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13轴对称

乌苏市第四中学师生共用讲学稿姓名

年级：

八年级学科：

数学执笔：

曹庆蕾审核：

井风云

内容：

13.1.2轴对称课型：

新授时间：

14年月日

学习目标：

1.通过实例认识轴对称，掌握轴对称图形和关于直线成轴对称这两个概念；

2.探索轴对称图形性质的过程，培养学生认真探究、积极思考的能力。

学习重点：

轴对称图形和两个图形成轴对称的概念。

学习难点：

轴对称图形与两个图形成轴对称的区别和联系。

一、学前准备：

请同学们认真阅读课本58--60页，并划出你认为重要的内容。

观察下列图形有什么特点？

（1）

（2）（3）（4）

上图中的每一个图形沿某条直线对折，直线两旁的部分能不能完全重合？

归纳：

如果一个平面形，直线部分能够互相重合，这个图形就叫做，这条直线就是它的，这时，我们也说这个图形。

观察上方的图形，我发现

图

（1）有条对称轴；图

（2）有条对称轴；

图（3）有条对称轴；图（4）有条对称轴；

二、探究活动

（一）独立思考·解决问题

观察:

图1中每对图形左边的图形沿直线对折后与右边的图形能不能完全重合？

归纳：

像这样，把沿着折叠过去，如果它能够与完全重合，那么就说，我们把这条直线叫做它的。

两个图形中的对应点（即两个图形重合时互相重合的点）叫做。

（二）师生探究·合作交流

探究一：

轴对称图形与成轴对称的两个图形的区别与联系

观察图2中两幅图片思考轴对称图形与成轴对称的两个图形的区别与联系？

区别:

联系：

探究二：

轴对称的性质

如图3，△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称，点A′、B′、C′分别是点A、B、C的对称点，连接AA′、BB′、CC′回答下列问题：

（1）设AA′交对称轴MN于点P，将△ABC和△A′B′C′沿MN折叠后，点A与重合，于是有PA＝，∠MPA＝∠＝度。

（2）对于其他的对应点，如点B、B′，C、C′也有类似的结论吗？

（3）那么我们把直线MN叫做线段AA′

的

归纳：

1．垂直平分线的定义：

。

2．轴对称的性质：

①如果两个图形关于某条直线对称，那

么是任何一对对应点所连线段的

②类似地，轴对称图形的对称轴，是_____________________的垂直平分线。

几何语言：

三、自我检测

1.下列图案是轴对称图形的有（）

（1）

（2）（3）（4）

A．1个B．2个C．3个D．4个

2.在下图中，是轴对称图形的是（）

3.下列图形中对称轴最多的是（）

A.圆B正方形C.等腰三角形D.线段

4.在镜中看到的一串数字是“

”，则这串数字是。

5．下列各时刻是轴对称图形的为（）

A.B.C.D.

6.如图4，△ABC与△

关于直线

对称，且∠A=78°，∠

=48°

求：

（1）∠B的度数.

（2）当AB=3，A’C’=5，B’C’=7时，求△ABC的周长。

图4

四、反思

乌苏市第四中学师生共用讲学稿姓名

年级：

八年级学科：

数学执笔：

曹庆蕾审核：

井风云

内容：

13.1.2线段的垂直平分线性质课型：

新授时间：

14年月日

学习目标：

掌握线段的垂直平分线的性质与判定，理解线段垂直平分线与对称轴的关系。

学习重点：

线段垂直平分线的性质与判定的理解。

学习难点：

运用线段垂直平分线性质及判定解决问题。

一、学前准备：

请同学们认真阅读课本61-62页，并划出你认为重要的内容。

如图：

四边形ABCD与四边形EFGH关于MN对称。

（1）A、B、C、D的对称点分别是，线段AD、AB的对应线段分别是，CD=，∠CBA=，∠ADC=

（2）对称轴MN与线段AE的关系是

（3）连接AE、BF，AE与BF的位置关系是说明理由：

二、探究活动

（一）独立思考·解决问题

探究：

线段垂直平分线性质定理

如图1，木条

与AB钉在一起，

垂直平分AB，P1，P2，P3，…是

上的点，分别量一量点P1，P2，P3，…到A与B的距离。

有：

A=;P

A=;

由此得到：

线段垂直平分上的点

利用图2证明你的结论：

已知：

求证：

图2

证明：

归纳：

线段垂直平分线段的性质：

几何语言：

（二）师生探究·合作交流

例1如图，AD⊥BC，BD=DC，点C在AE的垂直平分线上，AB、AC、CE的长度有什么关系？

AB+BD与DE有什么关系？

三、自我检测

1．判断题：

（1）设A、B两点关于直线MN对称，则MN是AB的垂直平分线。

（）

（2）如果两个三角形全等，则它们必是关于直线成轴对称的图形。

（）

（3）如果两个三角形关于某直线成轴对称，那么它们是全等三角形。

（）

（4）等腰三角形的对称轴是底边上的中线。

（）

（5）线段的对称轴是过它中点的直线。

（）

2.已知：

如图△ABC中，边AB，BC的垂直平分线MN、M’N’相交于点P.

求证：

PA=PB=PC

3.如右图所示，直线MN和DE分别是线段AB、BC的垂直平分线，它们交于P点，请问PA和PC相等吗?

为什么?

4.△ABC中，DE是AC的垂直平分线，与AC交于点E，AE＝3cm，△ABD的周长为13cm，求△ABC的周长。

四、反思

乌苏市第四中学师生共用讲学稿姓名

年级：

八年级学科：

数学执笔：

曹庆蕾审核：

井风云

内容：

13．2画轴对称图形

（1）课型：

新授时间：

14年月日

学习目标：

1.能够作轴对称图形；2.能够用轴对称的知识解决相应的数学问题。

学习重点：

作轴对称图形。

学习难点：

：

用轴对称知识解决相应的数学问题。

一、学前准备：

请同学们认真阅读课本67-68页，并划出你认为重要的内容。

1.等腰三角形的对称轴有（）

A.1条B.3条C.1条或3条D.无数条

2.下面不是轴对称图形的是（）。

A.长方形B.平行四边形C.圆D.半圆

3.写出四个成轴对称的汉字（如：

品）

4.如图：

你能做出它关于虚线的对称图形吗？

在图中，找到点A的对称点A′

（1）线段AA′与对称轴有什么关系？

（2）在图中另找一对对称点，连接对称点的线段与对称轴还有上述位置关系吗？

2、探究活动

（1）独立思考·解决问题

1.如图，已知点A和直线

，试画出点A关于直线

的对称点A′。

写出你的作法。

作法：

2.如图:

已知△ABC和直线

，作出△ABC关于直线对称的图形。

图中相等的边有

图中相等的角有

归纳：

（1）由一个平面图形可以得到它关于一条直线

成轴对称的图形，这个图形与原图形的.完全相同。

（2）新图形上一个点，都是原图形上的某一点关于直线

的点。

（3）连接任意一对对应点的线段被对称轴

（二）师生探究·合作交流

例1请画出三角形ABC关于直线

对称的图形三角形A′B′C′

例2如图，要在公路

边上建一个公交车站，使A、B两地到M的距离相等。

请你找出M的位置。

作法：

三、自我检测

1.把下列图形补成关于

对称的图形。

2.在平面镜里看到背后墙上,电子钟示数如图1所示，这时的实际时间应该是__

3.作出下面图形关于直线

的轴对称图形。

4.现有A、B、C三个校区的位置成三角形，现决定在校区之间建个公交车站使车站到三个校区之间的距离相等，请你找出车站的位置。

5.在下图中找出点A，使它到M，N两点的距离相等，并且到OH，OF的距离相等。

四、反思

乌苏市第四中学师生共用讲学稿姓名

年级：

八年级学科：

数学执笔：

曹庆蕾审核：

井风云

内容：

13．2画轴对称图形

（2）课型：

新授时间：

14年月日

学习目标:

1.掌握在平面直角坐标系中，关于x轴和y轴对称点的坐标特点；

2.能在平面直角坐标系中画出一些简单的关于x轴和y轴的对称图形；

3.能运用坐标中的轴对称特点解决简单的问题。

学习重点：

在平面直角坐标系中画出一些简单的关于x轴和y轴的对称图形。

学习难点：

能运用坐标中的轴对称特点解决简单的问题。

一、学前准备：

请同学们认真阅读课本69-70页，并划出你认为重要的内容。

1.如图1，在平面直角坐标系中：

（1）描出点A（2，-3）

（2）在坐标系中标出点A关于x轴的对称点A

，点A

的坐标是。

（3）观察点A与A

的坐标，我发现：

在平面直角坐标系中，关于x轴对称的点横坐标_____,,纵坐标_________________。

点P（x，y）关于x轴的对称点的坐标为__________.

2.如图1，在平面直角坐标系中:

（1）在坐标系中标出点A关于关于y轴的对称点A2。

写出A2的坐标。

（2）观察点A与A2的坐标，我发现：

在平面直角坐标系中，关于y轴对称的点横坐标_____,,纵坐标_________________。

点P（x，y）关于y轴的对称点的坐标为__________.

二、探究活动

（一）独立思考·解决问题

如图2，利用关于坐标轴对称的点的坐标的特点，分别作出与△ABC关于x轴和y轴对称的图形。

并写出各点的坐标。

图1

图2

A;B;C

关于x轴对称

关于y轴对称

（二）师生探究·合作交流

例1在平面直角坐标系中，点A（a，-5）

点B（8，b）

（1）当点A与点B关于x轴对称，求a+b的值。

（2）当点A与点B关于y轴对称，求ab。

三、自我检测

1.完成下表

2.在直角坐标系中，点P（2，1）关于X轴对称的点的坐标是（）

A．（2，1）B.（-2，1）

C．（2，-1）D.（-2，-1）

3.根据下列点的坐标的变化情况，判断它们是关于x轴对称，还是关于y轴对称。

（1）　（－1，0）→（1，0）；

（2）　（－5，－4）→（－5，4）;

（3）　（3，4）→（－3，4）；

（4）　（2，5）→（-2，5）→（－2,－5）。

4.点E（a,－5）与点F（－2,b）关于x轴对称，则a=，b=；

5.已知点（x，4-y）与点（1-y，2x）关于y轴对称，则xy=。

6.已知A.B两点的坐标分别是（－2，3）和（2，3），则下面四个结论：

①A、B关于x轴对称；②A、B关于y轴对称；③A、B关于原点对称；④A、B之间的距离为4个单位长度，其中正确的有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

已知点

（2,-3）

（-1,2）

（-6,-5）

（0,-1.6）

（4,0）

关于x轴的对称点

关于y轴的对称点

7.已知A（－1，－2）和B（1，3），将点A向______平移________个单位长度后得到的点与点B关于y轴对称。

8.如图3:

（1）利用关于坐标轴对称的点的坐标的特点，分别作出与△ABC关于x轴和y轴对称的图形。

写出对应点的坐标。

（2）作出△ABC向右平移3个单位后的图形。

写出对应点的坐标。

图3

四、反思：

乌苏市第四中学师生共用讲学稿姓名

年级：

八年级学科：

数学执笔：

曹庆蕾审核：

井风云

内容：

13.3.1等腰三角形

（1）课型：

新授时间：

14年月日

学习目标1.了解等腰三角形的概念，掌握等腰三角形的性质;

2.运用等腰三角形的概念及性质解决相关问题。

学习重点：

等腰三角形的性质。

学习难点：

等腰三角形三线合一的性质的理解及其应用。

一、学前准备：

1.如图，在△ABC中，AB=AC，标出各部分名称

2.等腰三角形有一个角是60°，则另两个角的度数为。

3.等腰三角形的两边长分别是4cm、8cm那么这个三角形的周长是。

二、探究活动

（一）独立思考·解决问题

探究：

请同学们认真阅读教材P75，并思考回答下列问题，把活动中剪出的△ABC沿折痕AD对折，如图1找出其中重合的线段和角。

重合的线段

图1

重合的角

由此，你发现：

等腰三角形的两个相等

由上面的操作过程获得启发，自己画图并写出已知、求证，证明上面的性质。

已知：

求证：

证明：

归纳：

等腰三角形性质1：

（简写成“”）

几何语言：

∵在△ABC中，

从上面的探究活动中，我们还可以得到：

等腰三角形性质2等腰三角形

互相重合（简写成“”）

几何语言：

（利用图1）

（1）∵在△ABC中，AB=AC时，AD⊥BC，

∴∠_____=∠_____，____=____.

（等腰三角形底边上的高与

重合）

（2）∵在△ABC中，AB=AC时，AD是中线，

∴____⊥____，∠_____=∠_____.

（等腰三角形

重合）

（3）∵在△ABC中，AB=AC时，AD是角平分线，∴____⊥____，_____=_____.

（等腰三角形

）

例1在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各角的度数。

（二）师生探究·合作交流

例2如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB＝AC，AD＝AE，

求证：

BD=CE

三、自我检测

1．等腰三角形一个底角为70°,它的顶角为______.

2．等腰三角形一个角为70°,它的另外两个角为______.

3.等腰三角形的一个角是110°，它的另外两个角的度数是

4.如图，在△ABC是等腰直角三角形，AB=AC,∠BAC=90°，AD是底边BC上的高。

（1）求∠B、∠C、∠BAD、∠DAC的度数。

（2）

直接写出图中所有相等的线段。

5.如图，在△ABC中，AB=AD=DC，

∠BAD=26°，求∠B和∠C的度数．

6.如图，AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，求∠DBC的度数。

四、反思

乌苏市第四中学师生共用讲学稿姓名

年级：

八年级学科：

数学执笔：

曹庆蕾审核：

井风云

内容：

13.3.1等腰三角形

（2）课型：

新授时间：

14年月日

学习目标 1.理解并掌握等腰三角形的判定定理；

2.应用等腰三角形的判定定理解决实际问题。

学习重点：

等腰三角形的判定定理及其运用。

学习难点：

等腰三角形判定定理的探索。

一、学前准备：

1.等腰三角形的两边长分别为6，8，则周长

为。

2.等腰三角形的周长为14，其中一边长为6则另两边长分别为。

3.等腰三角形的一个角为80°，则另外两个

的度数是。

4.等腰三角形的一个角为120°，则另外两

个角的度数是。

图1

5.如图1，在⊿ABC中，AB=AC,

若AD平分∠BAC，那么、。

若BD=DC，那么_________、___________。

若AD⊥BC，那么_________、___________。

二、探究活动

（一）独立思考·解决问题

我们知道，如果一个三角形有两条边相等，那么它们所对的角；

反过来，如果一个三角形有两个角相等，那么们所对的边也。

请你证明这个结论。

（注：

自己画图并写出已知、求证，给与证明）

已知：

求证：

证明：

等腰三角形的判定方法：

如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的也相等（简写成）

几何语言：

（二）师生探究·合作交流

例1如图，C表示灯塔，轮船从A处出发以每小时15海里的速度向正北（AN方向）航行，2时后到达B处，测得C在A的北偏西40°方向，并在B的北偏西80°方向，求B处到灯塔C的距离。

例2已知等腰三角形底边长为m，底边上的高的长为d，求作这个等腰三角形。

尺规作图：

三、自我检测

1．已知下列数据中，可以组成等腰三角形的是（）

A、2，2，5B、1，1，4

C、3，3，4D、4，4，9

2.已知一个等腰三角形两个内角的度数之比为1：

4，则这个等腰三角形顶角的度数为。

3．如图,∠A=36°，∠DBC=36°，

∠C=72°，分别计算∠1，∠2的度数，并说明图中有哪些等腰三角形。

4.如图，AC和BD相交于点O，且AB//DC，OA=OB。

求证：

OC=OD

5．求证：

如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形。

（自己画图）

已知：

求证：

证明:

6.等腰三角形一腰上的高和另一腰的夹角为40°，求底角的度数。

四、反思

乌苏市第四中学师生共用讲学稿姓名

年级：

八年级学科：

数学执笔：

曹庆蕾审核：

井风云

内容：

13.3.2等边三角形

（1）课型：

新授时间：

14年月日

学习目标1理解并掌握等边三角形的定义，探索等边三角形的性质和判定方法

2.能够用等边三角形的知识解决相应的数学问题

学习重点：

等边三角形判定定理的发现与证明

学习难点：

等边三角形性质和判定的应用

一、学前准备：

请同学们认真阅读课本79-80页，并划出你认为重要的内容。

（1）等腰三角形的两相等。

（2）等腰三角形、

、相互重合。

（3）等腰三角形的判定

。

2.等腰三角形中有一种特殊的等腰三角形，即三角形。

叫等边三角形。

3.等边三角形三条边三个角；

三边上的高、中线、顶角的角平分线。

4．等边三角形有条对称轴。

二、探究活动

（一）独立思考·解决问题

例1我们知道“三条边相等的三角形是等边三角形”你能用等边三角形的定义证明“三个角相等的三角形是等边三角形吗？

”

图1

由此，我们可以得到：

等边三角形的判定1：

几何语言：

例2如图2，△ABC等腰三角形，AB=AC,且有一个角是60°，你能判断△ABC的形状吗？

说明理由。

图2

由此，我们可以得到：

等边三角形的判定2：

几何语言：

（二）师生探究·合作交流

例1如图2，△ADE是等边三角形，

DE∥BC，交AB，AC于D，E。

求证：

△ABC是等边三角形。

图2

例2如图3，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作

EF⊥DE，交BC的延长线于点F．

（1）求∠F的度数；

（2）若CD=2，求DF的长．

图3

三、自我检测

1.下列四个说法中，不正确的有（）

（1）三条边都相等的三角形是等边三角形。

（2）有两个角等于60°的三角形是等边三角形。

（3）有一个是60°的等腰三角形是等边三角形。

（4）等腰三角形是等边三角形。

（A）0个（B）1个（C）2个（D）3个

2.如图4，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，∠BDE=∠CDF=60°.

（1）求证：

BE=CF

（2）直接写出图中有哪些与BD相等的线段？

图4

四、反思

乌苏市第四中学师生共用讲学稿姓名

年级：

八年级学科：

数学执笔：

曹庆蕾审核：

井风云

内容：

13.3.2等边三角形

（2）课型：

新授时间：

14年月日

学习目标1.证明直角三角形中有一个角为30°的性质。

2.有一个角为30°的直角三角形的性质的简单应用。

学习重点：

含30°角的直角三角形的性质定理的发现与证明。

学习难点：

含30°角的直角三角形性质定理的探索与证明。

一、学前准备

1等边三角形的三个角都是。

2.等边三角形“三线合一”指的是

3．用两个全等的含30°角的直角三角尺，你能拼出几个三角形？

请画出示意图，并标出度数。

二、探究活动

（一）独立思考·解决问题

请你证明“直角三角形中，30°所对的直角边是斜边的一半”（自己画图，写出已知、求证、证明）

由此得到：

直角三角形中30°角所对的等于斜边的．

几何语言：

∵

∴

（二）师生探究·合作交流

例1如图1是屋架设计图的一部分，

点D是斜梁AB的中点，立柱BC.DE垂直于横梁AC，DE=2m，∠A=30°，斜梁AB,立柱BC需要多长？

图1

例2如图2，为了测量树高AB，小明在地面C处测得∠ACB=15°，他沿CB向前走了20米，到达D处，测得∠ADB=30°，求树高AB。

图2

三、自我检测

1.如图3，Rt△ABC中∠C=90°，

∠A=30°，AB=10，那么BC=

2．一辆汽车沿30°角的山坡从山底开到山顶共走了4000米，那么这座山的高度是。

3．如图4，在△ABC中，∠ACB=90°，

∠A=30°，CD⊥AB，AB=4，则BC=，∠BCD=，BD=。

4．在△ABC中，∠A：

∠B：

∠C=1：

2：

3，若AB=10，则BC=

5.如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，

∠A=30°．求证：

BD=

AB．

6.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，

∠BAC=30°,CD为斜边AB上的中线.

求证：

CD=

7.已知：

等腰三角形草坪，底角为15°，腰长为4m，求草坪的面积。

四、反思

乌苏市第四中学师生共用讲学稿姓名

年级：

八年级学科：

数学执笔：

曹庆蕾审核：

井风云

内容：

轴对称复习课型：

练习时间：

14年月日

学习目标：

1.运用等腰三角形、等边三角形的概念及性质解决相关问题。

2.含30°角的直角三角形的性质应用。

学习重点：

等腰三角形的性质。

学习难点：

等腰三角形、等边三角形的判定及其应用。

一、填空题：

1.线段垂直平分线上的点到线段的距离相等。

2.等腰三角形的两相等，两相等。

它的对称轴是。

3.等腰三角形的

互相重合。

4.等边三角形的各角都是各边

有条对称轴。

5.在直角三角形30°的角所对

是的一半。

6.等腰△ABC中∠A=80°，若∠A是顶角，则∠B=___

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