培优练习《矩形的性质与判定》数学北师大九上 2.docx
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培优练习《矩形的性质与判定》数学北师大九上2
《矩形的性质》培优练习
合肥市第三十八中学徐晶
一．选择题（共3小题）
1．矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（ ）
A．对角线互相垂直B．对角线相等
C．对角线互相平分D．对角相等
2．如图，在矩形ABCD中，已知AB=3，AD=8，点E为BC的中点，连接AE，EF是∠AEC的平分线，交AD于点F，则FD=（ ）
A．3B．4C．5D．6
3．如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OM∥AB交AD于点M，若OM=3，BC=10，则OB的长为（ ）
A．5B．4C．
D．
二．填空题（共3小题）
4．如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE=BD，连结AE，如果∠ADB=40°，则∠E= °．
5．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，分别过点C，D作BD，AC的平行线，相交于点E．若AD=6，则点E到AB的距离是 ．
6．如图，矩形ABCD中，AB=1，AD=2，点E是边AD上的一个动点，把△BAE沿BE折叠，点A落在A′处，如果A′恰在矩形的对称轴上，则AE的长为 ．
三．解答题（共4小题）
7．如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=4，过对角线BD中点O的直线分别交AB，CD边于点E，F．
（1）求证：
四边形BEDF是平行四边形；
（2）当四边形BEDF是菱形时，求EF的长．
8．如图所示，O是矩形ABCD的对角线的交点，作DE∥AC，CE∥BD，DE、CE相交于点E．求证：
（1）四边形OCED是菱形．
（2）连接OE，若AD=4，CD=3，求菱形OCED的周长和面积．
9．如图，AC为矩形ABCD的对角线，将边AB沿AE折叠，使点B落在AC上的点M处，将边CD沿CF折叠，使点D落在AC上的点N处．
（1）求证：
四边形AECF是平行四边形；
（2）若AB=6，AC=10，求四边形AECF的面积．
10．如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，M是边CD上一点，将△ADM沿直线AM对折，得到△ANM．
（1）当AN平分∠MAB时，求DM的长；
（2）连接BN，当DM=1时，求△ABN的面积；
（3）当射线BN交线段CD于点F时，求DF的最大值．
参考答案
一．选择题（共3小题）
1．
【解答】解：
矩形的对角线相等，而平行四边形的对角线不一定相等．
故选：
B．
2．
【解答】解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=8，AD∥BC，
∴∠AFE=∠FEC，
∵EF平分∠AEC，
∴∠AEF=∠FEC，
∴∠AFE=∠AEF，
∴AE=AF，
∵E为BC中点，BC=8，
∴BE=4，
在Rt△ABE中，AB=3，BE=4，由勾股定理得：
AE=5，
∴AF=AE=5，
∴DF=AD﹣AF=8﹣5=3，
故选：
A．
3．
【解答】解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=90°，
∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OM∥AB，
∴OM是△ADC的中位线，
∵OM=3，
∴DC=6，
∵AD=BC=10，
∴AC=
=2
，
∴BO=
AC=
，
故选：
D．
二．填空题（共3小题）
4．
【解答】解：
如图连接AC．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，
∵EC=BD，
∴AC=CE，
∴∠E=∠CAE，
易证∠ACB=∠ADB=40°，
∵∠ACB=∠E+∠CAE，
∴∠E=∠CAE=20°，
故答案为20．
5．
【解答】解：
连接EO，延长EO交AB于H．
∵DE∥OC，CE∥OD，
∴四边形ODEC是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OD=OC，
∴四边形ODEC是菱形，
∴OE⊥CD，
∵AB∥CD，AD⊥CD，
∴EH⊥AB，AD∥OE，∵OA∥DE，
∴四边形ADEO是平行四边形，
∴AD=OE=6，
∵OH∥AD，OB=OD，
∴BH=AH，
∴OH=
AD=3，
∴EH=OH+OE=3+6=9，
故答案为9．
6．
【解答】解：
分两种情况：
①如图1，过A′作MN∥CD交AD于M，交BC于N，
则直线MN是矩形ABCD的对称轴，
∴AM=BN=
AD=1，
∵△ABE沿BE折叠得到△A′BE，
∴A′E=AE，A′B=AB=1，
∴A′N=
=0，即A′与N重合，
∴A′M=1，
∴A′E2=EM2+A′M2，
∴A′E2=（1﹣A′E）2+12，
解得：
A′E=1，
∴AE=1；
②如图2，过A′作PQ∥AD交AB于P，交CD于Q，
则直线PQ是矩形ABCD的对称轴，
∴PQ⊥AB，AP=PB，AD∥PQ∥BC，
∴A′B=2PB，
∴∠PA′B=30°，
∴∠A′BC=30°，
∴∠EBA′=30°，∴AE=A′E=A′B×tan30°=1×
=
；
综上所述：
AE的长为1或
；
故答案为：
1或
．
三．解答题（共4小题）
7．
【解答】
（1）证明：
∵四边形ABCD是矩形，O是BD的中点，
∴∠A=90°，AD=BC=4，AB∥DC，OB=OD，
∴∠OBE=∠ODF，
在△BOE和△DOF中，
，
∴△BOE≌△DOF（ASA），
∴EO=FO，
∴四边形BEDF是平行四边形；
（2）解：
当四边形BEDF是菱形时，BD⊥EF，
设BE=x，则DE=x，AE=6﹣x，
在Rt△ADE中，DE2=AD2+AE2，
∴x2=42+（6﹣x）2，
解得：
x=
，
∵BD=
=2
，
∴OB=
BD=
，
∵BD⊥EF，
∴EO=
=
，
∴EF=2EO=
．
8．
【解答】解：
（1）证明：
∵DE∥OC，CE∥OD，
∵四边形OCED是平行四边形．
∴OC=DE，OD=CE
∵四边形ABCD是矩形，
∴AO=OC=BO=OD．
∴CE=OC=BO=DE．
∴四边形OCED是菱形；
（2）如图，连接OE．
在Rt△ADC中，AD=4，CD=3
由勾股定理得，AC=5∴OC=2.5
∴C菱形OCED=4OC=4×2.5=10，
在菱形OCED中，OE⊥CD，又∵OE⊥CD，
∴OE∥AD．
∵DE∥AC，OE∥AD，
∴四边形AOED是平行四边形，
∴OE=AD=4．
∴S菱形OCED=
．
9．
【解答】
（1）证明：
∵折叠，
∴AM=AB，CN=CD，∠FNC=∠D=90°，∠AME=∠B=90°，
∴∠ANF=90°，∠CME=90°，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB=CD，AD∥BC，
∴AM=CN，
∴AM﹣MN=CN﹣MN，
即AN=CM，
在△ANF和△CME中，
，
∴△ANF≌△CME（ASA），
∴AF=CE，
又∵AF∥CE，
∴四边形AECF是平行四边形；
（2）解：
∵AB=6，AC=10，∴BC=8，
设CE=x，则EM=8﹣x，CM=10﹣6=4，
在Rt△CEM中，
（8﹣x）2+42=x2，
解得：
x=5，
∴四边形AECF的面积为：
EC•AB=5×6=30．
10．
【解答】解：
（1）由折叠性质得：
△ANM≌△ADM，
∴∠MAN=∠DAM，
∵AN平分∠MAB，∠MAN=∠NAB，
∴∠DAM=∠MAN=∠NAB，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB=90°，
∴∠DAM=30°，
∴DM=AD•tan∠DAM=3×tan30°=3×
=
；
（2）延长MN交AB延长线于点Q，如图1所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥DC，
∴∠DMA=∠MAQ，
由折叠性质得：
△ANM≌△ADM，
∴∠DMA=∠AMQ，AN=AD=3，MN=MD=1，
∴∠MAQ=∠AMQ，
∴MQ=AQ，
设NQ=x，则AQ=MQ=1+x，
∵∠ANM=90°，
∴∠ANQ=90°，
在Rt△ANQ中，由勾股定理得：
AQ2=AN2+NQ2，
∴（x+1）2=32+x2，
解得：
x=4，
∴NQ=4，AQ=5，
∵AB=4，AQ=5，
∴S△NAB=
S△NAQ=
×
AN•NQ=
×
×3×4=
；
（3）过点A作AH⊥BF于点H，如图2所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥DC，
∴∠HBA=∠BFC，
∵∠AHB=∠BCF=90°，
∴△ABH∽△BFC，
∴
=
，
∵AH≤AN=3，AB=4，
∴可以看到点N是在以A为圆心3为半径的圆上运动，所以当射线BN与圆相切时，DF最大，此时B、N、M三点共线，如图3所示：
由折叠性质得：
AD=AH，
∵AD=BC，
∴AH=BC，
在△ABH和△BFC中，
，
∴△ABH≌△BFC（AAS），
∴CF=BH，
由勾股定理得：
BH=
=
=
，
∴CF=
，
∴DF的最大值=DC﹣CF=4﹣
．
《矩形的性质》培优练习
合肥市第三十八中学徐晶
一．选择题（共3小题）
1．在△ABC中，点D是边BC上的点（与B，C两点不重合），过点D作DE∥AC，DF∥AB，分别交AB，AC于E，F两点，下列说法正确的是（ ）
A．若AD⊥BC，则四边形AEDF是矩形
B．若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是矩形
C．若BD=CD，则四边形AEDF是菱形
D．若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形
2．若顺次连接四边形ABCD各边中点所得四边形是矩形，则四边形ABCD必然是（ ）
A．菱形B．对角线相互垂直的四边形
C．正方形D．对角线相等的四边形
3．四边形ABCD的对角线相交于点O，下列条件不能判定它是矩形的是（ ）
A．AB=CD，AB∥CD，∠BAD=90°
B．AO=CO，BO=DO，AC=BD
C．∠BAD=∠ABC=90°，∠BCD+∠ADC=180°
D．∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC=90°
二．填空题（共3小题）
4．如图，四边形ABCD是平行四边形，要使它变为矩形，需要添加的条件是 （写一个即可）．
5．在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，从①AB=CD；②AB∥CD；③OA=OC；④OB=OD；⑤AC=BD；⑥∠ABC=90°这六个条件中，
可选取三个推出四边形ABCD是矩形，如①②⑤→四边形ABCD是矩形．请再写出符合要求的两个：
； ．
6．工人师傅在做门框或矩形零件时，常用测量平行四边形两条对角线是否相等来检测直角的精度，请问工人师傅根据的几何道理是 ．
三．解答题（共4小题）
7．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF．
（1）求证：
BD=CD；
（2）如果AB=AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．
8．如图，在▱ABCD中，∠ABD的平分线BE交AD于点E，∠CDB的平分线DF交BC于点F．
（1）求证：
△ABE≌△CDF；
（2）若AB=DB，求证：
四边形DFBE是矩形．
9．如图，在平行四边形ABCD中，E、F为BC上两点，且BE=CF，AF=DE，求证：
（1）△ABF≌△DCE；
（2）四边形ABCD是矩形．
10．如图，已知E、F为平行四边形ABCD的对角线上的两点，且BE=DF，∠AEC=90°．求证：
四边形AECF为矩形．
参考答案
一．选择题（共3小题）
1．
【解答】解：
若AD⊥BC，则四边形AEDF是平行四边形，不一定是矩形；选项A错误；
若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是菱形，不一定是矩形；选项B错误；
若BD=CD，则四边形AEDF是平行四边形，不一定是菱形；选项C错误；
若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形；正确；故选：
D．
2．
【解答】解：
已知：
如右图，四边形EFGH是矩形，且E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，求证：
四边形ABCD是对角线垂直的四边形．
证明：
由于E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，
根据三角形中位线定理得：
EH∥FG∥BD，EF∥AC∥HG；
∵四边形EFGH是矩形，即EF⊥FG，
∴AC⊥BD；故选B．
3．
【解答】解：
A、一个角为直角的平行四边形为矩形，故A正确．
B、矩形的对角线平分且相等，故B正确．
C、∠BCD+∠ADC=180°，但∠BCD不一定与∠ADC相等，根据矩形的判定定理，故C不正确．
D、因为∠BAD=∠BCD，故AB∥CD，又因为，∠ABC=∠ADC=90°，根据矩形的判定（有一个角是直角的平行四边形是矩形），故D正确．
故选：
C．
二．填空题（共3小题）
4．
【解答】解：
∵四边形ABCD是平行四边形，AC=BD，∴平行四边形ABCD是矩形，
故答案为AC=BD．
5．
【解答】解：
①②⑥或③④⑥，
理由是：
∵AB=CD，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠ABC=90°，
∴平行四边形ABCD是矩形．
∵OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠ABC=90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，
故答案为：
①②⑥，③④⑥．
6．
【解答】解：
∵四边形ABCD是平行四边形，AC=BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°（对角线相等的平行四边形是矩形），
故答案为：
对角线相等的平行四边形是矩形．
三．解答题（共4小题）
7．
【解答】证明：
（1）∵AF∥BC，
∴∠AFE=∠DCE，
∵E是AD的中点，
∴AE=DE，
，
∴△AEF≌△DEC（AAS），
∴AF=DC，
∵AF=BD，
∴BD=CD；
（2）四边形AFBD是矩形．
理由：
∵AB=AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=90°
∵AF=BD，
∵过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，即AF∥BC，
∴四边形AFBD是平行四边形，
又∵∠ADB=90°，
∴四边形AFBD是矩形．
8．
【解答】证明：
（1）∵∠ABD的平分线BE交AD于点E，
∴∠ABE=
∠ABD，
∵∠CDB的平分线DF交BC于点F，
∴∠CDF=
∠CDB，
∵在平行四边形ABCD中，
∴AB∥CD，
∴∠ABD=∠CDB，
∴∠CDF=∠ABE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB，∠A=∠C，
即
，
∴△ABE≌△CDF（ASA）；
（2）∵△ABE≌△CDF，
∴AE=CF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴DE∥BF，DE=BF，
∴四边形DFBE是平行四边形，
∵AB=DB，BE平分∠ABD，
∴BE⊥AD，即∠DEB=90°．
∴平行四边形DFBE是矩形．
9．【解答】证明：
（1）∵BE=CF，BF=BE+EF，CE=CF+EF，
∴BF=CE．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC．
在△ABF和△DCE中，
，
∴△ABF≌△DCE（SSS）．
（2）∵△ABF≌△DCE，
∴∠B=∠C．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD．
∴∠B+∠C=180°．
∴∠B=∠C=90°．
∴四边形ABCD是矩形．
10．【解答】证明：
连接AC交BD于O，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD．
∵BE=DF，
∴OE=OF．
∵OA=OC，
∴AECF是平行四边形；
∵∠AEC=90°，
∴四边形AECF为矩形．
《矩形的性质与判定》培优练习
合肥市第三十八中学徐晶
一．选择题（共3小题）
1．下列命题错误的是（ ）
A．平行四边形的对边相等
B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C．对角线相等的四边形是矩形
D．矩形的对角线相等
2．下列关于矩形的说法中正确的是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．矩形的对角线相等且互相平分
C．对角线互相平分的四边形是矩形
D．矩形的对角线互相垂直且平分
3．如图，在矩形COED中，点D的坐标是（1，3），则CE的长是（ ）
A．3B．
C．
D．4
二．填空题（共3小题）
4．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值是 ．
5．如图．△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、AB于点D、F，BE⊥DF交DF的延长线于点E，已知∠A=30°，BC=2，AF=BF，则四边形BCDE的面积是 ．
6．如图，在四边形ABCD中，AC=4，BD=6，且AC⊥BD，顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形A1B1C1D1；再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，得到四边形A2B2C2D2…如此进行下去得到四边形AnBnCnDn．则四边形A3B3C3D3的面积 ，四边形AnBnCnDn的面积 ．
三．解答题（共4小题）
7．平行四边形ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在CD上，CF=AE，连接BF，AF．
（1）求证：
四边形BFDE是矩形；
（2）若AF平分∠BAD，且AE=3，DE=4，求矩形BFDE的面积．
8．如图，在矩形ABCD中，AB=24cm，BC=8cm，点P从A开始沿折线A﹣B﹣C﹣D以4cm/s的速度移动，点Q从C开始沿CD边以2cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达D时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t（s）．当t为何值时，四边形QPBC为矩形？
9．如图，平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别在AB、BC、CD、AD边上且AE=CG，AH=CF．
（1）求证：
四边形EFGH是平行四边形；
（2）如果AB=AD，且AH=AE，求证：
四边形EFGH是矩形．
10．如图，扇形OAB的半径OA=3，圆心角∠AOB=90°，点C是
上异于A、B的动点，过点C作CD⊥OA于点D，作CE⊥OB于点E，连接DE，点G、H在线段DE上，且DG=GH=HE
（1）求证：
四边形OGCH是平行四边形．
（2）当点C在
上运动时，在CD、CG、DG中，是否存在长度不变的线段？
若存在，请求出该线段的长度．
参考答案
一．选择题（共3小题）
1．
【解答】解：
平行四边形的性质有平行四边形的对边相等，故A选项错误；
平行四边形的判定定理有两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故B选项错误；
C、对角线相等的平行四边形是矩形，故C选项正确；
D、矩形的性质有矩形的对角线相等，故D选项错误；
故选：
C．
2．
【解答】解：
A、对角线相等的平行四边形才是矩形，故本选项错误；
B、矩形的对角线相等且互相平分，故本选项正确；
C、对角线互相平分的四边形是平行四边形，不一定是矩形，故本选项错误；
D、矩形的对角线互相平分且相等，不一定垂直，故本选项错误；
故选：
B．
3．
【解答】解：
∵四边形COED是矩形，
∴CE=OD，
∵点D的坐标是（1，3），
∴OD=
=
，
∴CE=
，
故选：
C．
二．填空题（共3小题）
4．
【解答】解：
∵PE⊥AB，PF⊥AC，∠BAC=90°，
∴∠EAF=∠AEP=∠AFP=90°，
∴四边形AEPF是矩形，
∴EF，AP互相平分．且EF=AP，
∴EF，AP的交点就是M点，
∵当AP的值最小时，AM的值就最小，
∴当AP⊥BC时，AP的值最小，即AM的值最小．
∵
AP×BC=
AB×AC，
∴AP×BC=AB×AC，
在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC=
=10，
∵AB=6，AC=8，
∴10AP=6×8，
∴AP=
∴AM=
，
故答案为：
．
5．
【解答】解：
∵AF=BF，即F为AB的中点，又DE垂直平分AC，即D为AC的中点，
∴DF为三角形ABC的中位线，
∴DE∥BC，DF=
BC，
又∠ADF=90°，
∴∠C=∠ADF=90°，
又BE⊥DE，DE⊥AC，
∴∠CDE=∠E=90°，
∴四边形BCDE为矩形，
∵BC=2，∴DF=
BC=1，
在Rt△ADF中，∠A=30°，DF=1，
∴tan30°=
，即AD=
，
∴CD=AD=
，
则矩形BCDE的面积S=CD•BC=2
．
故答案为：
2
6．
【解答】解：
点A1，D1分别是AB、AD的中点，
∴A1D1是△ABD的中位线
∴A1D1∥BD，A1D1=
BD，
同理：
B1C1∥BD，B1C1=
BD
∴A1D1∥B1C1，A1D1=B1C1，
∴四边形A1B1C1D1是平行四边形．
∵AC⊥BD，AC∥A1B1，BD∥A1D1，
∴A1B1⊥A1D1即∠B1A1D1=90°
∴四边形A1B1C1D1是矩形；
由三角形的中位线的性质知，B1C1=
BD=3，B1A1=
AC=2，
得：
四边形A1B1C1D1的面积为6；四边形A2B2C2D2的面积为3；
∴四边形A3B3C3D3的面积=
．
由三角形的中位线的性质可以推得，每得到一次四边形，它的面积变为原来的一半，
故四边形AnBnCnDn的面积为：
12×
．
三．解答题（共4小题）
7．
【解答】证明：
（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴DF∥BE，
∵CF=AE，
∴DF=BE，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB=90°，
∴四边形BFDE是矩形．
（2）∵AB∥CD，
∴∠BAF=∠AFD，
∵AF平分∠BAD，
∴∠DAF=∠AFD，
∴AD=DF，
在Rt△ADE中，∵AE=3，DE=4，
∴AD=
=5，
∴矩形的面积为20．
8．
【解答】解：
根据题意得：
CQ=2t，AP=4t，
则BP=24﹣4t，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=90°，CD∥AB，
∴只有CQ=BP时，四边形QPBC是矩形，
即2t=24﹣4t，
解得：
t=4，
答：
当t=4s时，四边形QPBC是矩形．
9．
【解答】证明：
（1）在平行四边形ABCD中，∠A=∠C，（1分）
又∵AE=CG，AH=CF，
∴△AEH≌△CGF．（2分）
∴EH=GF．（1分）
在平行四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，
∴AB﹣AE=CD﹣CG，AD﹣AH=BC﹣CF，
即BE=DG，DH=BF．
又∵在平行四边形ABCD中，∠B=∠D，∴△BEF≌△DGH．（1分）
∴GH=EF．（1分）
∴四边形EFGH是平行四边形．（1分）
（2）解法一：
在平行四边形ABCD中，AB∥CD，AB=CD．
设∠A=α，则∠D=180°﹣α．
∵AE=AH，∴∠AHE=∠AEH=
．（1分）∵AD=AB=CD，AH=AE=CG，
∴AD﹣AH=CD﹣CG，即DH=DG．（1分）
∴∠DHG=∠DGH=
．（1分）
∴∠EHG=180°﹣∠
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