二重积分地计算方法.docx
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二重积分地计算方法
实用文案
1利用直角坐标系计算
1.1
积分区域为X型或Y型区域时二重积分的计算对于一些简单区域上的二重积分，可以直接化成二次积分来解决．在直角坐标系下，被积分函数f（x,y）在积分区域D上连续时，若D为x型区域（如图1），即D
1.2
其中1（x）,2（x）在[a,b]上连续，则有
则有
f（x,y）d
d
cdy
2（y）
1（y）f（x,y）dx．
[1]
例1
2
计算y2dxdy，其中
Dx
D是由x2，
及xy1所围成．
分析
积分区域如图3所示，为x型区域
D=x,y1x2,y
．确定了积分区域然后可以
利用公式
1）进行求解．
解积分区域为x型区域
D=x,y1
2,1yx
x
标准文档
图3
2
y
2dxdy
x
2xy2
1dxx1x2dy
3x2
x1dx
实用文案
31x5dx
x21227
41
612x4164
1.3
积分区域非X型或Y型区域二重积分的计算
当被积函数的原函数比较容易求出，但积分区域并不型区域，不能直接使用公式
（1）或者
（2）进行计算，这分区域划分为若干x型或y型区域，然后利用公式
进行计算，
标准文档
实用文案
32
x
4
3x
3x2
1.3被积函数较为复杂时二重积分的计算
重积分化为二次定积分后的计算可以按定积分的求解进行，但是当被积函数较为复杂，虽然能
定出积分限，但被积函数的原函数不易求出或根本求不出，
这时可根据被积函数划分积分区域，然后
进行计算．
例3计算二重积分
D
yx2dxdy，其中D为区
分析由于被积函数含有绝对值，其原函数不能直
直接化为二次积分进行计算，观察函数本身，不难发
划分为D1
22
x2y20yx2
，D2两部分后，
1x121x1
D1
图6
O
域x1，0y2．
接求得，以至于不能
现当我们把积分区域
被积函数在每一个积
分区域都可以化为基本函数，其原函数很容易求得．
解区域D如图6可分为D1UD2，其中
D1
12，D2
由公式（3）则
2利用变量变换法计算
标准文档
f（x,y）dD
4）式叫做二重积分的变量变换公式，
3.1根据被积函数选取新变量使被积函数简化当被积函数较为复杂，这时可以考虑利用变量变换化被积函数为简单函数，原积分区域相应的转化为新的积分区域，进而利用公式进行计算．
xy
例4求exydxdy，其中D是由x0,y0,xy1所围曲线（图7）
D
分析由于被积函数含有e的指数，且较为复杂，这时可以考虑替换变量，简化被积函数，如果做
替换T：
uxy,vxy.在变换T作用下区域D的原像如图8所示，根据二重积分的变量变换公式，
积分计算就简单了．
x
解做变换T:
y
1
uv
2
1
uv
2
Ju,v10
2
所以
标准文档
实用文案
1
ee
4
mun,v，则把xy平面上的积分区域D对应到uv平面上简单的矩形区域，然后根据二重积
分的变量变换公式（4）进行计算．
例5求抛物线y2mx,y2nx和直线yx,yx所围区域D的面积D．
mun,v
解D的面积DdxdyD
作变换
标准文档
实用文案
x
u
2
T:
v，
m,n
v
y
u
u
J
u,v4,
u,v
v
所以
xy
2y2x
所以
应到uv平面上的矩形区域
解令
u
T:
v
在变换T作用下，区域D的原像
2.3利用极坐标变换计算二重积分
当被积函数含有fx2y2
x或fy形式或积分区域的边界曲线用极坐标方程来表示比较yx
方便，如圆形及圆形区域的一部分，可考虑用极坐标变换
标准文档
实用文案
xrcos
T:
，0,02
yrsin
这个变换除原点和正实轴外是一一对应的（严格来说极坐标变换在原点和正实轴上不是一对一的，
但可以证明公式
（1）仍然成立），其雅可比行列式为r.
示为
则有
那么
r1
则有
3）如果原点O在积分区域D的边界上，
0r
那么
标准文档
实用文案
则有
分析观察到积分区域为圆域，被积函数的形式为f（x2y2），且原点为D的内点，故可采用极坐
xrcos标变换T:
yrsin
解作变换
标准文档
实用文案
D1:
0r2sin,
12
故原式
2sin
84
ydxdy
d
rsinrdr
sin4d
D1
2
0
32
8
1cos2
1
2cos2
．
342
2
2
2.4利用广义极坐标变换计算一些二重积分
与极坐标类似，作如下广义极坐标变换：
xarcos,0r
T:
ybrsin,02
并且雅可比行列式Ju,vabr
同样有
分析根据给出被积函数和积分区域的形式，我们可以确定采用广义极坐标变换
xarcos,0r1
T:
，可以达到简化积分区域和被积函数的目的．ybrsin,0
2
解作广义极坐标变换
由（9）知
xarcos,0rT:
ybrsin,0
1
，Ju,v
2
abr
2
2
Ic1ax2
Da
y
2dxdyb2
2d1c1
00
r2abrdr
abc2dr1r2dr
abc
00
6
标准文档
实用文案
3某些特殊函数的计算
3.1利用积分区域的对称性简化二重积分的计算
如果D可以分为具有某种对称性（例如关于某直线对称，关于某点对称）的两部分D1和D2，那
么有
如果fx,y
如果fx,y
在D1上各点处的值与其在D2上各对称点处的值互为相反数，那么
fx,yd0
D
11
在D1上各点处的值与其在D2上各对称点处的值恒相等，那么
3.2分段函数和带绝对值函数的二重积分计算
分段函数：
首先画出被被积函数和积分区域的图形，然后根据分段函数表达式将积分区域划分成若干个子区域，是在每个子区域上的被积函数的表达式是唯一的，最后再由性质加以讨论．
被积函数带绝对值时，首先去掉绝对值号，同样也将积分区域划分成若干个子区域，使每个子区标准文档
实用文案
域上被积函数的取值不变号．
y24dxdy，其中D为
例11求
D
x2
x2y29围成的区域．
分析被积函数表达式含有绝对值，为了去掉绝对值符号，应将积分区域分成使得
22
xy
40及x2y240的两部分，在两部分上分别积分后，
再相加．
为去绝对值号，将D分成若干个子区域，即
22
D1:
xy
D2:
4
y29
在D1内
在D2内
故原式
x2
x2
x2
2
y2
x2
2
y2
利用极坐标计算有
故原式
825
2
12求
D
fx,y
xy
e,x
0,其他
D1
4
D1
2
x
D2
41．
2．
x,ydxdy,其中
0,y0,D由
xya,xyb,y
4dxdy
dxdy
4dxdy，
D2
x2
dxdy
rdr
4dxdy
rdr
25
2
0和yba所围成
12
分析首先划出积分区域,将区域D分解为如图
据被积函数的形式,分别计算出每个积分区域上的积
ba0.所示三个区域,根分,再利用二重积
分对区域的可加性再相加即得.
标准文档
实用文案
解如图
在D1上有f
因而
12,并由fx,y表达式可得DD1UD2UD3.
x,y0,则
fx,ydxdy0.D1
标准文档
0dxaxe
exydxdy
D2
xy
dy
exydxdy
D3
abxdxea0
dy
ababaebeee
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