高一数学必修一公式及习题.docx

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高一数学必修一公式及习题

唐人街高中数学-必修1各章知识点总结

第一章集合与函数概念

一、集合有关概念

1.集合的含义

2.集合的中元素的三个特性：

（1）元素的确定性如：

世界上最高的山

（2）元素的互异性如：

由HAPPY勺字母组成的集合｛H,A,P,Y｝

（3）元素的无序性：

如：

｛a,b,c｝和｛a,c,b｝是表示同一个集合

3.集合的表示：

｛…｝如：

｛我校的篮球队员｝，｛太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋｝

（1）用拉丁字母表示集合：

A=｛我校的篮球队员｝,B=｛1,2,3,4,5｝

（2）集合的表示方法：

列举法与描述法。

注意：

常用数集及其记法：

非负整数集（即自然数集）记作：

N

正整数集N*或N+整数集Z有理数集Q实数集R

1）列举法：

｛a,b,c｝

2）描述法：

将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。

｛x三R|x-3>2｝,｛x|x-3>2｝

3）语言描述法：

例：

｛不是直角三角形的三角形｝

4）Venn图：

4、集合的分类：

（1）有限集含有有限个元素的集合

（2）无限集含有无限个元素的集合

（3）空集不含任何元素的集合例：

｛x|x2=—5｝

二、集合间的基本关系

1.“包含”关系一子集

注意：

AJB有两种可能

（1）A是B的一部分，；

（2）A与B是同一集合。

反之：

集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A等B或B孩A

2.“相等”关系：

A=B（5>5,且5W5,则5=5）

实例：

设A=｛x|x2-1=0｝B=｛-1,1｝“元素相同则两集合相等”

即：

①任何一个集合是它本身的子集。

用A

un

②真子集：

如果A=B,且A#B那就说集合A是集合B的真子集，记作A#B（或BWA）

③如果AB,BC,那么AC

④如果任B同时B三A那么A=B

3.不含任何元素的集合叫做空集，记为①

规定：

空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集三、集合的运算

运算旧

交集

并集

补集

定义

由所后属于A且属于B的元素所组成的集合，叫做A,B的交集.记作A^B（读作‘A交B'）,即

由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集.记作：

AUB

（读作"并8'）,即

设S是一个集合，A是S的一个子集，由S中所后不属于A的兀素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集）

记作CSA,即

S

ADB={x|xwA,且

x三B}.

AUB={x|xwA,或xWB}）.

CsA={x|xWSJlx乏:

韦

恩图

C:

C®）

示

图1

图2

性

AOA=A

aUa=a

（CuA）n（CuB）

aQ①二①

aU①二：

=Cu（AUB）

aDb=bQa

aUb=bUa

aDb工a

aUb3a

（CuA）U（CuB）

质

A口B^B

aUb3b

=Cu（AnB）

aU（CuA）=U

：

n（CuA）=①.

例题：

1.下列四组对象，能构成集合的是（）

A某班所有高个子的学生B著名的艺术家C一切很大的书D倒数等于它自身的实数

2.集合{a,b,c}的真子集共有个

3.若集合M={y|y=x2-2x+1,xRR},N={x|x>0},则M与N的关系是^

4.设集合A={x1

5.50名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确得有40人，化,学实验做得正

确得有31人，J

两种实验都做错得有4人，则这两种实验都做对的有人。

6.用描述法表示图中阴影部分的点（含边界上的点）组成的集合j卜长

M=.

7.已知集合A={x|x2+2x-8=0},B={x|x2-5x+6=0},C={x|x2-mx+ni-19=0},若BnCw①，A

CC=O,求m的值

二、函数的有关概念

1.函数的概念：

设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f,使对于

集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f:

A-B为从集合A到集合B的一个函数.记作：

y=f（x）,xCA.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f（x）|xCA}叫做函数的值域.

注意：

2.定义域：

能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。

求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：

（1）分式的分母不等于零；

（2）偶次方根的被开方数不小于零；

（3）对数式的真数必须大于零；

（4）指数、对数式的底必须大于零且不等于1.

（5）如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各

部分都有意义的x的值组成的集合.

（6）指数为零底不可以等于零，

⑺实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义^

相同函数的判断方法：

①表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；

♦定双晟一致（两点必须同时具备）

（见课本21页相关例2）

2.值域：

先考虑其定义域

（1）观察法

（2）配方法

（3）代换法

3.函数图象知识归纳

（1）定义：

在平面直角坐标系中，以函数y=f（x）,（xCA）中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P（x,y）的集合C,叫做函数y=f（x）,（xCA）的图象.C上每一点的坐标（x,y）均满足函数关系y=f（x）,反过来，以满足y=f（x）的每一组有序实数又x、y为坐标的点（x,y）,均在C上.

（2）画法

A、描点法：

B、图象变换法

常用变换方法有三种

1）平移变换

2）伸缩变换

3）对称变换

4.区间的概念

（1）区间的分类：

开区间、闭区间、半开半闭区间

（2）无穷区间

（3）区间的数轴表示.

5.映射

一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f,使对于

集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f:

AtB为从集合A到集合B的一个映射。

记作“f（对应关系）：

A（原象）tB（象）"

对于映射f：

2B来说，则应满足：

（1）集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；

（2）集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；

（3）不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。

6.分段函数

（1）在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。

（2）各部分的自变量的取值情况.

（3）分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集.

补充：

复合函数

如果y=f（u）（u6M）,u=g（x）（x6A）,则y=f[g（x）]=F（x）（x6A）称为f、g的复合函

数。

二.函数的性质

1.函数的单调性（局部性质）

（1）增函数

设函数y=f（x）的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1,x2,当x1

如果对于区间D上的任意两个自变量的值xbX2,当xf（x2）,

那么就说f（x）在这个区间上是减函数.区间D称为y=f（x）的单调减区间.

注意：

函数的单调性是函数的局部性质；

（2）图象的特点

如果函数y=f（x）在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f（x）在这一区间

上具有（严格的）单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的

图象从左到右是下降的.

（3）.函数单调区间与单调性的判定方法

（A）定义法：

d任取xi,X2CD,且Xi

@作差f（xi）—f（x2）；

（3变形（通常是因式分解和配方）；

（4定号（即判断差f（xi）-f（x2）的正负）；

（5下结论（指出函数f（x）在给定白区间D上的单调性）.

（B）图象法（从图象上看升降）

（C）复合函数的单调性

复合函数f[g（x）]的单调性与构成它的函数u=g（x），y=f（u）的单调性密切相关，

其规律：

“同增异减”

注意：

函数的单调区间只能是其定义域的子区间,不能把单调性相同的区间和在

一起写成其并集.

8．函数的奇偶性（整体性质）

（i）偶函数

一般地，对于函数f（x）的定义域内的任意一个x,都有f（—x）=f（x）,那么f（x）就

叫做偶函数．

（2）．奇函数

一般地，对于函数f（x）的定义域内的任意一个X,都有f（-x）=—f（x）,那么f（x）

就叫做奇函数．

（3）具有奇偶性的函数的图象的特征

偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．

利用定义判断函数奇偶性的步骤：

①首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；②确定f（—x）与f（x）的关系；

（3作出相应结论：

若f（—x）=f（x）或f（-x）—f（x）=0,则f（x）是偶函数；若f（－x）=－f（x）或f（－x）＋f（x）=0，则f（x）是奇函数．

注意：

函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．首先看函数的

定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，（i）再根据定

义判定;

（2）由f（-x）±f（x）=0或f（x）／f（-x）=±i来判定;（3）利用定理，或借助

函数的图象判定.

9、函数的解析表达式

（i）.函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一

是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.

（2）求函数的解析式的主要方法有：

1）凑配法

2）待定系数法

3）换元法

4）消参法

10.函数最大（小）值（定义见课本p36页）

①利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值

@利用图象求函数的最大（小）值

（3利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：

如果函数y=f（x）在区间［a,b］上单调递增，在区间［b,c］上单调递减则函数y=f（x）

在x=b处有最大值f（b）；

如果函数y=f（x）在区间［a,b］上单调递减，在区间［b,c］上单调递增则函数y=f（x）

在x=b处有最小值f（b）；

例题：

1.求下列函数的定义域：

⑴y_.x-2x一15

一|x3-3

2.设函数f（x）的定义域为

⑵y=.i.（x：

）2,x1

3.若函数f（xH1）的定义域为［_2,3］，则函数f（2x_1）的定义域是

x2（x<-1）

4

f（x）=3，则x=

⑵y=x22x-3x[1,2]

.函数!

2，若

f（x）=x（-1：

：

：

x：

：

：

2）

2x（x_2）L

5.求下列函数的值域：

⑴y=x22x-3（xR）

（3）y=x-.,1-2x（4）

6.已知函数f（x—1）=x2—4x,求函数f（R,f（2x+1）的解析式

7.已知函数f（R满足2f凶+f（0贝Uf（x）=

8.设f（x）是R上的奇函数，且当x^［0,+到时，f（x）=x（1+3/x），则当xW（-°o,0）时f（x）=

f（x）在R上的解析式为

9.求下列函数的单调区间：

⑴y=x2+2x+3⑵y=V-x2+2x+3⑶y=x2-6x-1

10.判断函数y=-x3+1的单调性并证明你的结论.

11.设函数f（x）_1+x2判断它的奇偶性并且求证:

f,1

（x）一.2f㈠=-f（x）

1-xx

第二章基本初等函数

一、指数函数

（一）指数与指数塞的运算

1.根式的概念：

一般地，如果xn=a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1,且n*

eN.

负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0,记作U0=0。

当n是奇数时，Van=a，当n是偶数时，Van=|a|=」a（a-0）

「a（a<0）

2.分数指数哥

正数的分数指数哥的意义，规定：

m

an=nam（a0,m,nN*,n1）

1*

（a0,m,nN,n1）

nm

a

0的正分数指数哥等于0,0的负分数指数哥没有意义

3.实数指数哥的运算性质

（a>0,r,s=R）.

（二）指数函数及其性质

1、指数函数的概念：

一般地，函数y=ax（a>0,且a#1）叫做指数函数，其中x

是自变量，函数的定义域为R.

注意：

指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1.

2、指数函数的图象和性质

a>1

0

6

6

5

1

5

4

1

4

3

U

3

2

2

11

1

—

3

■

-

-0~

0~

一1

定义域

R

定义域R

值域y>0

值域y>0

在R上单调递增

在R上单调递减

非奇非偶函数

非奇非偶函数

函数图象都过定

点（0,1）

函数图象都过定

点（0,1）

注意：

利用函数的单调性，结合图象还可以看出：

（1）在［a,b］上，f（x）=ax（a>0且a#1）值域是［f（a）,f（b）］或［f（b）,f（a）］；

（2）若x#0,则f（x）#1;f（x）取遍所有正数当且仅当xWR;

（3）对于指数函数“*）=232>0且2/1），总有f

（1）=a；

二、对数函数

（一）对数

1.对数的概念：

一般地，如果ax=N（a>0,a#1）,那么数x叫做以a为底N的对数，记作：

x=logaN（a—底数，N—真数，logaN一对数式）说明：

①注意底数的限制a>0,且a#1;

22）ax=NulogaN=x；

@注意对数的书写格式.।a--

两个重要对数：

①常用对数：

以10为底的对数lgN；

@自然对数：

以无理数e=2.71828」为底的对数的对数lnN.

指数式与对数式的互化

嘉值真数

bII

a=N=logaN=b

指数对数

（二）对数的运算性质

如果a>0,且a#1,M>0,N>0,那么:

O10ga（M♦N）=10gaM+10gaN;

②lOgaM=10gaM-10gaN；

N

（310gaMn=n10gaM（nwR）.

注意：

换底公式

,10gcb--

10gab=（a>0,且a*1；c>0,且c=1；b>0）.

10gca

利用换底公式推导下面的结论

（1）10gambn=-10gab；

（2）10gab=.

m10gba

（二）对数函数

1、对数函数的概念：

函数y=10gax（a>0,且a#1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0,+8）.

注意：

①对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。

如：

y=210g2x,y=10g5x都不是对数函数，而只能称其为对数型函数.

5

（2对数函数对底数的限制：

（a>0,且a#1）.

2、对数函数的性质：

a>1

3

0

3

25

--

--

25

2

，

，一-

2

1.5

1.5

11

11

0.5

■5

0..

7

1

寸

05

1

-I

-5

25

25

-

-_

-.

定义域x>0

定义域x>0

值域为R

值域为R

在R上递增

在R上递减

函数图象都过定点（1,0）

函数图象都过定点（1,0）

（三）哥函数

1、哥函数定义：

一般地，形如y=x"（aWR）的函数称为哥函数，其中“为常数.2、哥函数性质归纳.

（1）所有的哥函数在（0,+8）都有定义并且图象都过点（1,1）；

（2）0>0时，哥函数的图象通过原点，并且在区间[0,y）上是增函数.特别地，

当aA1时，哥函数的图象下凸；当0<1时，哥函数的图象上凸；

（3）a<0时，哥函数的图象在区间（0,十定）上是减函数.在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于+8时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴.

例题：

1.已知a>0,a±0,函数y=ax与y=loga（-x）的图象只能是

1.

2.计算：

①10g32；②24*g23=；2530g5率。

g5=；

log2764

foA1741

⑷0.0643-_（__）°•［（工）3］一•16275-o.or=8

3.函数y=log1（2x2-3x+1）的递减区间为

2

4.若函数f（x）_|ogax（0

5.已知f（x）Toga之（aa且a¥1）'

（1）求f（X）的式E*-土或

（2）求^1^吏f（x）>0的X的取"围1-x

第三章函数的应用

一、方程的根与函数的零点

1、函数零点的概念：

对于函数y=f（x）（xwD）,把使f（x）=0成立的实数x叫

做函数y=f（x）（xwD）的零点。

2、函数零点的意义：

函数y=f（x）的零点就是方程f（x）=0实数根，亦即函数

y=f（x）的图象与x轴交点的横坐标。

即：

方程f（x）=0有实数根u函数y=f（x）的图象与x轴有交点u函数y=f（x）有零点.

3、函数零点的求法：

①（代数法）求方程f（x）=0的实数根；

（2（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y=f（x）的图象联

系起来，并利用函数的性质找出零点.

4、二次函数的零点：

二次函数y=ax2+bx+c（a*0）.

（1）△>o,方程ax2+bx+c=。

有两不等实根，二次函数的图象与x轴有两个

交点，二次函数有两个零点.

（2）△=0,方程ax2+bx+c=0有两相等实根，二次函数的图象与x轴有一个

交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点.

（3）△<0,方程ax2+bx+c=0无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次

函数无零点.

5.函数的模型

检验

函数

.三角函数

‘正角：

按逆时针方向旋转形成的角

1、任意角J负角：

按顺时针方向旋转形成的角

零角:

不作任何旋转形成的角

2、角a的顶点与原点重合,

角的始边与x轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称a为第几象限角.

第一象限角的集合为

fok360<"k3600+90，k^zl

第二象限角的集合为

fak360s+903

第三象限角的集合为

360〉180；"360：

270；,k

第四象限角的集合为

（a

360,270-：

」*360’360‘，k

终边在x轴上的角的集合为

{ot口=k180、kw?

}

终边在y轴上的角的集合为

{aa=k1800+901kwZ}

终边在坐标轴上的角的集合为

{aa=k90!

keZ）

3、