1996考研数一真题及解析.docx
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1996考研数一真题及解析
1996年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题
一、填空题（本题共5个小题，每小题3分，满分15分,把答案填在题中横线上.）
（1）设lim（^-2a）x=8,则a=.
yx_a
⑵设一平面经过原点及点（6,-3,2）,且与平面4x—y•2z=8垂直，则此平面方程为
⑶微分方程y"—2y"+2y=ex的通解为.
⑷函数u=1n（x「.._y2—z2）在A（1,0,1）点处沿A点指向B（3,-2,2）点方向的方向导数为.
Z102、
⑸设A是4汇3矩阵,且A的秩r（A）=2,而B=020,则r（AB）=
L03』
二、选择题（本题共5个小题，每小题3分,满分15分.在每小题给出的四个选项中，只有-项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.）
（1）已知（xay）dx2ydy为某函数的全微分，则a等于（）
（x+y）
（A）-1（B）0（C）1（D）2
⑵设f（x）有二阶连续导数，且f（0）=0,lim二上■凶=1,则（）
T|x|
（A）f（0）是f（x）的极大值
（B）f（0）是f（x）的极小值
（C）（0,f（0））是曲线ynf（x）的拐点
（D）f（0）不是f（x）的极值,（0,f（0））也不是曲线y二f（x）的拐点
...00"兀九
⑶设an0（n=1,2川I）,且7an收敛，常数—（°,一），则级数（T）n（ntan-）a2n
n#2心n
（）
（A）绝对收敛（B）条件收敛（C）发散（D）收敛性与■有关
X22
⑷设f（x）有连续的导数，f（0）=0,f（0）=0,F（x）（x-t）f（t）dt,且当x—.0
时,F（x）与xk是同阶无穷小，则k等于（）
（A）1
（B）2
（C）3（D）4
印
0
0
bi
0
a2
b2
0
（5）四阶行列式
的值等于
（）
0
b3
a3
0
b4
0
0
a4
（A）
a1a2a3a^b1b2b3b4
（B）
印&2&3&4+0b2b3b4
（C）
@代—朋2）@3印—bsb4）（D）
@2a3—bzbsXa©—bbO
三、（本题共2小题，每小题5分,满分10分.）
（1）求心形线r=a（1•cost）的全长，其中a•0是常数•
⑵设N=10,Xnq-、6•xn（n=1,2,11I）,试证数列1人？
极限存在，并求此极限
四、（本题共2小题，每小题6分,满分12分.）
（1）计算曲面积分11（2xz）dydzzdxdy,其中S为有向曲面z-x2y2（0_z_1）,其
S
法向量与z轴正向的夹角为锐角•
_x—2y-2幷2r-2厂2
设变换一一y，可把方程6二zZ=0化简为-=0,求常数a,其22
u=xay:
x:
xy:
y:
u：
v
中z=z（x,y）有二阶连续的偏导数
五、（本题满分7分）
求级数'—2n的和.
n^（n-1）2
六、（本题满分7分）
设对任意x0,曲线y二f（x）上点（x,f（x））处的切线在y轴上的截距等于
1x
if（t）dt,求f（x）的一般表达式.
x0
七、（本题满分8分）
设f（x）在［0,1］上具有二阶导数,且满足条件|f（x）|^a,|f（X）也b,其中a,b都是非
负常数，c是（0,1）内任一点，证明|f（c）国2ab.
2
八、（本题满分6分）
设A二E-其中E是n阶单位矩阵「是n维非零列向量，“是的转置，证明:
（1）A2二A的充要条件是=1；
（2）当=1时，A是不可逆矩阵.
九、（本题满分8分）
已知二次型f（x1,x2,x3）=5x：
•5x；-ex；-2x1x2-6x1x^6x2x3的秩为2.
（1）求参数c及此二次型对应矩阵的特征值；
（2）指出方程f（x1，x2,x3^1表示何种二次曲面•
十、填空题（本题共2小题，每小题3分，满分6分.）
（1）设工厂A和工厂B的产品的次品率分别为1囁口2%,现从由A和B的产品分别占60唏口
40%勺一批产品中随机抽取一件，发现是次品，则该次品属A生产的概率是.
^-n|的数学期望E（©—□）=.
十一、（本题满分6分.）
设Jn是相互独立且服从同一分布的两个随机变量，已知匕的分布律为p{£=i}=丄
3
i=1,2,3,又设X=max（,），丫二min（,）.
（2）求随机变量X的数学期望E（X）.
1996年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析
一、填空题（本题共5个小题，每小题3分,满分15分,把答案填在题中横线上.）
（1）【答案】In2
【解析】这是1:
型未定式求极限•
方法一：
x-a3ax
x2ax3a37xra
lim（）=lim
（1）3ax,
x—f：
x-ax—厂x-a
3a—
令=t,则当X—；*:
时,t>0,
x-a
则
-x-a1
3a—-
llm
（1）3a=llm
（1）=e,
即
x+2alim3axlim3a
llm（x空）x=ex詔；=e3a.
由题设有
e3a=8,得aJn8=ln2.
3
方法二：
讪□X
lim
—x—ax■-
由题设有e
3a
⑵【答案】
【解析】
二lim
…1-
X
al
x
x
2aa
limI1--
x
x.、
—（-a）
aa
2a
e3a
a=ee
2x2y_3z=0
方法一：
所求平面过原点O与M0（6,-3,2）,其法向量n_
「6-3,2?
;
平面垂直于已知平面4x-y・2z=8,它们的法向量也互相垂直：
n_n0-14,-1,2』；
4-12
取n=2i，2j-3k,则所求的平面方程为2x，2y-3z=0.
方法二：
所求平面即为过原点，与两个不共线的向量（一个是从原点到点M0（6,-3,2）的向量
OM0—6,-3,2二另
是平面4x-y・2z=8的法向量n0-\4,-1,2?
）平行的平面，
xyz即6-32=0,即2x+2y-3z=0.
4-12
⑶【答案】ex（qcosxc2sinx1）
【解析】微分方程y-2y：
2y=ex所对应的齐次微分方程的特征方程为
r2—2r+2=0,解之得片,2=1土i.故对应齐次微分方程的解为y=ex（Gcosx+C2sinx）.
由于非齐次项e^’a=1不是特征根，设所给非齐次方程的特解为y*（x）=aex，代入y“-2y：
2y二ex得a=1（也不难直接看出y*（x）二ex）,故所求通解为
y=ex（C1cosxC2sinx）ex二ex（C1cosxC2sinx1）.
【相关知识点】①二阶线性非齐次方程解的结构：
设y*（x）是二阶线性非齐次方程
/P（x）y：
Q（x）y二f（x）的一个特解.Y（x）是与之对应的齐次方程
yP（x）y：
Q（x）y=0的通解,则y=Y（x）•y*（x）是非齐次方程的通解.
2二阶常系数线性齐次方程通解的求解方法：
对于求解二阶常系数线性齐次方程的通解
Y（x）,可用特征方程法求解：
即y：
P（x）y：
Q（x）y=0中的P（x）、Q（x）均是常数，方程变为目py'qy=0.其特征方程写为r2pr0,在复数域内解出两个特征根片，r2；
分三种情况：
（1）两个不相等的实数根r1,r2,则通解为y二Ge*1C2er'x;
（2）两个相等的实数根片=r2,则通解为y=G•C2xe內；
（3）一对共轭复根r!
2=o（±iB,则通解为y=尹（GcosBx+C2sinBx）.其中C1,C2为常数.
*
3对于求解二阶线性非齐次方程鸟P（x）y•Q（x）y=f（x）的一个特解y（x）,可用待
定系数法，有结论如下：
如果f（x）=Pm（x）e",则二阶常系数线性非齐次方程具有形如y*（x）=xkQm（x）e"
的特解，其中Qm（x）是与P,（x）相同次数的多项式，而k按•不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取0、1或2.
如果f（x）=eqP（x）coseox+Pn（x）sincox],则二阶常系数非齐次线性微分方程
yp（x）y'q（x）y=f（x）的特解可设为
y*=xke"[Rm°（x）cos3x+R9（x）sinmx],
其中Rm）（x）与R?
（x）是m次多项式，m二maxl,n』,而k按■i•（或'■■■■-i-）不是特征
方程的根、或是特征方程的单根依次取为0或1.
1
⑷【答案】丄
2
【分析】先求方向l的方向余弦和,然后按方向导数的计算公式
excycz
-cos—cos—cos求出方向导数-i:
x內:
z
将函数u=In（x•yz）分别对x,y,z求偏导数得
_1
~2
⑸【答案】
-1
【相关知识点】r（AB）空min（r（A）,r（B））.若A可逆，则
r（AB）^r（B）=r（EB）=r[A‘（AB）]乞r（AB）.
从而r（AB）二r（B）,即可逆矩阵与矩阵相乘不改变矩阵的秩
二、选择题（本题共5个小题，每小题3分，满分15分.在每小题给出的四个选项中，只有项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.）
（1）【答案】（D）
【解析】由于存在函数u（x,y）,使得du=（xay）dxydy-,
（x+y）2（x+y）2
由可微与可偏导的关系，知
6u_x+ay旬_y
衣（xy）2为（xy）2
分别对y,x求偏导数，得
22
ua（xy）-（xay）2（xy）（a_2）x_ay.x.y
c2u
_2_2
由于
:
y:
x
'-与'u连续,所以
jx:
yyx.xy
（a-2）x-ay-2y_a_2
33_■a_2,
（xy）（xy）
f（x）
百=10,所以由函数极限的局部保号性
可知,在x=0的空心领域内有
f（x）
0,即f（X）0,所以f（x）为单调递增.
|x|
又由f（0）=0,f（x）在x=0由负变正，由极值的第一充分条件，x=0是f（x）的极小值点,即f（0）是f（x）的极小值.应选（B）.
【相关知识点】极限的局部保号性：
设limf（x）=A.若A0（或A：
：
：
0）=―0,当
x沁
0vx—x（）v6时，f（x）>0（或f（x）c0）.
⑶【答案】（A）
□0QQ
【解析】若正项级数'Jan收敛，则7a2n也收敛，且当n=时，有
n占nT
n
用比较判别法的极限形式，有
ntana2n
limn0.
i：
a2n
oO
因为va2n收敛，所以
n:
d
【相关知识点】正项级数比较判别法的极限形式:
qQoQ
设Jun和Jvn都是正项级数,且lim上二A,则n丄n2n"_un
oCoC
（1）当0叮A时,7Un和7Vn同时收敛或同时发散;
n卫n卫
qQqQOOqQ
⑵当A=0时，若vun收敛，则vvn收敛；若vvn发散，则aun发散;
ngn=4nJnJ
□0oooaco
（3）当A=:
:
时,若vvn收敛,则un收敛；若un发散,则vn发散.
ngngn-1nJ
⑷【答案】（C）
【解析】用洛必达法则•
2xx2
由题可知F（x）=X20f（t）dt-°t2f（t）dt,
对该积分上限函数求导数，得
X22X
F"（x）=2x0f（t）dt+xf（x）-xf（x）=2xJ0f（t）dt,
xx
2xf（t）dt2f（t）dt
00
k—xmik=丨叫
xXTxXTx
若F（x）2f（x）”
有limklimk,=f（0）=0,
XTxk—（k—1）（k—2）x
故应选（C）.
【相关知识点】设在同一个极限过程中，:
-（X）,■-（X）为无穷小且存在极限lim厶区二l,
B（x）
（1）若l=0,称〉（x）,-（x）在该极限过程中为同阶无穷小；
（2）若l=1,称〉（X）,-（X）在该极限过程中为等价无穷小，记为〉（X）U■-（X）；
（3）若l=0,称在该极限过程中〉（x）是■-（X）的高阶无穷小，记为〉（x）=o-（X）.
若lim（X）不存在（不为:
:
）,称〉（x）,F：
（x）不可比较.B（x）
（5）【答案】（D）
【解析】可直接展开计算
a2
b2
0
0
a2
b2
D=a1
b3
a3
0
_b1
0
b3
a3
0
0
a4
b4
0
0
所以选（D）.
三、（本题共2小题，每小题5分，满分10分.）
（1）【解析】由极坐标系下的弧微分公式得
ds=r2（v）r2⑺dv-a（1cost）2sin2dv
=a〈2（1+cos^）dB=2acos*d日.
由于r=r（r）二a（1•cost）以2二为周期，因而二的范围是▼[0,2二].
又由于r（n）二r（-打,心形线关于极轴对称.由对称性，
KK6「日严
s=2ds=4acos—d=8asin8a•0'02_20
（2）【解析】用单调有界准则•
由题设显然有x,0,数列、x?
有下界.
证明人单调减：
用归纳法.x2=用6-石=6-10=4：
：
：
为；设xn：
：
：
人」，则
xn6xn：
：
：
6'xn4=xn.
由此，Xn单调减.由单调有界准则，n|jmXn存在.
设rl^Xn=a，（a去0），在恒等式xn41=丁6+召两边取极限，即
lim-xnj=lim—.、、6xn=a=.6a，
n」：
.nj：
：
'
解之得a=3（a二-2舍去）.
【相关知识点】1.单调有界准则：
单调有界数列必有极限
2•收敛数列的保号性推论：
如果数列：
人？
从某项起有焉_0（或人乞0）,且limxn=a,那
n_ac
么a_0（或a^O）.
（1）
【分析一】见下图所示，S在xOy平面与yOz平面上的投影均易求出，分别为
Dxy
xOy平面上.求11（2x■z）dydz时，若投影到xOy平面上，被积函
S
=2x乙Q（x,y,z）=0,R（x,y,z）二z,则|二PdydzRdxdy.
S
这里，2•1=3,若用高斯公式求曲面积分I,则较简单.因S不是封闭曲
；:
x訶:
z
面,故要添加辅助曲面.
【解析】方法一：
均投影到平面xOy上,则
I=（2xz）dydzzdxdy二[（2xz）（--^）（x2y2）]dxdy,
SDEx
xy
其中z=X2y2,Dxy:
x2y2^1.
把—-2x代入,得
:
x
I=-4x2dxdyii2x（x2y2）dxdy亠11（x2y2）dxdy,
DxyDxyDxy
由对称性得
22222
112x（xy）dxdy=0,114xdxdy=2!
!
（xy）dxdy,
DxyDxyDxy
xy
利用极坐标变换有
13
^-.0djrdr「2二
方法二：
分别投影到yOz平面与xOy平面.
投影到yOz平面时S要分为前半部分S|:
x=,z-y2与后半部分Six--z-y2
X
（2
-c/Y
-
z）dydz亠11（2xz）dydz亠11zdxdy.
S2S
由题设,对S法向量与x轴成钝角，而对s＞法向量与x轴成锐角•将I化成二重积分得
I--（2,z-y2z）dydz亠,（_2、、z_y2z）dydz亠11（x2y2）dxdy
Dxy
DyzDyz
--411...z-y2dydz亠11（x2y2）dxdy.
DyzDxy
=40（1-y2）2dyy^sint£02cos4tdt
43
=
34224
〕〕Jz_y2ydz=J；dzQjz_y2dy=
Dyz_z
（这里1\'z-ydy是半径为z的圆面积的一半.）
oo3T
ii（x2y2）dxdy（同方法一）.
Dxy2
因此,
JIJE31
I_-4——■—=一一.
422
方法三：
添加辅助面S：
z=1（x2+y2兰1）,法方向朝下
!
!
（2xz）dydzzdxdy=dxdy=-1dxdy--二，S'S/
其中D是$在平面xy的投影区域：
x2y2<1.
22
S与S即z=x+y与z=1围成区域0,S与S的法向量指向0内部，所以在0上
满足高斯公式的条件，所以
11（2xz）dydzzdxdy二-3iiidV
S.S1I.1
11
=一3[dz口dxdy=—3（0兀zdz=
D（z）
其中，D（z）是圆域：
x2y2_z,面积为二z.
33
因此,I（2xz）dydzzdxdy（理）二
Si
c2z
22
-2宀2厂2
代入6二ZZ^0,并整理得
:
议：
：
x：
：
y讨
22222
■
ZZyZZ2、JZ
622=（1°5a）（6a-a）2=。
・
.x；x:
y:
yju:
v:
v
于是，令6■a—a0得a=3或a--2.
z
a=-2时,105a=0,故舍去，a=3时,10•5a严0,因此仅当a=3时化简为—0.
（5u£v
【相关知识点】多元复合函数求导法则：
若u=u（x,y）和v=v（x,y）在点（x,y）处偏导数存
在，函数z=f（u,v）在对应点（u,v）具有连续偏导数，则复合函数z=-f[u（x,y）,v（x,y）]在
点（x,y）处的偏导数存在，且
:
z
.x
:
f：
u：
f:
v
.:
u:
x
:
v.x
:
Z:
f：
u：
f:
v
=r
L\.L\L\
:
y.u.y.v.y
五、（本题满分7分）
【解析】
先将级数分解
oO
A2n
心（n2-1）2n
二1
一
2n十
1
n-1
1
n=22n-1
二1
、—
n-1
n：
22
n1
‘'1：
：
1
=H—一-Z
nd2nn^2n
001
A1n~2
nT2n
A=A_A.
由熟知
ln（1-x）幕级数展开式，即|n（1x）
（-1：
：
XE1），得
丄1门（1_丄）=丄1n2,
424
_-（」）n
n
n£2nn仝n2
因此,
=-z
^「『冷今2一心11
n=1
一丄ln2」,
288
A=A|-A2
Iln2.
84
六、（本题满分7分）
【解析】曲线y=f（x）上点（x,f（x））处的切线方程为
Y-f（x）=f（x）（X-x）.
令X=0得y轴上的截距Y二f（x）-f（x）x.由题意，
1x
x.0f（t）dt=f（x）-f（X）x.
为消去积分，两边乘以x,得0f（t）dt二xf（x）-f（x）x2,
（*）
将恒等式两边对x求导,得
f（x）二f（x）xf（x）-2xf（X）-X2f（x）,
xf（x）f（x）=0.
在（*）式中令x=0得0=0自然成立.故不必再加附加条件.就是说
f（x）是微分方程
xyy=0的通解•下面求解微分方程xyy=0.
方法一：
xyy=0二xy=0=xy=C「
因为x0,所以yJC1
两边积分得y二f（x）=GInx•C2•
方法二：
令y=P（x）,则y解xP：
P=0得rC1
x
再积分得y=f（x）=GInx•C2•
七、（本题满分8分）
【解析】由于问题涉及到f,f与「的关系，自然应当利用泰勒公式
而且应在点c展开:
f"心2
f（x）二f（c）f（x）（x-c）（x-c）2,在c与x之间•
2!
分别取x=0,1得
f'7it）2
f（0Hf（c）f（c）（0-c）0（0-c）,0在c与0之间,2!
f牡1）2疋
f
（1）=f（c）+「（c）（1—c）+（1—6，匕在c与1之间，
1
两式相减得f
（1）-f（0）=f（c）[f
（1）（1-C）2-f（0）c2],
2!
于是f（c）=f
（1）-f（0）-£[f
（1）（1-c）2-f（°）c2].
2!
1212
由此|「©中
（1）+|口0）+刁|「@1）（1—0+-|f'^0）c
122b
岂2ab[（1-c）c]：
：
2a
22
八、（本题满分6分）
【解析】⑴因为T,T为数J"为n阶矩阵，所以
A2=（E_t）（e_t）=e_2T.（T）T=e_（2_T）T,
因此，A2=A=E_（2_T）T二E_T=（T1）T=0
因为•是非零列向量，所以」T=0,故A2二A=T-1=0,即^1.
⑵反证法•当'T=
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