
=;，利用裂项相消法求和.
%知叭％an+i）
四、解答题：
本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（、0+1,"为奇数，
17.已知数列｛%｝满足％=1,%+1=<头佃尚
[%+2,〃为偶数.
（1）记bn=a2n>写出如妇并求数列｛々｝的通项公式；
（2）求0｝的前20项和.
【答案】
（1）访=2,々=5；
（2）300.
【解析】
【分析】
（1）根据题设中的递推关系可得哈=如+3,从而可求｛々｝的通项.
（2）根据题设中的递推关系可得｛«„）的前20项和为$2。
可化为
‘20=2（々+人2+人9+如）一10,利用
（1）的结果可求$20.
【详解】
（1）由题设可得4=。
2=%+1=2,如=。
4=%+1=%+2+1=5
又a2k+2=a2k+l+1,a2k+l=%k+2,（k£N）
故a2k+2=S+3,即bn+l=0〃+3,即bn+i—bn=3
所以但｝为等差数列，故如=2+（〃-l）x3=3〃-1.
（2）设｛%｝的前20项和为S20,则S20=%+。
2+。
3+。
20,因为%=缶—1，%=。
4—L,,,，"19=。
20一］，
所以，20=2（%+。
4%8+。
20）—1°
（9x10\
=2（々+凡+・..+勾+々0）-10=2乂10乂2+^—、3-10=300.
【点睛】方法点睛：
对于数列的交叉递推关系,我们一般利用已知的关系得到奇数项的递推关系或偶数项的递推关系，再结合已知数列的通项公式、求和公式等来求解问题.
18.某学校组织“一带一路”知识竞赛，有两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答,若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分,否则得0分；3类问题中的每个问题回答正确得80分,否则得0分，己知小明能正确回答A类问题的概率为0.8,能正确回答3类问题的概率为0.6,且能正确回答问题的概率与回答次序无关.
（1）若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；
（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？
并说明理由.
【答案】
（1）见解析；
（2）B类.
【解析】
【分析】
（1）通过题意分析出小明累计得分X的所有可能取值，逐一求概率列分布列即可.
（2）与
（1）类似，找出先回答3类问题的数学期望，比较两个期望的大小即可.
【详解】
（1）由题可知，X的所有可能取值为0,20,100.
p（x=o）=l-0.8=0.2；
p（X=20）=0.8（1-0.6）=0.32；
P（X=100）=0.8x0.6=0.48.
所以X的分布列为
X
0
20
100
p
0.2
0.32
0.48
（2）由
（1）知，研X）=0x0.2+20x0.32+100x0.48=54.4.
若小明先回答3问题，记P为小明的累计得分，则P的所有可能取值为0,80,100.
p（y=0）=1-0.6=0.4；
p（y=80）=0.6
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