代数综合题.docx
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代数综合题
代数综合题
Ⅰ、综合问题精讲：
代数综合题是指以代数知识为主的或以代数变形技巧为主的一类综合题．主要包括方程、函数、不等式等内容，用到的数学思想方法有化归思想、分类思想、数形结合思想以及代人法、待定系数法、配方法等．解代数综合题要注意归纳整理教材中的基础知识、基本技能、基本方法，要注意各知识点之间的联系和数学思想方法、解题技巧的灵活运用，要抓住题意，化整为零，层层深人，各个击破．注意知识间的横向联系，从而达到解决问题的目的．
Ⅱ、典型例题剖析
【例1】（2005，丽水，8分）已知关于x的一元二次方程x2－（k＋1）x－6=0的一个根是2，求方程的另一根和k的值．
解：
设方程的另一根为x1，由韦达定理：
2x1=－6，
∴x1=－3.由韦达定理：
－3+2=k＋1，∴k=－2.
【例2】（2005，嘉峪关，7分）已知关于x的一元二次方程（k+4）x2＋3x+k2－3k－4=0的一个根为0，求k的值．
解：
把x=0代入这个方程，得k2－3k－4=0，解得k1＝l，k2＝－4．因为k+4≠0．所以k≠－4，所以k＝l。
点拨：
既然我们已经知道方程的一个根了，那么我们就可以将它代入原方程，这样就可以将解关于x的方程转化为解关于k的方程．从而求出b的解．但应注意需满足k+4的系数不能为0，即k≠－4。
【例3】（2005，自贡，5分）已对方程2x2+3x－l＝0．求作一个二次方程，使它的两根分别是已知方程两根的倒数．
解：
设2x2+3x－l＝0的两根为x1、x2
则新方程的两根为
得
所以
所以新方程为y2－3y－2=0·
点拨：
熟记一元二次方程根与系数的关系是非常必要的
【例4】（2005，内江，8分）某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的日销售价
（元）与产品的日销售量
（件）之间的关系如下表：
（元）
15
20
25
30
…
（件）
25
20
15
10
…
⑴在草稿纸上描点，观察点的颁布，建立
与
的恰当函数模型。
⑵要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？
此时每日销售利润是多少元？
解：
⑴经观察发现各点分布在一条直线上，
∴设
（k≠0）
用待定系数法求得
，
⑵设日销售利润为z则
=
当x=25时，z最大为225，
每件产品的销售价定为25元时，日销售利润最大为225元。
点拨：
只有正确地建立了平面直角坐标系，才能准确地得出函数的图象，从而由图象得出函数关系．而日销售利润与销售定价又存在二次函数关系，所以可以利用二次函数的极值来解决此类问题．
【例5】（2005，海淀模拟，8分）一次函数y=kx+b和反比例函数y=
的图象相交于点P（n－l，n＋l），点Q（0,a）在函数y=k1x+b的图象上，且m、n是关于x的方程
的两个不相等的整数根．其中a为整数，求一次函数和反比例函数的解析式．
解：
得x1=2，x2=1+
因为方程有两个不相等的整数根，且a为整数，
所以a=－1，x2=0，（a=1、x1=2不合题意，舍去）
所以m=0，n=2，或m=2，n=0．
所以点P的坐标为（－1，3）或（1，1）
又因为点Q（0，a）在y=kx+b的图象上，
所以b=a=－1。
当点P为（－1，3）时，根据题意，得
解得
当点P为（1，1）时，根据题意，得
解得
所以一次函数的解析式为
或
，对应的反比例函数的解析式为
，
点拨：
解答本题的关键是求出一元二次方程的整数根．另外，求出整数根之后，不要忽略m=2，n=0的情况。
Ⅲ、综合巩固练习：
1、（9分）某市近年来经济发展速度很快，根据统计，该市国内生产总值1990年为8．6亿元人民币，1995年为10．4亿元人民币，2000年为12．9亿元人民币，经论证，上述数据适合一个二次函数关系．请你根据这个函数关系预测2005年该市国内生产总
值将达到多少？
2．（10分）二次函数
的图象的一部分如图2－3－1所示。
已知它的顶点M在第二象限，且经过点A（1，0）和点B（0，l）．
（1）请判断实数a的取值范围，并说明理由；
（2）设此二次函数的图象与x轴的另一个交点为
C，当ΔAMC面积为△ABC面积的
倍时，求a的值．
3．图2－3－2所示，已知一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数y=
（m≠0）的图象在第二象限交于C点，CD垂直于x轴，垂足为D，若OA＝OB=OD=1。
（1）求点A、B的坐标；
（2）求一次函数和反比例函数的解析式．
4．（10分）已知：
如图2－3－3所示，一条直线经过点A（0，4），点B（2，0）将这条直线向左平移与x轴负半轴，y轴负半轴分别交于点C、点D，使DB=DC．求以直线CD为图象的函数解析式．
5．（10分）已知A（8，0），B（0，6），C（0，－2）连接AD，过点C的直线l与AB交于点P．
（1）如图2－3－4⑴所示，当PB=PC时，求点P的坐标；
（2）如图2－3－4⑵所示，设直线l与x轴所夹的锐角为α且tanα=
连接AC，求直线l与x轴的交点E的坐标及△PAC的面积．
6．已知关于x、y的方程组
的解满足x＞y＞0．化简：
|a|+|3－a|.
7．如图2－3－5所示，抛物线
与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且当x=0和x=2时y的值相等，直线y=3x—7与这条抛物线相交于两点．其中一点的横坐标是4，另一点是这条抛物线的顶点M。
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）P为线段BM上一点，过点P向x轴引垂线，垂足为Q，若点P在线段BM上运动，设OQ的长为t，四边形PQAC的面积为S（当P与B重合时，S为△ACB的面积）．求S与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围；
（3）S有无最大、最小值，若有，请分别求出t为何值时S取最大、最小值？
最大、最小值各是多少；若没有，请说明理由．
8．（16分）已知反比例函数
和一次函数
。
⑴若一次函数和反比例函数的图象交于点（－3，m）求m和k的值．
⑵当k满足什么条件时．这两个函数的图象有两个不同的交点？
⑶当k=－2时，设
（2）中的两个函数图象的交点分别为A、B，试判断A、B两点分别在第几象限，∠AOB是锐角还是钝角（只要求直接写出结论）．
9．（16分）在直角坐标系xoy中，O为坐标原点，A、B、C三点的坐标分另为A（5，0），B（0，4），C（－1，0）．点M和点N在x轴上，（点M在点N的左边），点N在原点的右边，作MP⊥BN，垂足为P（点P在线段BN上，且点P与点B不重合），直线MP与y轴交于点G，MG=BN．
⑴求经过八、BJ三点的抛物线的解析式；
⑵求点M的坐标；
⑶设ON=t，△MOG的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
⑷过点B作直线BK平行于x轴，在直线BK上是否存在点R，使△ORA为等艘二角形？
若存在，请直接写出R的坐标；若不存在，请说明理由．
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