教育资料第一章 132学习专用.docx

教育资料第一章 132学习专用.docx

《教育资料第一章 132学习专用.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《教育资料第一章 132学习专用.docx（17页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

教育资料第一章132学习专用

1．3.2　命题的四种形式

学习目标

　1.了解四种命题的概念，会写出所给命题的逆命题、否命题和逆否命题.2.认识四种命题之间的关系以及真假性之间的联系.3.会利用命题的等价性解决问题．

知识点一　四种命题的概念

思考　给出以下四个命题：

（1）当x＝2时，x2－3x＋2＝0；

（2）若x2－3x＋2＝0，则x＝2；

（3）若x≠2，则x2－3x＋2≠0；

（4）若x2－3x＋2≠0，则x≠2.

你能说出命题

（1）与其他三个命题的条件与结论有什么关系吗？

答案　命题

（1）的条件和结论与命题

（2）的条件和结论恰好互换了．命题

（1）的条件与结论恰好是命题（3）条件的否定和结论的否定．命题

（1）的条件和结论恰好是命题（4）结论的否定和条件的否定．

梳理　对命题的条件和结论进行“换位”和“换质”（否定）后，可以构成四种不同形式的命题：

（1）原命题：

如果p，则q；

（2）逆命题：

如果q，则p（“换位”）；

（3）否命题：

如果綈p，则綈q（“换质”）；

（4）逆否命题：

如果綈q，则綈p（“换位”又“换质”）．

知识点二　命题的四种形式之间的关系

思考1　为了书写方便常把p与q的否定分别记作“綈p”和“綈q”，如果原命题是“如果p，则q”，那么它的逆命题、否命题、逆否命题该如何表示？

答案　逆命题：

如果q，则p.否命题：

如果綈p，则綈q.逆否命题：

如果綈q，则綈p.

思考2　原命题的否命题与原命题的逆否命题之间是什么关系？

原命题的逆命题与其逆否命题之间是什么关系？

原命题的逆命题与其否命题呢？

答案　互逆、互否、互为逆否．

梳理　四种命题间的相互关系

知识点三　四种命题的真假关系

思考1　知识点一的“思考”中四个命题的真假性是怎样的？

答案　

（1）真命题，

（2）假命题，（3）假命题，（4）真命题．

思考2　如果原命题是真命题，它的逆命题是真命题吗？

它的否命题呢？

它的逆否命题呢？

答案　原命题为真，其逆命题不一定为真，其否命题不一定为真，其逆否命题一定是真命题．

梳理　

（1）在原命题的逆命题、否命题、逆否命题中，一定与原命题真假性相同的是逆否命题．

（2）两个命题互为逆命题或互为否命题时，它们的真假性没有关系．

（1）任何一个命题都有逆命题、否命题和逆否命题．（　√　）

（2）原命题与逆命题的真假性无关，但原命题与否命题的真假性一定相反．（　×　）

（3）一个命题的否命题和这个命题的逆命题的真假性相同．（　√　）

（4）否命题其实就是命题的否定．（　×　）

类型一　四种命题及其相互关系

命题角度1　四种命题的概念

例1　写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题．

（1）若x∈A，则x∈A∪B；

（2）若a，b都是偶数，则a＋b是偶数；

（3）在△ABC中，若a>b，则A>B.

考点　四种命题

题点　四种命题概念的理解

解　

（1）逆命题：

若x∈A∪B，则x∈A.

否命题：

若x∉A，则x∉A∪B.

逆否命题：

若x∉A∪B，则x∉A.

（2）逆命题：

若a＋b是偶数，则a，b都是偶数．

否命题：

a，b不都是偶数，则a＋b不是偶数．

逆否命题：

若a＋b不是偶数，则a，b不都是偶数．

（3）逆命题：

在△ABC中，若A>B，则a>b.

否命题：

在△ABC中，若a≤b，则A≤B.

逆否命题：

在△ABC中，若A≤B，则a≤b.

反思与感悟　四种命题的转换方法

（1）交换原命题的条件和结论，所得命题是原命题的逆命题．

（2）同时否定原命题的条件和结论，所得命题是原命题的否命题．

（3）交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得命题是原命题的逆否命题．

跟踪训练1　命题“若函数f（x）＝logax（a>0，a≠1）在其定义域内是减函数，则loga2<0”的逆否命题是（　　）

A．若loga2<0，则函数f（x）＝logax（a>0，a≠1）在其定义域内不是减函数

B．若loga2≥0，则函数f（x）＝logax（a>0，a≠1）在其定义域内不是减函数

C．若loga2<0，则函数f（x）＝logax（a>0，a≠1）在其定义域内是减函数

D．若loga2≥0，则函数f（x）＝logax（a>0，a≠1）在其定义域内是减函数

考点　四种命题

题点　四种命题概念的理解

答案　B

解析　直接根据逆否命题的定义，将其条件与结论进行否定，再互换，值得注意的是“是减函数”的否定不能写成“是增函数”，而应写成不是减函数．

命题角度2　四种命题的相互关系

例2　若命题p：

“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的否命题为q，命题q的逆命题为r，则r与p的逆命题的关系是（　　）

A．互为逆命题

B．互为否命题

C．互为逆否命题

D．同一命题

考点　四种命题的相互关系

题点　四种命题相互关系的应用

答案　B

解析　已知命题p：

若x＋y＝0，则x，y互为相反数．

命题p的否命题q为：

若x＋y≠0，则x，y不互为相反数，

命题q的逆命题r为：

若x，y不互为相反数，则x＋y≠0，

∴r是p的逆否命题，

∴r是p的逆命题的否命题，故选B.

反思与感悟　判断四种命题之间四种关系的两种方法

（1）利用四种命题的定义判断．

（2）巧用“逆、否”两字进行判断，如“逆命题”与“逆否命题”中不同有“否”一个字，是互否关系；而“逆命题”与“否命题”中不同有“逆、否”二字，其关系为逆否关系．

跟踪训练2　已知命题p的逆命题是“若实数a，b满足a＝1且b＝2，则a＋b<4”，则命题p的否命题是__________________________________．

考点　四种命题的相互关系

题点　四种命题相互关系的应用

答案　若实数a，b满足a＋b≥4，则a≠1或b≠2

解析　由命题p的逆命题与其否命题互为逆否命题可得．

类型二　四种命题的真假判断

例3　有以下命题：

①“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；②“面积相等的三角形全等”的否命题；③“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数解”的逆否命题；④“若A∩B＝B，则A⊆B”的逆否命题，其中真命题为（　　）

A．①②B．②③

C．④D．①②③

考点　四种命题的真假判断

题点　由四种命题的关系判断命题的真假

答案　D

解析　①②③显然正确；对于④，若A∩B＝B，则B⊆A，

所以原命题为假，故它的逆否命题也为假．

反思与感悟　原命题与逆否命题总是具有相同的真假性，与逆命题或否命题的真假性没有关系．逆命题与否命题也总是具有相同的真假性．

跟踪训练3　命题“若a>b，则ac2>bc2（a，b，c∈R）”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为（　　）

A．0B．2C．3D．4

考点　四种命题的真假判断

题点　由四种命题的关系判断命题的真假

答案　B

解析　命题“若a>b，则ac2>bc2（a，b，c∈R）”是假命题，

则其逆否命题是假命题．

该命题的逆命题为“若ac2>bc2，则a>b（a，b，c∈R）”是真命题，则其否命题是真命题．故选B.

类型三　等价命题的应用

例4　判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋（2a＋1）x＋a2＋2≤0的解集非空，则a≥1”的逆否命题的真假．

考点　四种命题的相互关系

题点　逆否证法

解　方法一　原命题的逆否命题：

已知a，x为实数，若a<1，则关于x的不等式x2＋（2a＋1）x＋a2＋2≤0的解集为∅，判断如下：

二次函数y＝x2＋（2a＋1）x＋a2＋2的开口向上，

令x2＋（2a＋1）x＋a2＋2＝0，

则Δ＝（2a＋1）2－4（a2＋2）＝4a－7.

因为a<1，所以4a－7<0，

即关于x的不等式x2＋（2a＋1）x＋a2＋2≤0的解集为∅.故此命题为真命题．

方法二　利用原命题的真假去判断逆否命题的真假．

因为关于x的不等式x2＋（2a＋1）x＋a2＋2≤0的解集非空，

所以（2a＋1）2－4（a2＋2）≥0，

即4a－7≥0，解得a≥

＞1，

所以原命题为真，故其逆否命题为真．

引申探究　

判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋（2a＋1）x＋a2＋2>0的解集为R，则a<

”的逆否命题的真假．

解　先判断原命题的真假如下：

因为a，x为实数，关于x的不等式x2＋（2a＋1）x＋a2＋2>0的解集为R，且二次函数y＝x2＋（2a＋1）x＋a2＋2的开口向上，

所以Δ＝（2a＋1）2－4（a2＋2）＝4a－7<0，

所以a<

.

所以原命题是真命题．

因为互为逆否命题的两个命题同真同假，

所以原命题的逆否命题为真命题．

反思与感悟　由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，即互为逆否命题的两个命题具有等价性，所以我们在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题来间接地证明原命题为真命题．

跟踪训练4　证明：

若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1.

考点　四种命题的相互关系

题点　逆否证法

证明　“若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1”的逆否命题为“若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a＋1＝0”．

∵a＝2b＋1，

∴a2－4b2－2a＋1＝（2b＋1）2－4b2－2（2b＋1）＋1

＝4b2＋1＋4b－4b2－4b－2＋1＝0，

∴命题“若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a＋1＝0”为真命题．

由原命题与逆否命题具有相同的真假性可知，结论正确.

1．命题“若a∉A，则b∈B”的否命题是（　　）

A．若a∉A，则b∉BB．若a∈A，则b∉B

C．若b∈B，则a∉AD．若b∉B，则a∉A

考点　四种命题

题点　四种命题概念的理解

答案　B

解析　命题“若p，则q”的否命题是“若非p，则非q”，“∈”与“∉”互为否定形式．

2．命题“如果x2<1，则－1

A．如果x2≥1，则x≥1，或x≤－1

B．如果－1

C．如果x>1或x<－1，则x2>1

D．如果x≥1或x≤－1，则x2≥1

考点　四种命题

题点　四种命题概念的理解

答案　D

解析　原命题结论“－1

3．如果一个命题的否命题是真命题，那么这个命题的逆命题是（　　）

A．真命题

B．假命题

C．不一定是真命题

D．不一定是假命题

考点　四种命题的真假判断

题点　由四种命题的关系判断命题的真假

答案　A

解析　由否命题与逆命题互为逆否命题，可知这个命题的逆命题是真命题．

4．下列命题：

①“全等三角形的面积相等”的逆命题；

②“正三角形的三个内角均为60°”的否命题；

③“若k<0，则方程x2＋（2k＋1）x＋k＝0必有两相异实数根”的逆否命题．

其中真命题的个数是（　　）

A．0B．1C．2D．3

考点　四种命题的真假判断

题点　由四种命题的关系判断命题的真假

答案　C

解析　①的逆命题“面积相等的三角形是全等三角形”是假命题；

②的否命题“不是正三角形的三个内角不全为60°”为真命题；

③当k<0时，Δ＝（2k＋1）2－4k＝4k2＋1>0，方程有两相异实根，原命题与其逆否命题均为真命题．

5．已知命题“若m－1

考点　四种命题的真假判断

题点　由四种命题的真假求参数的范围

答案　[1,2]

解析　命题：

“若m－1

∵该逆命题为真命题，

∴由

得1≤m≤2.

1．写四种命题时，可以按下列步骤进行：

（1）找出命题的条件p和结论q；

（2）写出条件p的否定綈p和结论q的否定綈q；

（3）按照四种命题的结构写出所有命题．

2．一个命题都有条件和结论，要分清条件和结论．

3．判断命题的真假可以根据互为逆否的命题真假性相同来判断，这也是反证法的理论基础．

一、选择题

1．“如果x＞y，则x2＞y2”的逆否命题是（　　）

A．如果x≤y，则x2≤y2

B．如果x＞y，则x2＜y2

C．如果x2≤y2，则x≤y

D．如果x＜y，则x2＜y2

考点　四种命题

题点　四种命题概念的理解

答案　C

解析　由互为逆否命题的定义可知，把原命题的条件的否定作为结论，原命题的结论的否定作为条件即可得逆否命题．

2．若命题p的否命题为q，命题p的逆否命题为r，则q与r的关系是（　　）

A．互逆命题B．互否命题

C．互为逆否命题D．以上都不正确

考点　四种命题的相互关系

题点　四种命题相互关系的应用

答案　A

解析　设p为“若A，则B”，那么q为“若綈A，则綈B”，r为“若綈B，则綈A”．故q与r为互逆命题．

3．命题p：

若A∩B＝B，则A⊆B；命题q：

若A⊈B，则A∩B≠B，那么命题p与命题q的关系是（　　）

A．互逆命题B．互否命题

C．互为逆否命题D．不能确定

考点　四种命题的相互关系

题点　四种命题相互关系的应用

答案　C

解析　由逆否命题的定义可得．

4．下列命题中为真命题的是（　　）

A．命题“若x>2016，则x>0”的逆命题

B．命题“若xy＝0，则x＝0或y＝0”的逆否命题

C．命题“若x2＋x－2＝0，则x＝1”

D．命题“若x2≥1，则x≥1”的逆否命题

考点　四种命题的真假判断

题点　由四种命题的关系判断命题的真假

答案　B

解析　A选项，“若x>2016，则x>0”的逆命题为“若x>0，则x>2016”是假命题；

B选项，“若xy＝0，则x＝0或y＝0”的逆否命题为“若x≠0且y≠0，则xy≠0”是真命题；

C选项，由x2＋x－2＝0，得x＝1或x＝－2，故C是假命题；

D选项，“若x2≥1，则x≥1”是假命题，故其逆否命题是假命题．

5．已知命题“若a，b，c成等比数列，则b2＝ac”，则它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是（　　）

A．0B．1C．2D．3

考点　四种命题的真假判断

题点　由四种命题的关系判断命题的真假

答案　B

解析　命题“若a，b，c成等比数列，则b2＝ac”是真命题，故其逆否命题是真命题．

该命题的逆命题为“若b2＝ac，则a，b，c成等比数列”是假命题，故其否命题也是假命题，故选B.

6．已知命题“如果ab≤0，则a≤0或b≤0”，则下列结论正确的是（　　）

A．真命题，否命题：

“如果ab>0，则a>0或b>0”

B．真命题，否命题：

“如果ab>0，则a>0且b>0”

C．假命题，否命题：

“如果ab>0，则a>0或b>0”

D．假命题，否命题：

“如果ab>0，则a>0且b>0”

考点　四种命题

题点　四种命题概念的理解

答案　B

解析　如果ab≤0，则a与b至少有一个小于等于0，

故“如果ab≤0，则a≤0或b≤0”是真命题，

该命题的否命题为“如果ab>0，则a>0且b>0”．

7．若命题p的否命题为r，命题r的逆命题为s，p的逆命题为t，则s是t的（　　）

A．逆否命题B．逆命题

C．否命题D．原命题

考点　四种命题的相互关系

题点　四种命题相互关系的判断

答案　C

解析　特例：

p：

△ABC中，若∠A＝∠B，则a＝b；

r：

△ABC中，若∠A≠∠B，则a≠b；

s：

△ABC中，若a≠b，则∠A≠∠B；

t：

△ABC中，若a＝b，则∠A＝∠B.

8．下列说法错误的是（　　）

A．命题“如果x2－4x＋3＝0，则x＝3”的逆否命题是“如果x≠3，则x2－4x＋3≠0”

B．“x>1”是“|x|>0”的充分不必要条件

C．若p且q为假命题，则p，q均为假命题

D．命题p：

“∃x∈R，使得x2＋x＋1<0”，则綈p：

“∀x∈R，均有x2＋x＋1≥0”

考点　四种命题

题点　四种命题概念的理解

答案　C

解析　C选项中，p且q为假命题，则p与q至少有一个为假命题．

二、填空题

9．下列命题中：

①如果一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形；

②如果一个四边形为正方形，则它的四条边相等；

③如果一个四边形的四条边相等，则它是正方形．

其中互为逆命题的有________；互为否命题的有________；互为逆否命题的有________．

考点　四种命题

题点　四种命题概念的理解

答案　②③　①③　①②

10．在命题“若抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下，则{x|ax2＋bx＋c<0}≠∅”的逆命题、否命题、逆否命题中结论成立的个数是________．

考点　四种命题的真假判断

题点　由四种命题的关系判断命题的真假

答案　1

解析　原命题是真命题，则其逆否命题是真命题，该命题的逆命题是假命题，则其否命题也是假命题，故答案为1.

11．已知原命题“两个无理数的积仍是无理数”，则

①逆命题是“乘积为无理数的两数都是无理数”；

②否命题是“两个不都是无理数的积也不是无理数”；

③逆否命题是“乘积不是无理数的两个数都不是无理数”．

其中正确是________．（填序号）

考点　四种命题的真假判断

题点　由四种命题的关系判断命题的真假

答案　①②

解析　原命题的逆命题、否命题叙述正确．逆否命题应为“乘积不是无理数的两个数不都是无理数”．

三、解答题

12．分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．

（1）当m>

时，mx2－x＋1＝0无实根；

（2）当abc＝0时，a＝0或b＝0或c＝0.

考点　四种命题

题点　四种命题概念的理解

解　

（1）逆命题：

当mx2－x＋1＝0无实根时，m>

，真命题；

否命题：

当m≤

时，mx2－x＋1＝0有实根，真命题；

逆否命题：

当mx2－x＋1＝0有实根时，m≤

，真命题．

（2）逆命题：

当a＝0或b＝0或c＝0时，abc＝0，真命题；

否命题：

当abc≠0时，a≠0且b≠0且c≠0，真命题；

逆否命题：

当a≠0且b≠0且c≠0时，abc≠0，真命题．

13．判断命题：

“若b≤－1，则关于x的方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题的真假．

考点　四种命题的真假判断

题点　由四种命题的关系判断命题的真假

解　方法一　（利用原命题）因为原命题与逆否命题真假性一致，所以只需判断原命题的真假即可．

方程判别式为Δ＝4b2－4（b2＋b）＝－4b，

因为b≤－1，所以Δ≥4>0，

故此方程有两个不相等的实根，即原命题为真，故它的逆否命题也为真．

方法二　（利用逆否命题）原命题的逆否命题为“若关于x的方程x2－2bx＋b2＋b＝0无实根，则b>－1”．

方程判别式为Δ＝4b2－4（b2＋b）＝－4b，

因为方程无实根，所以Δ<0，即－4b<0，所以b>0，所以b>－1成立，即原命题的逆否命题为真．

四、探究与拓展

14．已知A表示点，a，b，c表示直线，α，β表示平面，给出下列命题：

①a⊥α，b⊄α，如果b∥α，则b⊥a；

②a⊥α，如果a⊥β，则α∥β；

③a⊂α，b∩α＝A，c为b在α上的射影，如果a⊥c，则a⊥b；

④a⊥α，如果b∥α，c∥a，则a⊥b，c⊥b.

其中逆命题为真的是________．

考点　四种命题的真假判断

题点　由四种命题的关系判断命题的真假

答案　①②③

解析　④的逆命题：

“a⊥α，如果a⊥b，c⊥b，则b∥α，c∥a”，而b，c均可以在α内，故不正确．

教案的教学反思怎么写15．已知函数f（x）在（－∞，＋∞）上是增函数，a，b∈R，对命题“如果a＋b≥0，则f（a）＋f（b）≥f（－a）＋f（－b）．”

景山学校通州校区施工情况

（1）写出逆命题，判断其真假，并证明你的结论；

昆虫记阅读题及答案

（2）写出逆否命题，判断其真假，并证明你的结论．

考点　四种命题的真假判断

探索发现生命尔雅答案题点　由四种命题的关系判断命题的真假

政治经济学04任务答案解　

（1）逆命题：

如果f（a）＋f（b）≥f（－a）＋f（－b），则a＋b≥0，为真命题．

教学科研由于逆命题与否命题具有相同的真假性，因此可转化为证明其否命题为真，即证明“如果a＋b＜0，则f（a）＋f（b）＜f（－a）＋f（－b）”为真命题．

因为a＋b＜0，则a＜－b，b＜－a.

因为f（x）在（－∞，＋∞）上为增函数，

则f（a）＜f（－b），f（b）＜f（－a），

智慧树材料与社会答案所以f（a）＋f（b）＜f（－a）＋f（－b）．

因此否命题为真命题，即逆命题为真命题．

（2）逆否命题：

如果f（a）＋f（b）＜f（－a）＋f（－b），则a＋b＜0，为真命题．

推进一带一路建设既要因为逆否命题与原命题具有相同的真假性，所以先证原命题成立．

证明：

因为a＋b≥0，所以a≥－b，

新军事变革全面发展始于。

所以f（a）≥f（－b），

教学质量综合测评同理f（b）≥f（－a），

所以f（a）＋f（b）≥f（－a）＋f（－b），即原命题成立．

所以逆否命题是真命题．