矩形正方形和菱形的判定方法.docx
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矩形正方形和菱形的判定方法
、考点分析:
矩形、正方形和菱形是特殊的平行四边形，是考试中重要的考点。
二、教学目标：
1.掌握矩形、正方形和菱形的判定方法
三、教学内容
正方形巩固练习
例题1如图,正方形ABCD勺边长为12,点E是BC上的一点，BE=5,点F是BD上一动点•
（1）AF与FC相等吗？
试说明理由.
（2）设折线EFC的长为y,试求y的最小值，并说明点F此时的位置.
【解】
（1）AF与FC相等,其理由如下：
可证：
△ABF^△CBF二AF=CF
（2）连接AE,则AE与BD的交点就是此时F点的位置
此时y有最小值,最小值为.12252=13.
例题2如图，正方形ABCD中,P是对角线AC上一动点，PEIABPF⊥BC垂足分别为E、F小红同学发现：
PD⊥EF,且PD=EF且矩形PEBF的周长不
变•不知小红的发现是否正确，请说说你的看法.
【解】小红的发现是正确，其理由如下：
连接BP,延长DP交EF于Q.
（1）：
四边形ABCD是正方形
∙∙∙CB=CD∠BCP∠DCP=45
•••△BCP^△DCP∙∙∙PD=PB
又∙∙∙PEIABPF⊥BC，
∙∙∙∠BEP=/BFP=ZEBF=90,二四边形BEPF是矩形
∙∙∙PB=EF,∙∙∙PD=EF
（2）：
PEIABPF⊥BC•••△AEP^n△CFP^均为等腰直角三角形
∙∙∙AE=PE,CF=PF
•••矩形PEBF的周长=AB+BC=2AB为定值）
（3）：
PF//CD∙∙∙∠FPQ∠PDC
•••△BCP^△DCP∙∠PDC∠PBF
•••四边形PEBF是矩形,∙∠PBF=/PEF
∙∠PEF=ZFPQ
又τ∠PEF+∠PFE=90,∙∠FPQ∠PFE=90
∙∠PQF=90,∙∙∙PDLEF.
【另证】延长EP交CD于点R,则CFPF为正方形
∙可证△PEF^△RDF
∙∠PEF=ZPDR
又τ∠DPR∠EPQ
而∠PDR∠DPR=90,∙∠PEF+∠EPQ=90
∙∠EQP=90°,∙∙∙PDLEF.
课堂练习1如图1,在边长为5的正方形ABCD中，点E、F分别是BC、DC边上的点，且AE—EF,BE=2
（1）如图2,延长EF交正方形外角平分线CP于点P,试判断AE与EP的大小关系，并说明理由；
（2）
在图2的AB边上是否存在一点M,使得四边形DMEP是平行四边形?
若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由•
梯形
回顾梯形性质及判断定理
梯形一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形.
（1）一些基本概念（如图）：
底、腰、高.
底：
平行的一组对边叫做梯形的底•（较短的底叫做上底，较长的底叫做下
底）
腰：
不平行的一组对边叫做梯形的腰•
高：
两底间的距离叫做梯形的高•
直角梯形：
一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形•等腰梯形：
两腰相等的梯形叫做等腰梯形•
（2）等腰梯形：
两腰相等的梯形叫做等腰梯形.
3）直角梯形：
有一个角是直角的梯形叫做直角梯形.
结论：
1等腰梯形是轴对称图形，上下底的中点连线是对称轴.
2等腰梯形同一底上的两个角相等.
3等腰梯形的两条对角线相等.
解决梯形问题常用的方法：
（1）“平移腰;:
把梯形分成一个平行四边形和一个三角形;
（2）“作高”：
使两腰在两个直角三角形中
（3）“平移对角线”：
使两条对角线在同一个三角形中
（4）“延腰”：
构造具有公共角的两个等腰三角形
（5）“等积变形”，连结梯形上底一端点和另一腰中点，并延长与下底延长线交于一点，构成三角形（图5）.
图3图4图5
综上所述：
解决梯形问题的基本思想和方法就是通过添加适当的辅助线,
把梯形问题转化为已经熟悉的平行四边形和三角形问题来解决•
例1•如图，梯形ABCD中，AD//BC,∠B=70°,∠C=40°,AD=6cm,BC=15cm.求CD的长.
分析：
设法把已知中所给的条件都移到一个三角形中，便可以解决问题•其方法是：
平移一腰，过点A作AE//DC交BC于E,因此四边形AECD是平行四边形，由已知又可以得到△ABE是等腰三角形（EA=EB）,因此
CD=EA=EB=BC—EC=BC—AD=9cm.
解（略）.
例2（补充）已知：
如图，在梯形ABCD中，AD//BC,∠D=90°,∠CAB=∠ABC,BE⊥AC于E.求证：
BE=CD.
分析：
要证BE=CD需添加适当的辅助线，构造全等三角形，其方法是：
平移一腰，过点D作DF//AB交BC于F,因此四边形ABFD是平行四边形，则DF=AB由已知可导出∠DFC∠BAE因此Rt△ABE^Rt△FDC（AAS,故可得出BE=CD证明（略）
另证：
如图，根据题意可构造等腰梯形ABFD证明△ABE^△FDC即可.
例3:
如图4.9-4,梯形ABCD中，AD//BC,∠B=70°,∠C=40°,AD=6crpBC=15cm求CD的长.
练习1已知等腰梯形的锐角等于60°它的两底分别为15cm和49Cm求它的
腰长.
练习2已知：
如图4.9-5,梯形ABCD中AD//BCE是AB的中点，DEL
CE,求证：
AD+BC=DC.
练习3:
1、填空
（1）
在梯形ABCD中，已知AD//BC,∠B=50°,∠C=80°,AD=a,BC=b,,则
8cm,则AD=2、如图4.9-6,等腰梯形ABCD中，AB=2CD,AC平分∠DAB,AB=43,
（1）求梯形的各角•
（2）求梯形的面积.
3、
（1）在梯形ABCD中，已知AD//BC,∠B=50°,∠C=80°,AD=a,BC=b,,则DC=_.
（2）直角梯形的高为6cm,有一个角是30°,则这个梯形的两腰分别是_和_.
（3）等腰梯形ABCD中，AB//DC,AC平分∠DAB,∠DAB=60°,若梯形周长为
8cm,贝UAD=.
4.已知：
如图，在等腰梯形ABCD中，AB//CD,AB>CD,AD=BC,BD平分∠ABC,
∠A=60°,梯形周长是20cm,求梯形的各边的长.（AD=DC=BC=4,AB=8）
课堂小结
1、梯形的定义及分类
2、等腰梯形的性质：
（1）具有一般梯形的性质：
AD//BC.
（2）两腰相等:
AB=CD.
（3）两底角相等：
∠B=∠C,∠A=∠D.
（4）是轴对称图形，对称轴是通过上、下底中点的直线.
（5）两条对角线相等：
AC=BD.
两条对角线的交点在对称轴上.
两腰延长线的交点在对称轴上.
等腰梯形的判断
例2（补充）证明：
对角线相等的梯形是等腰梯形.
已知：
如图，梯形ABCD中,对角线AC=BD求证：
梯形ABCt是等腰梯形.
VAC=BD，∙∙∙DE=BD二∠1=∠E
V∠2=∠E,∙∙∙∠仁∠2
又AC=DBBC=CE二ΔABC^ΔDCB二AB=CD
•••梯形ABCD是等腰梯形.
说明：
如果ACBD交于点0,那么由∠1=∠2可得OB=OCoA=OD即等腰
梯形对角线相交，可以得到以交点为顶点的两个等腰三角形，这个结论虽不能直接引用，但可以为以后解题提供思路.
问：
能否有其他证法，引导学生作出常见辅助线，如图，作AEIBqDF⊥Bq
可证
RtΔABC^RtΔCAE得∠1=∠2.
例3（补充）已知：
如图，点E在正方形ABCD勺对角线AC上，CF⊥BE交BD
于G,F是垂足.求证：
四边形ABGE是等腰梯形.
分析：
先证明OmOG从而说明∠OEGF45°,得出EG//AB,由AEBG延
长交于O,显然EG≠AB得出四边形ABGE是梯形，再利用同底上的两角相等得出它为等腰梯形.
例4（补充）画一等腰梯形，使它上、下底长分别4cm12Cm高为
3cm并计算这个等腰梯形的周长和面积•
分析：
梯形的画图题常常通过分析，找出需添加的辅助线，归结为三角形或平行四边形的作图，然后，再根据它们之间的联系，画出所要求的梯形.
如图，先算出AB长，可画等腰三角形ABE然后完成口AECD勺画图.
画法：
①画ΔABE使BE=I—4=8Cm
屈"二』4币二曲.
2延长BE到C使EC=4cm.
3分别过AC作AD//BC，CD//AEADCD交于点D.
四边形ABCDt是所求的等腰梯形.
解：
梯形ABCD周长F4+12+5×2=26cm.
12
S梯形ABCD■（43=24Cm.
2
2
答：
梯形周长为26Cm面积为24cm.
例5：
.如图4.9-4,已知等腰梯形ABCD勺腰长为5cm上、下底长分别是6cm和12Cm求梯形的面积.（方法一，过点C作CElAD,再作等腰三角形BCE的高CF,可知CF=4cm然后用梯形面积公式求解；方法二，过点C和D分
AG=B^=-（A£-Cn）=3
别作高CFDG可知二•,从而在Rt△AGD中求出高
DG=4cm.）
图4,9-4
课后练习
1、填空
（1）在梯形ABCD中，已知AD//BC,∠B=50°,∠C=80°,AD=a,BC=b,,则
DC=
（2）直角梯形的高为6cm,有一个角是30°,则这个梯形的两腰分别是_和_.
（3）等腰梯形ABCD中，AB//DC,AC平分∠DAB,∠DAB=60°,若梯形周长为
8cm,贝UAD=—I
2、如图4.9-6,等腰梯形ABCD中，AB=2CD,AC平分∠DAB,AB=4-3,
（1）求梯形的各角.
（2）求梯形的面积.
3、
（1）在梯形ABCD中，已知AD//BC,∠B=50°,∠C=80°,AD=a,BC=b,,则
DC=
（2）直角梯形的高为6cm,有一个角是30°,则这个梯形的两腰分别是—和—.
（3）等腰梯形ABCD中，AB//DC,AC平分∠DAB,∠DAB=60°,若梯形周长为
8cm,贝UAD=
4.已知：
如图，在等腰梯形ABCD中，AB//CD,AB>CD,AD=BC,BD平分∠ABC,
∠A=60°,梯形周长是20cm,求梯形的各边的长.（AD=DC=BC=4,AB=8）
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