四边形知识点经典总结.docx
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四边形知识点经典总结
四边形知识点:
一、关系结构图:
二、知识点讲解:
1.平行四边形的性质(重点):
ABCD是平行四边形
2.平行四边形的判定(难点):
.
3.矩形的性质:
因为ABCD是矩形
(4)是轴对称图形.它有两条对称轴.
4矩形的判定:
矩形的判定方法:
(1)有一个角是直角的平行四边形;
(2)有三个角是直角的四边形;
(3)对角线相等的平行四边形;
(4)对角线相等且互相平分的四边形.四边形ABCD是矩形.
5.菱形的性质:
因为ABCD是菱形
6.菱形的判定:
四边形四边形ABCD是菱形.
7.正方形的性质:
ABCD是正方形
8.正方形的判定:
四边形ABCD是正方形.
名称
定义
性质
判定
面积
平
行
四
边
形
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
1对边平行;
②对边相等;
③对角相等;
④邻角互补;
⑤对角线互相平分;
⑥是中心对称图形
①定义;
②两组对边分别相等的四边形;
③一组对边平行且相等的四边形;
④两组对角分别相等的四边形;
⑤对角线互相平分的四边形。
S=ah(a为一边长.h为这条边上的高)
矩
形
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
除具有平行四边形的性质外.还有:
①四个角都是直角;②对角线相等;③既是中心对称图形又是轴对称图形。
①有三个角是直角的四边形是矩形;②对角线相等的平行四边形是矩形;③定义。
S=ab(a为一边长.b为另一边长)
菱
形
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
除具有平行四边形的性质外.还有①四边形相等;②对角线互相垂直.且每一条对角线平分一组对角;③既是中心对称图形又是轴对称图形。
①四条边相等的四边形是菱形;②对角线垂直的平行四边形是菱形;③定义。
①S=ah(a为一边长.h为这条边上的高);
②
(b、c为两条对角线的长)
正
方
形
有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形
具有平行四边形、矩形、菱形的性质:
①四个角是直角.四条边相等;②对角线相等.互相垂直平分.每一条对角线平分一组对角;③既是中心对称图形又是轴对称图形。
①有一组邻边相等的矩形是正方形;②有一个角是直角的菱形是正方形;③定义。
①
(a为边长);
②
(b为对角线长)
三.精典例题解答:
1.已知:
如图.E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点.AE=CF。
求证:
(1)△ADF≌△CBE;
(2)EB∥DF。
证明:
(1)∵AE=CF∴AE+EF=CF+FE即AF=CE
又ABCD是平行四边形.∴AD=∥BC∴∠DAF=∠BCE
在△ADF与△CBE中
∴△ADF≌△CBE(SAS)
(2)∵△ADF≌△CBE∴∠DFA=∠BEC∴DF∥EB
例1图例2图
2.如图.平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点、F是直线AC上的两点.并且AE=CF.求证:
四边形BFDE是平行四边形。
证明:
∵四边形ABCD是平行四边形
∴OA==OD
又∵AE=CF
∴OA+AE=OC+CF即OE=OF
∴四边形BFDE是平行四边形
3.如图.在梯形纸片ABCD中.AD∥>CD.将纸片沿过点D的直线折叠.使点C落在AD上的点C’处.折痕DE交BC于点E.连结
。
求证:
四边形
是菱形。
证明:
根据题意可知
则
.
.
∵AD∥BC∴
∴∠CDE=∠CED
∴CD=CE∴
∴四边形
为菱形
例3图
4.把正方形ABCD绕着点A.按顺时针方向旋转得到正方形AEFG.边FG与BC交于点H(如图)。
试问线段HG与线段HB相等吗请先观察猜想.然后再证明你的猜想。
解:
HG=HB。
证法1:
连结AH.
∵四边形都是正方形
∴∠B=∠G=90°
由题意知AG=AB.又AH=AH
∴Rt△AGH≌Rt△ABH(HL)
∴HG=HB
证法2:
连结GB
∵四边形都是正方形
∴∠ABC=∠AGF=90°
由题意知AB=AG
∴∠AGB=∠ABG
∴∠ABC-∠ABG=∠AGF-∠AGB即∠HBG=∠HGB
∴HG=HB
5.如图.正方形ABCD绕点A逆时针旋转n°后得到正方形AEFG.边EF与CD交于点O。
(1)以图中已标有字母的点为端点连结两条线段(正方形的对角线除外).要求所连结的两条线段相
交且互相垂直.交说明这两条线段互相垂直的理由;
(2)若正方形的边长为2cm.重叠部分(四边形AEOD)的面积为
.求旋转的角度n。
解:
(1)我连结的两条相交且互相垂直的线段是____AO____和____DE____。
理由如下:
∵在Rt△ADO与Rt△AEO中.AD==AO.
∴Rt△ADO≌Rt△AEO
∴∠DAO=∠OAE(即AO平分∠DAE)
∴AO⊥DE(等腰三角形的三线合一)
注:
其它的结论也成立如GD⊥BE。
(2)∵四边形AEOD的面积为
∴三角形ADO的面积=
∵AD=2
∴
∴∠DAO=30°
∴∠EAB=30°即旋转的角度是30°
例5图例6图
6.四边形ABCD、DEFG都是正方形.连接AE、CG。
(1)求证:
AE=CG;
(2)观察图形.猜想AE与CG之间的位置关系.并证明你的猜想。
证明:
(1)如图.
∵AD==DG.∠ADC=∠GDE=90°
又∠CDG=90°+∠ADG=∠ADE
∴△ADE≌△CDG
∴AE=CG
(2)猜想:
AE⊥CG。
证明:
如图.设AE与CG交点为与CG交点为N
∵△ADE≌△CDG
∴∠DAE=∠DCG
又∵∠ANM=∠CND
∴△AMN∽△CDN
∴∠AMN=∠ADC=90°
∴AE⊥CG
7.已知:
如图.在△ABC中.AB=⊥BC.垂足为点是△ABC外角∠CAM的平分线.CE⊥AN.垂足为点E.
(1)求证:
四边形ADCE为矩形;
(2)当△ABC满足什么条件时.四边形ADCE是一个正方形并给出证明。
证明:
(1)在△ABC中.AB=⊥BC
∴∠BAD=∠DAC
∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线
∴∠MAE=∠CAE
∴
又∵AD⊥⊥AN
∴∠ADC=∠CEA=90°
∴四边形ADCE为矩形
(2)当
时(答案不唯一).四边形ADCE是正方形。
证明:
∵AB=⊥BC于D
∴
又
∴DC=AD
由
(1)四边形ADCE为矩形
∴矩形ADCE是正方形
例8图
8.将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠.使点C与A重合.点D落到
处.折痕为EF。
(1)求证:
△ABE≌△AD′F;
(2)连接CF.判断四边形AECF是什么特殊四边形证明你的结论。
证明:
(1)由折叠可知:
.
.
∵四边形ABCD是平行四边形
∴∠B=∠=CD.∠C=∠BAD
∴∠B=∠D′.AB=AD′
∠D′AE=∠BAD.即∠1+∠2=∠2+∠3
∴∠1=∠3
∴△ABE≌△AD′F
(2)四边形AECF是菱形。
由折叠可知:
AE=EC.∠4=∠5
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC
∴∠5=∠6
∴∠4=∠6
∴AF=AE
∵AE=EC
∴AF=EC
又∵AF∥EC
∴四边形AECF是平行四边形
∵AF=AE∴四边形AECF是菱形。
9.如下图.已知P正方形ABCD的对角线AC上一点(不与A、C重合).PE⊥BC于点⊥CD于点F.
(1)求证:
BP=DP;
(2)若四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转.在旋转过程中是否总有BP=DP若是.请给予证明;若不
是.请用反例加以说明;
(3)试选取正方形ABCD的两个顶点.分别与四边形PECF的两个顶点连结.使得到的两条线段在四边
形PECF绕点C按逆时针方向旋转的过程中长度始终相等.并证明你的结论.
思路分析:
(1)解法一:
在△ABP与△ADP中.利用全等可得BP=DP.
解法二:
利用正方形的轴对称性.可得BP=DP.
(2)不是总成立.当四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转.点P旋转到BC边上时.
DP>DC>BP.此时BP=DP不成立.
说明:
未用举反例的方法说理的不得分.
(3)连接BE、DF.则BE与DF始终相等.
在图中.可证四边形PECF为正方形.
在△BEC与△DFC中.可证△BEC≌△DFC.
从而有BE=DF
10.为创建绿色校园.学校决定对一块正方形的空地进行种植花草.现向学生征集设计图案.图案要求只能用圆弧在正方形内加以设计.使正方形和所画的图弧构成的图案.既是轴对称图形又是中心对称图形.种植花草部分用阴影表示.请你在图③、图④、图⑤中画出三种不同的的设计图案.
提示:
在两个图案中.只有半径变化而圆心不变的图案属于同一种.例如:
图①、图②只能算一种.
解:
以下为不同情形下的部分正确画法.答案不唯一.
11.如图.等腰梯形ABCD中.AB==20.∠C=30°。
点M、N同时以相同速度分别从点A、点D开始在AB、AD(包括端点)上运动。
(1)设ND的长为x.用x表示出点N到AB的距离.并写出x的取值范围。
(2)设
.用t表示△AMN的面积。
(3)求△AMN的面积的最大值.并判断取最大值时△AMN的形状。
解:
(1)过点N作BA的垂线NP.交BA的延长线于点P。
由已知:
.
。
∵四边形ABCD是等腰梯形.AB∥CD.∠D=∠C=30°.
∴∠PAN=∠D=30°。
在Rt△APN中.
.
即点N到AB的距离为
。
∵点N在AD上.
.点M在AB上.
.
∴x的取值范围是
。
(2)根据
(1).
。
(3)∵
.∴当t=0时.即x=10时.
有最大值25。
当x=10时.即ND=AM==AD-ND=10.即AM=AN。
此时.△AMN为等腰三角形。
12.(08通州22改编)如图.在
ABCD中.AB==6cm.∠DAB=60°.点M是边AD上一点.且DM=2cm.点E、F分别是边AB、BC上的点.EM、CD的延长线交于交AD于O.设AE=CF=x.
(1)试用含x的代数式表示△CGF的面积;
(2)当GF⊥AD时.求AE的值。
解:
(1)∵在平行四边形ABCD中CD=AB==AD=6
∵DM==6.∴AM=4.
取AM、ME中点P、Q.则由中位线定理知.PQ∥AE且
。
由AE∥GD可得PQ∥GD从而△DGM≌△PQM
∴
.
过点F作FN⊥CD于N.
∵∠C=∠A=60°.CF=x
∴
∴
(2)当GF⊥AD时.
∵AD∥BC.∠GDA=∠A=60°
∴∠OGD=30°.GF⊥BC
∴在Rt△GFC中.
即:
∴
∴
∴当GF⊥AD时.