中考数学专题知识突破专题五数学思想方法一.docx
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中考数学专题知识突破专题五数学思想方法一
2015中考数学专题知识突破专题五数学思想方法
（一）
（整体思想、转化思想、分类讨论思想）
一、中考专题诠释
数学思想方法是指对数学知识和方法形成的规律性的理性认识，是解决数学问题的根本策略。
数学思想方法揭示概念、原理、规律的本质，是沟通基础知识与能力的桥梁，是数学知识的重要组成部分。
数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴含于数学知识的发生、发展和应用的过程中。
抓住数学思想方法，善于迅速调用数学思想方法，更是提高解题能力根本之所在．因此，在复习时要注意体会教材例题、习题以及中考试题中所体现的数学思想和方法，培养用数学思想方法解决问题的意识．
二、解题策略和解法精讲
数学思想方法是数学的精髓，是读书由厚到薄的升华，在复习中一定要注重培养在解题中提炼数学思想的习惯，中考常用到的数学思想方法有：
整体思想、转化思想、函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想等．在中考复习备考阶段，教师应指导学生系统总结这些数学思想与方法，掌握了它的实质，就可以把所学的知识融会贯通，解题时可以举一反三。
三、中考考点精讲
考点一：
整体思想
整体思想是指把研究对象的某一部分（或全部）看成一个整体,通过观察与分析，找出整体与局部的联系，从而在客观上寻求解决问题的新途径。
整体是与局部对应的，按常规不容易求某一个（或多个）未知量时，可打破常规，根据题目的结构特征，把一组数或一个代数式看作一个整体，从而使问题得到解决。
例1若a-2b=3，则2a-4b-5=1
．
变式训练
1．已知实数a，b满足a+b=2，a-b=5，则（a+b）3•（a-b）3的值是1000
．
2.（2014•威海）已知x2－2=y，则x（x－3y）+y（3x－1）－2的值是（ ）
A．－2B．0C．2D．4
考点二：
转化思想
转化思想是解决数学问题的一种最基本的数学思想。
在研究数学问题时，我们通常是将未知问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题。
转化的内涵非常丰富，已知与未知、数量与图形、图形与图形之间都可以通过转化来获得解决问题的转机。
例2如图，圆柱形容器中，高为1.2m，底面周长为1m，在容器内壁离容器底部0.3m的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.3m与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为1.3
m（容器厚度忽略不计）．
变式训练
1．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，点P是AB上的任意一点，作PD⊥AC于点D，PE⊥CB于点E，连结DE，则DE的最小值
为。
2.（2014•潍坊）我国古代有这样一道数学问题：
“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？
”题意是：
如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，则问题中葛藤的最短长度是尺．
考点三：
分类讨论思想
在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。
分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现
了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。
分类的原则：
（1）分类中的每一部分是相互独立的；
（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论应逐级进行．正确的分类必须是周全的，既不重复、也不遗漏．
例3某校实行学案式教学，需印制若干份数学学案，印刷厂有甲、乙两种收费方式，除按印数收取印刷费外，甲种方式还需收取制版费而乙种不需要．两种印刷方式的费用y（元）与印刷份数x（份）之间的关系如图所示：
（1）填空：
甲种收费的函数关系式是y1=0.1x+6，
．
乙种收费的函数关系式是y2=0.12x，
．
（2）该校某年级每次需印制100～450（含100和
450）份学案，选择哪种印刷方式较合算？
变式训练
1．（2014•潍坊）经统计分析，某市跨河大桥上的车流速度v（千米/小时）是车流密度x（辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到220辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为80千米/小时，研究表明：
当20≤x≤220时，车流速度v是车流密度x的一次函数．
（1）求大桥上车流密度为100辆/千米时的车流速度；
（2）在交通高峰时段，为使大桥上的车流速度大于40千米/小时且小于60千米/小时，应控制大桥上的车流密度在什么范围内？
（3）车流量（辆/小时）是单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，即：
车流量=车流速度×车流密度．求大桥上车流量y的最大值．
2.（2014•德州）问题背景：
如图1：
在四边形ABC中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°．E，F分别是BC，CD上的点．且∠EAF=60°．探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．
小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是 ；
探索延伸：
如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=
∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；
实际应用：
如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进.1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．
四、达标检测
1．已知一个圆柱的侧面展开图为如图所示的矩形，则其底面圆的面积为（ ）
A．πB．4πC．π或4πD．2π或4π
2．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，BC=4，点D在BC上，以AC为对角线的所有▱ADCE中，DE最小的值是（ ）
A．2B．3C．4D．5
3．若a2−b2＝
，a−b＝
，则a+b的值为．
4
．CD是⊙O的一条弦，作直径AB，使AB⊥CD，垂足为E，若
AB=10，CD=8，则BE的长是
A．8B．2C．2或8D．3或7
5．如图，在Rt△AOB中，OA=OB=3
，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（点Q为切点），则切线PQ的最小值为．
6.某农庄计划在30亩空地上全部种植蔬菜和水果，菜农小张和果农小李分别承包了种植蔬菜和水果的任务．小张种植每亩蔬菜的工资y（元）与种植面积m（亩）之间的函数如图①所示，小李种植水果所得报酬z（元）与种
植面积n（亩）之间函数关系如图②所示．
（1）如果种植蔬菜20亩，则小张种植每亩蔬菜的工资是140元，小张应得的工资总额是2800元，此时，小李种植水果10亩，小李应得的报酬是1500元；
（2）当10＜n≤30时，求z与n之间的函数关系式；
（3）设农庄支付给小张和小李的总费用为w（元），当10＜m≤30时，求w与m之间的函数关系式
．
五、拓展延伸
1．已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB=8cm，则AC的长为（）
A．2
cmB．4
cmC．2
cm或4
cmD．2cm或4
cm
2．等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是（）
A．80°B．80°或20°C．80°或50°D．20°
3．等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为（）
A．12B．15C．12或15D．18
4．（2013•荆州如图，将含60°角的直角三角板ABC绕顶点A顺时针旋转45°度后得到△AB′C′，点B经过的路径为弧BB′，若∠BAC=60°，AC=1，则图中阴影部分的面积是（）
A．
B．
C．
D．π
5.如图，在等腰梯形ABCD中，AD=2，∠BCD=60°，对角线AC平分∠BCD，E，F分别是底边AD，BC的中点，连接EF．点P是EF上的任意一点，连接PA，PB，则PA+PB的最小值为．
6．若函数y=mx2+2x+1的图象与x轴只有一个公共点，则常数m的值是．
7．在平面直角坐标系中，已知点A（-
，0），B（
，0），点C在坐标轴上，且AC+BC=6，写出满足条件的所有点C的坐标
8．如图，在平面直角坐标系中，直线l经过原点O，且与x轴正半轴的夹角为30°，点M在x轴上，⊙M半径为2，⊙M与直线l相交于A，B两点，若△ABM为等腰直角三角形，则点M的坐标为
9．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为（10，0），（0，4），点D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为
10．如图，已知直线y=x+4与两坐轴分别交于A、B两点，⊙C的圆心坐标为 （2，O），半径为2，若D是⊙C上的一个动点，线段DA与y轴交于点E，则△ABE面积的最小值和最大值分别是
11．已知菱形ABCD的两条对角线分别为6和8，M、N分别是边BC、CD的中点，P是对角线BD上一点，则PM+PN的最小值=
．
12．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，正三角形OEF绕点O旋转．在旋转过程中，当AE=BF时，∠AOE的大小
是
三、解答题
1．已知抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于点A，B（点A，B在原点O两侧），与y轴相交于点C，且点A，C在一次函数y2=
x+n的图象上，线段AB长为16，线段OC长为8，当y1随着x的增大而减小时，求自变量x的取值范围．
2．（2014•义乌市）受国内外复杂多变的经济环境影响，去年1至7月，原材料价格一路攀升，义乌市某服装厂每件衣服原材料的成本y1（元）与月份x（1≤x≤7，且x为整数）之间的函数关系如下表：
月份x
1
2
3
4
5
6
7
成本（元/件）
56
58
60
62
64
66
68
8至12月，随着经济环境的好转，原材料价格的涨势趋缓，每件原材料成本y2（元）与月份x的函数关系式为y2=x+62（8≤x≤12，且x为整数）．
（1）请观察表格中的数据，用学过的函数相关知识求y1与x的函数关系式．
（2）若去年该衣服每件的出厂价为100元，生产每件衣服的其他成本为8元，该衣服在1至7月的销售量p1（万件）与月份x满足关系式p1=0.1x+1.1（1≤x≤7，且x为整数）； 8至12月的销售量p2（万件）与月份x满足关系式p2=－0.1x+3（8≤x≤12，且x为整数），该厂去年哪个月利润最大？
并求出最大利润．
3.（2014•宿迁）如图，已知△BAD和△BCE均为等腰直角三角形，∠BAD=∠BCE=90°，点M为DE的中点，过点E与AD平行的直线交射线AM于点N．
（1）当A，B，C三点在同一直线上时（如图1），求证：
M为AN的中点；
（2）将图1中的△BCE绕点B旋转，当A，B，E三点在同一直线上时（如图2），求证：
△ACN为等腰直角三角形；
（3）将图1中△BCE绕点B旋转到图3位置时，
（2）中的结论是否仍成立？
若成立，试证明之，若不成立，请说明理由．
4.如图①，AB是半圆O的直径，以OA为直径作半圆C，P是半圆C上的一个动点（P与点A，O不重合），AP的延长线交半圆O于点D，其中OA=4．
（1）判断线段AP与PD的大小关系，并说明理由；
（2）连接OD，当OD与半圆C相切时，求
的长；
（3）过点D作DE⊥AB，垂足为E（如图②），设AP=x，OE=y，求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围．
5.（2014•北京）对某一个函数给出如下定义：
若存在实数M＞0，对于任意的函数值y，都满足－M≤y≤M，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，如图中的函数是有界函数，其边界值是1．
（1）分别判断函数 y=
（x＞0）和y=x+1（－4≤x≤2）是不是有界函数？
若是有界函数，求其边界值；
（2）若函数y=－x+1（a≤x≤b，b＞a）的边界值是2，且这个函数的最大值也是2，求b的取值范围；
（3）将函数
（－1≤x≤m，m≥0）的图象向下平移m个单位，得到的函数的边界值是t，当m在什么范围时，满足
≤t≤1？
数学思想方法
（一）部分题参考答案
解．：
（1）由图可知，如果种植蔬菜20亩，则小张种植每亩蔬菜的工资是
（160+120）=140元，
小张应得的工资总额是：
140×20=2800元，
此时，小李种植水果：
30-20=10亩，
小李应得的报酬是1500元；
故答案为：
140；2800；10；1500；
（2）当10＜n≤30时，设z=kn+b（k≠0），
∵函数图象经过点（10，1500），（30，3900），
∴
，
解得
，
所以，z=120n+300（10＜n≤30）；
（3）当10＜m≤30时，设y=km+b，
∵函数图象经过点（10，160），（30，120），
∴
，
解得
，
∴y=-2m+180，
∵m+n=30，
∴n=30-m，
∴①当10＜m≤20时，10＜n≤20，
w=m（-2m+180）+120n+300，
=m（-2m+1
80）+120（30-m）+300，
=-2m2+60m+3900，
②当20＜m≤30时，0＜n≤10，
w=m（-2m+180）+150n，
=m（-2m+180）+150（30-m），
=-2m2+30m+4500，
所以，w与m之间的函数关系式为w=
．
解：
根据OC长为8可得一次函数中的n的值为8或-8．
分类讨论：
①n=8时，易得A（-6，0）如图1，
∵抛物线经过点A、C，且与x轴交点A、B在原点的两侧，
∴抛物线开口向下，则a＜0，
∵AB=16，且A（-6，0），
∴B（10，0），而A、B关于对称轴对称，
∴对
称轴直线x=
=2，
要使y1随着x的增大而减小，则a＜0，
∴x＞2；
（2）n=-8时，易得A（6，0），如图2，
∵抛物线过A、C两点，且与x轴交点A，B在原点两侧，
∴抛物线开口向上，则a＞0，
∵AB=16，且A（6，0），
∴B（-10，0），而A、B关于对称轴对称，
∴对称轴直线x=
=-2，
要使y1随着x的增大而减小，且a＞0，
∴x＜-2．
解：
（1）AP=PD．理由如下：
如图①，连接OP．
∵OA是半圆C的直径，
∴∠APO=90°，即OP⊥AD．
又∵OA=OD，
∴AP=PD；
（2）如图①，连接PC、OD．
∵OD是半圆C的切线，
∴∠AOD=90°．
由
（1）知，AP=PD．
又∵AC=OC
，
∴PC∥OD，
∴∠ACP=∠AOD=90°，
∴
的长=
=π；
（3）分两种情况：
①当点E落在OA上（即0＜x≤2
时），如图②，连接OP，则∠APO=∠AED．
又∵∠A=∠A，
∴△APO∽△AED，
∴
．
∵AP=x，AO=4，AD=2x，AE=4-y，
∴
，
∴y=-
x2+4（0＜x≤2
）；
②当点E落在线段OB上（即2
＜x＜4）时，如图③，连接OP．
同①可得，△APO∽△AED，
∴
．
∵AP=x，AO=4，AD=2x，AE=4+y，
∴
，
∴y=
x2+4（2
＜x＜4）．
解：
（1）根据有界函数的定义知，函数y=
（x＞0）不是有界函数．
y=x+1（－4≤x≤2）是有界函数．边界值为：
2+1=3；
（2）∵函数y=－x+1的图象是y随x的增大而减小，
∴当x=a时，y=－a+1=2，则a=－1
当x=b时，y=－b+1．则
∴－1＜b≤3；
（3）若m＞1，函数向下平移m个单位后，x=0时，函数值小于－1，此时函数的边界t≥1，与题意不符，故m≤1．
当x=－1时，y=1即过点（－1，1）
当x=0时，
，即过点（0，0），
都向下平移m个单位，则
（－1，1－m）、（0，－m）
≤1－m≤1或－1≤－m≤－
，
∴0≤m≤
或
≤m≤1．
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