人教版数学七年级下册83 实际问题和二元一次方程组2提升版销售顺逆相遇追击环路其.docx
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人教版数学七年级下册83实际问题和二元一次方程组2提升版销售顺逆相遇追击环路其
第8章第3节实际问题与二元一次方程组2
辅导科目
数学
年级
七年级
教材版本
人教版
讲义类型
提升版（适用于考试得分率介于60%-80%之间的学员）
教学目的
1．以含有多个未知数的实际问题为背景，让学生经历“分析数量关系，设未知数，列方程组，解方程组和检验结果”的过程，体会方程组是刻画现实世界中含有多个未知数问题的数学模型。
2.使学生熟练掌握用方程组解决实际问题。
重、难点
重点：
销售问题、顺逆问题、相遇问题、追击问题、环路问题、工程问题
难点：
从实际问题中抽象出方程组
授课时长
建议授课时长2小时
教学内容
【课程导入】
张强和李毅二人分别从相距20千米的A. B两地出发，相向而行，如果张强比李毅早出发30分钟，那么在李毅出发后2小时，他们相遇；如果他们同时出发，那么1小时后两人还相距11千米。
求张强、李毅每小时各走多少千米。
【新知讲解】
※知识点一：
销售问题
1.在现实生活中，购买商品和销售商品时，经常会遇到进价、标价、售价、打折等概念，在商品销售问题中，首先理解几个概念：
（1）成本价：
有时也称进价，是商家进货时的价格；
（2）标价：
商家在出售时，标注的价格；
（3）售价：
消费者购买时真正花的钱数；
（4）利润：
商品出售后，商家所赚的部分；
（5）利润率：
商品出售后利润与成本的比值；
（6）打折：
以标价为基础，按一定比例降价出售，如：
打8折，就是按标价的80℅出售。
商品打几折出售，就是按原标价的十分之几出售，即商品售价=商品标价×折扣率
（7）盈亏问题：
关键从盈（过剩）、亏（不足）两个角度把握事物的总量。
2.在了解这些基本概念的基础上，还必须掌握以下几个等量关系：
标价=进价×（1+利润率）利润=售价－进价
利润=进价×利润率实际售价=标价×打折率
◎例题
1.甲、乙两件服装的成本共500元，商店老板为获取利润，决定将甲服装按50%的利润定价，乙服装按40%的利润定价。
在实际出售时，应顾客要求，两件服装均按9折出售，这样商店共获利157元，求甲、乙两件服装的成本各是多少元？
◎练习
1.商店新进一批商品准备出售，若打8折出售，则10天可以售完，并能获利10000元；若打7.5折出售8天可以售完，可获利8000元，商品存放一天需要100元的存货费，求这批商品的本钱（购货价）和预售总价各是多少?
2.某大型超市投入15000元资金购进A、B两种品牌的矿泉水共600箱，矿泉水的成本价和销售价如下表所示：
类别/单价
成本价（元/箱）
销售价（元/箱）
A品牌
20
32
B品牌
35
50
（1）该大型超市购进A、B品牌矿泉水各多少箱？
（2）全部销售完600箱矿泉水，该超市共获得多少利润？
§知识小结
※知识点二：
顺逆问题
1.航行问题：
①船在静水中的速度＋水速＝船的顺水速度；
②船在静水中的速度－水速＝船的逆水速度；
③顺水速度－逆水速度＝2×水速。
2.飞机问题同样会出现顺风和逆风，解题方法与船顺水、逆水问题类似。
3.三个基本量间的关系：
◎例题
1.两地相距280千米，一艘船在其间航行，顺流用14小时，逆流用20小时，求船在静水中的速度和水流速度。
2.一架直升机在A，B两个城市之间飞行，顺风飞行需要4小时，逆风飞行需要5小时.如果已知风速为30km/h，求A，B两个城市之间的距离.
◎练习
1.一艘轮船在相距90千米的甲、乙两地之间匀速航行，从甲地到乙地顺流航行用6小时，逆流航行比顺流航行多用4小时．
（1）求该轮船在静水中的速度和水流速度；
（2）若在甲、乙两地之间建立丙码头，使该轮船从甲地到丙地和从乙地到丙地所用的航行时间相同，问甲、丙两地相距多少干米？
2.一架飞机在两城之间飞行，风速为24千米/小时，顺风飞行需2小时50分，逆风飞行需要3小时。
求无风时飞机的飞行速度和两城之间的距离。
3.A、B两地相距80千米，一艘船从A出发。
顺水航行4时到B，而从B出发逆水航行5时到A，已知船顺水航行、逆水航行的速度分别为存在静水中的速度与水流速度的和与差，求船在静水中的速度和水流速度。
§知识小结
※知识点三：
相遇问题
1.相遇问题（或相向问题）：
①两人同时从不同地点出发，相向而行，直到相遇.
②两人不同时从不同地点出发，相向而行，直到相遇.
这类问题的等量关系是：
双方所走的路程之和＝两地的距离。
③基本量及关系：
相遇路程=速度和×相遇时间
④寻找相等关系：
快行距＋慢行距＝原距
即甲走的路程+乙走的路程＝两地距离
相遇问题是行程问题中很重要的一种，它的特点是相向而行。
这类问题也比较直观，可画线段图帮助理解与分析。
◎例题
1.A、B两地相距20km，甲、乙两人分别从A、B两地同时出发相向而行，2小时后在途中相遇，然后甲返回A地，乙仍继续前进，当甲回到A地时，乙离A地还有4km，求甲、乙的速度．
2.甲、乙两地相距160千米，一辆汽车和一辆拖拉机同时由甲、乙两地相向而行，1小时20分相遇。
相遇后，拖拉机继续前进，汽车在相遇处停留1小时后调转车头原速返回，在汽车再次出发半小时后追上了拖拉机。
这时，汽车、拖拉机各自行驶了多少千米？
◎练习
1.某班同学去18千米的北山郊游。
只有一辆汽车，需分两组，甲组先乘车、乙组步行。
车行至A处，甲组下车步行，汽车返回接乙组，最后两组同时达到北山站。
已知汽车速度是60千米/时，步行速度是4千米/时，求A点距北山站的距离。
2.甲、乙两人相距36千米，相向而行，如果甲比乙先走2小时，那么他们在乙出发2.5小时后相遇；如果乙比甲先走2小时，那么他们在甲出发3小时后相遇，甲、乙两人每小时各走多少千米？
§知识小结
※知识点四：
追击问题
追及问题：
①两人同地不同时，同向而行，直到后者追上前者.其等量关系是：
两人所走的路程相等.（两人所用时间不同）
②两人同时不同地，同向而行，直到后者追上前者.其等量关系是：
两人所走的路程之差=开始时两者相距的路程（即为起始两地的距离）.（两者所用时间相等）
③两人不同时不同地，同向而行，直到后者追上前者.其等量关系是：
两人所走的路程之差=开始时两者相距的路程（为起始两地的距离）.（两者所用时间不同）
③基本量及关系：
追及路程=速度差×追及时间
④寻找相等关系：
快行距－慢行距＝原距
第一，同地不同时出发：
前者走的路程＝追者走的路程；
第二，同时不同地出发：
前者走的路程+两者相距距离＝追者走的路程，
追击问题是行程问题中很重要的一种，它的特点是同向而行。
这类问题比较直观，画线段,用图便于理解与分析。
◎例题
1.甲乙二人同时从A地到B地，甲每分钟走250米，乙每分钟走90米。
甲到达B地后立即返回A地，在离B地3.2千米处相遇。
A、B两地之间相距多少千米？
2.甲乙两人练习赛跑如果甲让乙先跑10m，甲跑5s就能追上乙，如果乙先跑2s，那么甲跑4s就能追上乙，求两人每秒各跑多少米。
◎练习
1.小平和小红同时从学校出发步行去小平家，小平每分钟比小红多走20米。
30分钟后小平到家，到家后立即沿原路返回，在离家350米处遇到小红。
小红每分钟走多少米？
2.某车站有甲、乙两辆汽车，若甲车先出发1h后乙车出发，则乙车出发5h后追上甲车；若甲车先开出20km后乙车出发，则乙车出发4h后追上甲车，求甲乙两车的速度
§知识小结
※知识点五：
环路问题
环形跑道追及、相遇问题等同于直线追及、相遇问题。
同时同地相向而行第一次相遇（相当于相遇问题）：
甲的路程＋乙的路程＝跑道一圈长
同时同地同向而行第一次相遇（相当于追及问题）：
快者的路程－慢者的路程＝跑道一圈长
◎例题
1.甲、乙两人在周长为400米的环形跑道上练跑，如果同时同地相向出发，每隔2.5分钟相遇一次；如果同时同地同向出发。
每隔10分钟相遇一次，假定两人速度不变，且甲快乙慢，求甲、乙两人的速度。
◎练习
1.甲、乙两人在一条长400米的环形跑道上跑步，如果同向跑，每隔
分钟相遇一次，如果反向跑，则每隔40秒相遇一次，已知甲比乙跑的快，求甲、乙两人的速度？
2.甲、乙两人在周长为400ｍ的环形跑道上练跑，如果反向出发，每隔2.5min相遇一次；如果同向出发，每隔10min相遇一次，假定两人速度不变，且甲快乙慢，求甲、乙两人的速度
§知识小结
※知识点六：
其它行程问题
常见的主要有过桥、错车、上下坡/变速问题。
1.过桥问题
车辆或火车行驶的路程=桥梁（隧道）长度+车身长度
2.错车问题
①相遇错车问题（相向而行）
→
结论：
两车相向而行，路程为两车车长总和，速度为两列车的速度之和；
②追击错车问题（同向而行）
→
结论：
两车同向而行，路程为两车车长总和，速度为两列车的速度之差；
◎例题
1.已知某一铁路桥长1000米，现有一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全过桥共用1分钟，整列火车完全在桥上的时间为40秒钟，求火车的长度和火车的速度。
2.客车和货车分别在两条平行的铁轨上行驶，客车长450米，货车长600米．如果两车相向而行，那么从两车车头相遇到车尾离开共需21秒钟；如果客车从后面追货车，那么从客车车头追上货车车尾离开货车车头共需1分45秒，求两车的速度．
3.袁峰家离学校1880米，其中一段为上坡路，其余为下坡路，他跑步去学校共用时16分钟，，已知他上坡的速度为4.8千米/小时，下坡的速度为12千米/小时，那么，袁峰上坡、下坡各用了多长时间。
◎练习
1.与铁路平行的一条公路上有一行人与骑自行车的人同时向南行进。
行人的速度是每小时3.6km，骑自行车的人的速度是每小时10.8km。
如果一列火车从他们背后开来，它通过行人的时间是22秒，通过骑自行车的人的时间是26秒。
（1）行人的速度为每秒多少米？
（2）这列火车的车长是多少米？
2.一列客车长200m,一列货车长280m,在平行的轨道上相向行驶,从两车头相遇到两车尾相离经过16秒,已知客车与货车的速度之比是3∶2,问两车每秒各行驶多少米?
3.从少先队夏令营到学校，先下山再走平路，一少先队员骑自行车以12km/h的速度下山，以9km/h的速度通过平路，到学校共用了55分钟，回来时，通过平路的速度不变，但以6km/h的速度上山，回到营地又花去了1小时10分，问夏令营到学校的距离是多少公里？
§知识小结
※知识点七：
工程问题
工程问题：
工作量=工作效率×工作时间
（1）一般的工程问题与行程问题相类似，关键要抓好三个基本量的关系，即
工作量=工作时间×工作效率；工作时间=工作量÷工作效率；工作效率=工作量÷工作时间
（2）当题目与工作量大小、多少无关时，通常用“1”表示总工作量．
◎例题
1.某市准备对一段长120m的河道进行清淤疏通，若甲工程队先用4天单独完成其中一部分河道的疏通任务，则余下的任务由乙工程队单独完成需要9天；若甲工程队单独工作8天，则余下的任务由乙工程队单独完成需要3天；设甲工程队平均每天疏通河道xm，乙工程队平均每天疏通河道ym，求x＋y的值
2.小明家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作6周完成需工钱5.2万元；若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周完成，需工钱4.8万元.若只选一个公司单独完成，从节约开支的角度考虑，小明家应选甲公司还是乙公司？
请你说明理由.
◎练习
1.某工厂有工人60人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的配套产品，每人每天生产螺栓14个或螺母20个，应分配多少人生产螺栓，多少人生产螺母，才能使生产出的螺栓和螺母刚好配套。
2.一项工程，甲队单独做要12天完成，乙队单独做要15天完成，丙队单独做要20天完成．按原定计划，这项工程要求在7天内完成．现在甲、乙两队先合做若干天，以后为加快速度，丙队也同时加入这项工作，这样比原定时间提前1天完成任务．问：
甲、乙两队合做了多少天？
丙队加入后又做了多少天？
§知识小结
【课堂检测】
1.王先生开了一家小商店，上周他购进甲乙两种商品共50件，甲种商品的进价是每件35元，利润率是20%，乙种商品的进价是每件20元，利润率是15%，共获利278元，你知道王先生分别购进甲乙两种商品各多少件吗?
2.一条船往返于甲乙两港之间，由甲至乙是顺水行驶，由乙至甲是逆水行驶。
已知船在静水中的速度为8km/h，平时逆水航行与顺水航行所用的时间比为2：
1，某天恰逢暴雨，水流速度是原来的2倍，这条船往返共用了9h．问甲乙两港相距多远?
3.A、B两地相距480千米，一列慢车从A地开出，一列快车从B地开出．
（1）如果两车同时开出相向而行，那么3小时后相遇；如果两车同时开出同向（沿BA方向）而行，那么快车12小时可追上慢车，求快车与慢车的速度；
（2）如果慢车先开出l小时，两车相向而行，那么快车开出几小时可与慢车相遇?
4.甲、乙两人赛跑，如果乙比甲先跑8m，那么甲跑4s就能追上乙；如果甲让乙先跑1s，那么甲跑3s就能追上乙，求甲乙两人的速度
5.甲、乙两人都以不变速度在400米的环形跑道上跑步，两人在同一地方同时出发同向而行，甲的速度为100米/分乙的速度是甲速度的3/2倍，问
（1）经过多少时间后两人首次遇
（2）第二次相遇呢？
6.小华从家里到学校的路是一段平路和一段下坡路.假设他始终保持平路每分钟走60米，下坡路每分钟走80米，上坡路每分钟走40米，从家里到学校需10分钟，从学校到家里需15分钟.请问小华家离学校多远？
7.某超市进行装修，若请A. B两个装修队同时施工，6天可以完成，需付两队装修费共3600元，若先请A队单独做4天，再请B队单独做9天可以完成，需付装修费3500元。
（1）A、B两装修队工作一天，超市各应付多少元给他们?
（2）已知A队单独完成需10天，B队单独完成需求15天，单独请哪个队超市所需费用最少?
（3）若装修完，超市每天可赢利200元，你认为如何安排施工更有利于超市?
请说明理由
【课堂总结】
尝试画出本次课所学知识结构图。
【课后作业】
1.某商场第1次用39万元购进A，B两种商品，销售完后获得利润6万元，它们的进价和售价如下表：
（总利润＝单件利润×销售量）
商品价格
A
B
进价（元/件）
1200
1000
售价（元/件）
1350
1200
（1）该商场第1次购进A，B两种商品各多少件？
（2）商场第2次以原进价购进A，B两种商品，购进A商品的件数不变，而购进B商品的件数是第1次的2倍，A商品按原售价销售，而B商品打折销售，若两种商品销售完毕，要使得第2次经营活动获得利润等于54000元，则B种商品是打几折销售的？
2.华联商场购进甲、乙两种商品后，甲商品加价50％，乙商品加价40％作为标价，后适逢元旦商场搞促销活动，甲商品打八折销售，乙商品打八五折销售。
某顾客购买甲、乙商品各一件，共付款538元，已知商场共盈利88元，求甲、乙两种商品的进价。
3.A、B两个港口相距300千米，若甲船顺水自A驶向B，乙船同时自B逆水驶向A，两船在C处相遇。
若乙顺水自A驶向B，甲船同时自B逆水驶向A，两船在D处相遇。
C、D相距30千米，已知甲船速度为27千米/小时，则乙船速度是多少千米/小时？
4.从A地到B地的航线长9750km。
一架飞机从A地顺风飞往B地需要12.5h，它逆风飞行同样的航线需要13h，请问该飞机的静风速度和风速各是多少？
5.甲、乙两人相距36千米，相向而行，如果甲比乙先走2小时，那么他们在乙出发2.5小时后相遇；如果乙比甲先走2小时，那么他们在甲出发3小时后相遇，甲、乙两人每小时各走多少千米？
6.甲，乙两人从相距18千米的两地同时出发，相向而行
小时相遇．如果甲比乙先出发
小时，那么乙出发后
小时两人相遇．求：
两人的速度各是多少？
7.某站有甲乙两辆汽车，若甲车先出发1小时后乙车出发，则乙车出发后5小时追上甲车；若甲车先开出30千米后，乙车出发，则乙车出发4小时后乙车所走的路程比甲车所走的路程多10千米。
求两车的速度。
8.甲、乙二人从同一地点出发，同向而行，甲乘车，乙步行．如果乙先走20km，那么甲用1h就能追上乙；如果乙先走1h，那么甲只用15min就能追上乙．求甲、乙二人的速度．
9.甲、乙两人在400米的环形跑道上同一起点同时背向起跑，40秒后相遇，若甲先从起跑点出发，半分钟后，乙也从该点同向出发追赶甲，再过3分钟后乙追上甲，求甲、乙两人的速度．
10.小刚和小亮两人骑自行车，在400米环形跑道上用不变的速度行驶，当他们按相反的方向行驶时，每20秒就相遇一次；若按同一方向行驶，那么每100秒钟相遇一次，问两个人的速度各是多少？
11.从甲地到乙地的路有一段上坡与一段平路，如果保持上坡每小时走3km，平路每小时走4km，下坡每小时走5km，那么从甲地到乙地用54分钟，从乙地到甲地用42分钟，甲地到乙地的全程是多少？
12.小李骑电动自行车,预计用相同的时间往返于甲、乙两地,去时电动自行车的车速是18km/h,结果早到20min;返回时,以每小时15km的速度行进,结果晚到4min.求甲、乙两地间的距离.
13.为缓解我区某一高速路口交通压力，区政府决定再修筑一段通往高速路口的市政路．某建筑公司接到任务，须在规定时间内完成任务．如果按原来的施工速度，每天修路120米，那么在规定时间内只能完成任务的90%．为能按时完成任务，该公司增加人力投入修路工作，每天能修路160米，这样就能提前一天完成任务。
求规定的时间和修路的长。
14.某工程队承包了全长3150米的公路施工任务，甲、乙两个组分别从东、西两端同时施工，已知甲组比乙组平均每天多施工6米，经过5天施工，两组共完成了450米。
（1）求甲、乙两个组平均每天各施工多少米?
（2）为加快工程进度，通过改进施工技术，在剩余的工程中，甲组平均每天能比原来多施工4米，乙组平均每天比原来多施工6米，按此施工进度，能够比原来少用多少天完成任务?
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