专题圆形有界磁场中磁聚焦规律有问题详解.docx
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专题圆形有界磁场中磁聚焦规律有问题详解
专题、圆形有界磁场中“磁聚焦”的相关规律练习
当圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等时，存在两条特殊规律；
规律一：
带电粒子从圆形有界磁场边界上某点射入磁场，如果圆形磁场的半径与圆轨迹
半径相等，则粒子的出射速度方向与圆形磁场上入射点的切线方向平行，如甲图所示。
规律二：
平行射入圆形有界磁场的相同带电粒子，如果圆形磁场的半径与圆轨迹半径相等，则所有粒子都从磁场边界上的同一点射出，并且出射点的切线与入射速度方向平行，如乙图所示。
【典型题目练习】
1．如图所示，在半径为R的圆形区域内充满磁感应强度为B的匀强磁
场，MN是一竖直放置的感光板．从圆形磁场最高点P垂直磁场射入大量的带正电，电荷量为q，质量为m，速度为v的粒子，不考虑粒子间的相互作用力，关于这些粒子的运动以下说法正确的是（）
A．只要对着圆心入射，出射后均可垂直打在MN上
B．对着圆心入射的粒子，其出射方向的反向延长线不一定过圆心
C．对着圆心入射的粒子，速度越大在磁场中通过的弧长越长，时间也越长
D．只要速度满足vqBR，沿不同方向入射的粒子出射后均可垂直打在MN上m
2．如图所示，长方形abed的长ad=0.6m，宽ab=0.3m，O、e分别是ad、bc的中点，以e为圆心eb为半径的四分之一圆弧和以O为圆心Od为半径的四分之一圆弧组成的区域内有垂直纸面向里的匀强磁场（边界上无磁场）
-7
磁感应强度B=0.25T。
一群不计重力、质量m=3×10-7kg、电荷量
-32
q=+2×10-3C的带正电粒子以速度v=5×102m/s沿垂直ad方向且垂直于磁场射人磁场区域，则下列判断正确的是（）
A．从Od边射入的粒子，出射点全部分布在Oa边
B．从aO边射入的粒子，出射点全部分布在ab边
C．从Od边射入的粒子，出射点分布在ab边
D．从ad边射人的粒子，出射点全部通过b点
3．如图所示，在坐标系xOy内有一半径为a的圆形区域，圆心坐标为O1（a，0），圆内分布有垂直纸面向里的匀强磁场，在直线y=a的上方和直线x=2a的左侧区域内，有一沿x轴负方向的匀强电场，场强大小为E，一质量为m、电荷量为+q（q>0）的粒子以速度v从O点垂直于磁场方向射入，当入射速度方向沿x轴方向时，粒子恰好从O1点正上方的A点射出磁场，不计粒子重力，求：
（1）磁感应强度B的大小；
（2）粒子离开第一象限时速度方向与y轴正方向的夹角；
（3）若将电场方向变为沿y轴负方向，电场强度大小不变，粒子以速度v从O点垂直于磁
场方向、并与x轴正方向夹角θ=300射入第一象限，求粒子从射入磁场到最终离开磁场的总
时间t。
5．如图所示，在xoy坐标系中分布着三个有界场区：
第一象限中有一半径为r=0.1m的圆形磁场区域，磁感应强度B1=1T，方向垂直纸面向里，该区域同时与x轴、y轴相切，切点分
别为A、C；第四象限中，由y轴、抛物线FG（y10x2x0.025，单位：
m）和直线DH（yx0.425，单位：
m）构成的区域中，存在着方向竖直向下、强度E=2.5N/C的匀
强电场；以及直线DH右下方存在垂直纸面向里的匀强磁场B2=0.5T。
现有大量质量m=1×10-6
kg（重力不计），电量大小为q=2×10-4C，速率均为20m/s的带负电的粒子从A处垂直磁场进入第一象限，速度方向与y轴夹角在0至1800之间。
（1）求这些粒子在圆形磁场区域中运动的半径；
（2）试证明这些粒子经过x轴时速度方向均与x轴垂直；（3）通过计算说明这些粒子会经过y轴上的同一点，并求出该点坐标。
6．如图所示，真空中一平面直角坐标系xOy内，存在着两个边长为L的正方形匀强电场区
域Ⅰ、Ⅱ和两个直径为L的圆形磁场区域Ⅲ、Ⅳ。
电场的场强大小均为E，区域Ⅰ的场强方
向沿x轴正方向，其下边界在x轴上，右边界刚好与区域Ⅱ的边界相切；区域Ⅱ的场强方向
沿y轴正方向，其上边界在x轴上，左边界刚好与刚好与区域Ⅳ的边界相切。
磁场的磁感应
0，L）、磁场方向垂直于xOy平面向外；
2
区域Ⅳ的圆心坐标为（0，L2）、磁场方向垂直于xOy平面向里。
两个质量均为m、电荷量均为q的带正电粒子M、N，在外力约束下静止在坐标为（3L，L）、（3L，23L）2224的两点。
在x轴的正半轴（坐标原点除外）放置一块足够长的感光板，板面垂直于xOy平面。
将粒子M、N由静止释放，它们最终打在感光板上并立即被吸收。
不计粒子的重力。
求：
1）粒子离开电场Ⅰ时的速度大小。
2）粒子M击中感光板的位置坐标。
3）粒子N在磁场中运动的时间。
7．如图所示，半圆有界匀强磁场的圆心O1在x轴上，OO1距离等于半圆磁场的半径，磁感
应强度大小为B1。
虚线MN平行x轴且与半圆相切于P点。
在MN上方是正交的匀强电场和匀强磁场，电场场强大小为E，方向沿x轴负向，磁场磁感应强度大小为B2。
B1，B2方
向均垂直纸面，方向如图所示。
有一群相同的正粒子，以相同的速率沿不同方向从原点O射入第I象限，其中沿x轴正方向进入磁场的粒子经过P点射入MN后，恰好在正交的电磁
场中做直线运动，粒子质量为m，电荷量为q（粒子重力不计）。
求：
（1）粒子初速度大小和有界半圆磁场的半径。
（2）若撤去磁场B2，则经过P点射入电场的粒子从y轴出电场时的坐标。
（3）试证明：
题中所有从原点O进入第I象限的粒子都能在正交的电磁场中做直线运动。
8．如图甲所示，真空中有一个半径r=0.5m的圆形磁场，与坐标原点相切，磁场的磁感应强
-3
度大小B=2.0×10-3T，方向垂直于纸面向里，在x=r处的虚线右侧有一个方向竖直向上的宽度L=0.5m的匀强电场区域,电场强度E=1.5×103N/C，在x=2m处有一垂直x方向的足够长的
荧光屏，从O点处向不同方向发射出速率相同的比荷q1.0109C/kg带负电的粒子，粒m
子的运动轨迹在纸面内。
一个速度方向沿y轴正方向射入磁场的粒子M，恰能从磁场与电场
的相切处进入电场。
不计重力及阻力的作用。
求：
（1）粒子M进入电场时的速度。
（2）速度方向与y轴正方向成30°（如图中所示）射入磁场的粒子N，最后打到荧光屏上,画出粒子N的运动轨迹并求该发光点的位置坐标。
9．如图甲所示,质量m=8.0×10-25kg，电荷量q=1.6×10-15C的带正电粒子从坐标原点O处沿
xOy平面射入第一象限内，且在与x方向夹角大于等于30°的范围内，粒子射入时的速度方向不同，但大小均为v0=2.0×107m/s。
现在某一区域内加一垂直于xOy平面向里的匀强磁场
y轴平行的荧光屏MN上,并且
（π=3.14求）：
磁感应强度大小B=0.1T，若这些粒子穿过磁场后都能射到与当把荧光屏MN向左移动时，屏上光斑长度和位置保持不变。
（1）粒子从y轴穿过的范围。
（2）荧光屏上光斑的长度。
（3）打到荧光屏MN上最高点和最低点的粒子运动的时间差。
（4）画出所加磁场的最小范围（用斜线表示）。
mv2m
R、T的
qBqB
参考答案
1．当v⊥B时，粒子所受洛伦兹力充当向心力，做半径和周期分别为
匀速圆周运动；只要速度满足vqBR时，在磁场中圆周运动的半径与圆形磁场磁场的半径m
由几何知识可知，粒子由P点到x轴的距离Sasin13a；
12
粒子在电场中做匀变速运动的时间：
t22Emqv；
2解得E8qmt2l02qmlv002
O1AO2K为菱形，
K点离开磁场，O1和O2分别是磁
2）考察从A点以任意方向进入磁场的的粒子，设其从场区域和圆周运动的圆心，因为圆周运动半径和磁场区域半径相同，因此离开磁场时速度垂直于O2K，即垂直于x轴，得证。
（3）设粒子在第四象限进入电场时的坐标为（x，y1）,离开电
场时的坐标为（x，y2）,离开电场时速度为v2；
11在电场中运动过程，动能定理：
Eq（y2y1）1mv221mv2
21222
其中y110x2x0.0025，y2x0.425解得v2=100x
2
在B2磁场区域做圆周运动的半径为R2，有qv2B2mv2解得R2=xR2
因为粒子在B2磁场区域圆周运动的半径刚好为x坐标值，则粒子做圆周运动的圆心必在y
轴上；又因v2的方向与DH成45o，且直线HD与y轴的夹角为450，则所有粒子在此磁场中恰好经过四分之一圆周后刚好到达H处，H点坐标为（0，–0.425）。
6．解析：
（1）粒子在区域Ⅰ中运动，由动能定理得EqL1mv02解得v02EmqL
v1
速度的偏向角tany
v02
7．解析：
（1）粒子在正交的电磁场做直线运动，有Eqqv0B2
解得v0BE2
2粒子在磁场B1中匀速圆周运动，有qv0B1mv0
101R
从y轴出电场的坐标为yyRv0tmE（12）qB2B1B1B2
动。
在电场中运动沿电场方向的距离y21at21Eq（L）20.1875m
222mv射出电场后匀速直线运动，在竖直方向上y3（xrL）tan0.75m
最好达到荧光屏上的竖直坐标yy1（y2y3）0.1875m故发光点的位置坐标（2m，-0.1875m）
2
9．解析：
粒子在磁场中匀速圆周运动，有qvBmv解得Rmv0.1m
RqB
当把荧光屏MN向左移动时，屏上光斑长度和位置保持不变，说明粒子是沿水平方向从磁场中出射，则所加的磁场为圆形，同时圆形磁场的半径与电子在磁场中匀速圆周运动的半径相等，即R=0.1m；且圆形磁场的圆心在y轴上O点正上方，如图所示的O1点。
（1）初速度沿y轴正方向的粒子直接从原点穿过y轴；
初速度与x轴正方向成300的粒子，在磁场中转过1500后沿水平方向射出，设该粒子圆周运动的圆心为O2，则∠OO2B=1500；设此粒子从y轴上的A点穿过y轴，由几何关系知∠OAO2=300，则有OA2Rcos3003R。
粒子从y轴穿过的范围为0~3R。
（2）初速度沿y轴方向入射的粒子经四分之一圆周后速度水平，如图所示，打在光屏上的
P点，有yPR；
初速度与x轴正方向成300入射的粒子，在磁场中转过1500后沿水平方向射出，如图所
3
示，打在光屏上的Q点，有yQRRsin600RR；
荧光屏上光斑的长度lyQyP3R3m
220
（3）粒子在磁场中运动的周期T2m108s
qB
511
打到最高点和最低点的粒子在磁场中运动多用的时间t15T1T1T108s
112466
R1
打到最高点和最低点的粒子在磁场外运动多用的时间t2R1108s
22v4打到最高点和最低点的粒子运动的时差间tt1t2
（1）108s7.7109s
（4）所加磁场的最小范围如图所示，其中从B到C的边界无磁场分布。
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