专题五立体几何第二讲空间点直线平面的位置关系.docx

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专题五立体几何第二讲空间点直线平面的位置关系

第二讲　空间点、直线、平面的位置关系

1．点、线、面的位置关系

（1）公理1　∵A∈α，B∈α，∴AB⊂α.

（2）公理2　∵A，B，C三点不共线，∴A，B，C确定一个平面．

（3）公理3　∵P∈α，且P∈β，∴α∩β＝l，且P∈l.

三个推论：

①过两条相交直线有且只有一个平面．

②过两条平行直线有且只有一个平面．

③过一条直线和直线外一点有且只有一个平面．

（4）公理4　∵a∥c，b∥c，∴a∥b.

（5）等角定理　∵OA∥O1A1，OB∥O1B1，

∴∠AOB＝∠A1O1B1或∠AOB＋∠A1O1B1＝180°.

2．直线、平面平行的判定及其性质

（1）线面平行的判定定理　∵a⊄α，b⊂α，a∥b，∴a∥α.

（2）线面平行的性质定理　∵a∥α，a⊂β，α∩β＝b，∴a∥b.

（3）面面平行的判定定理　∵a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α，∴α∥β.

（4）面面平行的性质定理　∵α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，∴a∥b.

3．直线、平面垂直的判定及其性质

（1）线面垂直的判定定理　∵m⊂α，n⊂α，m∩n＝P，l⊥m，l⊥n，∴l⊥α.

（2）线面垂直的性质定理　∵a⊥α，b⊥α，∴a∥b.

（3）面面垂直的判定定理　∵a⊂β，a⊥α，∴α⊥β.

（4）面面垂直的性质定理　∵α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l，∴a⊥β.

4．异面直线所成的角

（1）定义．

（2）范围：

θ∈（0，

]．

（3）求法：

先通过取中点或作平行线找到两异面直线所成的角，然后解含有这个角的三角形．若求得的角为钝角，则这个角的补角才为所求的角．

5．直线与平面所成的角

（1）定义．

（2）范围：

θ∈[0，

]．

（3）求法：

先找到（或作出）过斜线上一点垂直于平面的直线，斜足与垂足的连线就是斜线在平面内的射影，该斜线与射影的夹角就是所求的线面角，解这个角所在的直角三角形可得．

6．二面角

（1）定义．

（2）范围：

θ∈[0，π]．

（3）找二面角平面角的方法

①定义法．②垂面法．③垂线法．④特殊图形法．

垂线法是最重要的方法，具体步骤如下：

①弄清该二面角及它的棱．

②考虑找一条过一个平面内的一点垂直于另一个平面的直线（往往先找垂面再找垂线）．

③过这条垂线的两个端点中的一个作二面角棱的垂线，连结垂足与另一个端点，所得到的角（或其补角）就是该二面角的平面角．

④解这个角所在的直角三角形，可得到二面角的大小．

1．（2013·安徽）在下列命题中，不是公理的是（　　）

A．平行于同一个平面的两个平面相互平行

B．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面

C．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内

D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线

答案　A

解析　B、C、D选项是公理．

2．（2013·广东）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是

（　　）

A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n

B．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n

C．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥β

D．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β

答案　D

解析　A中，m与n可垂直、可异面、可平行；B中m与n可平行、可异面；C中若α∥β，仍然满足m⊥n，m⊂α，n⊂β，故C错误；故D正确．

3．（2013·山东）已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为

，底面是边长为

的

正三角形．若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为（　　）

A.

B.

C.

D.

答案　B

解析　如图所示：

SABC＝

×

×

×sin60°＝

.

∴VABC－A1B1C1＝SABC×OP＝

×OP＝

，∴OP＝

.

又OA＝

×

×

＝1，

∴tan∠OAP＝

＝

，又0<∠OAP<

，

∴∠OAP＝

.

4．（2012·安徽）设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的（　　）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

答案　A

解析　当α⊥β时，由于α∩β＝m，b⊂β，b⊥m，由面面垂直的性质定理知，b⊥α.

又∵a⊂α，∴b⊥a.∴“α⊥β”是“a⊥b”的充分条件．

而当a⊂α且a∥m时，∵b⊥m，∴b⊥a.

而此时平面α与平面β不一定垂直，

∴“α⊥β”不是“a⊥b”的必要条件，故选A.

5．（2013·浙江）在空间中，过点A作平面π的垂线，垂足为B，记B＝fπ（A）．设α、β是两个

不同的平面，对空间任意一点P，Q1＝fβ[fα（P）]，Q2＝fα[fβ（P）]，恒有PQ1＝PQ2，则（　　）

A．平面α与平面β垂直

B．平面α与平面β所成的（锐）二面角为45°

C．平面α与平面β平行

D．平面α与平面β所成的（锐）二面角为60°

答案　A

解析　本题关键是理解B＝fπ（A）的含义．

若平面α与平面β不垂直．

在其中一个平面α上取一点P.则PQ1≠PQ2.

所以平面α与平面β垂直，故选A.

题型一　空间点、线、面的位置关系

例1

　对于四面体ABCD，下列命题正确的是________（写出所有正确命题的编号）．

①相对棱AB与CD所在的直线是异面直线；②由顶点A作四面体的高，其垂足是△BCD三条高线的交点；③若分别作△ABC和△ABD的边AB上的高，则这两条高的垂足重合；④任何三个面的面积之和都大于第四个面的面积；⑤分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点．

审题破题　可以画出四面体ABCD的直观图，根据图形分析点、线、面的位置关系．

答案　①④⑤

解析　若AB与CD共面，ABCD就成了平面图形，故①对；

若垂足为△BCD高线的交点，必推出对棱垂直，故②错；

只有当以AB为底的三角形是等腰三角形时，垂足才能重合，

故③错；

设垂足为O，过O作OE⊥CD于E，连接AE，则OE

∴S△COD＝

CD·OE

＝

CD·AE.

同理可得S△ABD>S△BOD，S△ABC>S△BOC，

∴S△ACD＋S△ABC＋S△ABD>S△BCD.故④对．

如图，点E、F、G、H、M、N为各边中点，这样可得到▱EFGH和

▱ENGM它们的对角线EG和FH互相平分，EG和MN也互相平分．

因此，三条线段EG，FH，MN交于一点，故⑤对．

反思归纳　准确画出相应的几何体，结合该几何体来研究各命题的真假．若判定一个命题为假，只需举一反例（特殊状态、特殊位置、特殊图形）即可．有时用反证法来判断也可以．

变式训练1　

（1）给出下列关于互不相同的直线m，n，l和平面α、β的四个命题：

①m⊂α，l∩α＝A，A∉m，则l与m不共面；

②l、m是异面直线，l∥α，m∥α，且n⊥l，n⊥m，则n⊥α；

③若l⊂α，m⊂α，l∩m＝A，l∥β，m∥β，则α∥β；

④若l∥α，m∥β，α∥β，则l∥m.

其中假命题的序号是__________．

答案　④

解析　命题①可用反证法证明成立；命题②利用线面平行的性质，过l、m分别作平面γ、δ交平面α于l′，n′，易知n⊥l′，n⊥m′且m′，n′相交，故n⊥α；命题③即为面面平行的判定定理；命题④中l，m可以平行、相交，也可以异面．

（2）若P是两条异面直线l，m外的任意一点，则下列命题中假命题的序号是________．

①过点P有且仅有一条直线与l，m都平行；②过点P有且仅有一条直线与l，m都垂直；③过点P有且仅有一条直线与l，m都相交；④过点P有且仅有一条直线与l，m都异面．

答案　①③④

解析　可以利用模型进行判断．

题型二　平行关系与垂直关系

例2

　在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，MA⊥平面ABCD，PD∥MA，E、G、F分别为MB、PB、PC的中点，且AD＝PD＝2MA.

（1）求证：

平面EFG∥平面PMA；

（2）求证：

平面EFG⊥平面PDC；

（3）求三棱锥P－MAB与四棱锥P－ABCD的体积之比．

审题破题　

（1）证明EG、FG都平行于平面PMA.

（2）证明GF⊥平面PDC.（3）设MA为1，从而其他边的长度都可表示，问题可求解．

（1）证明　∵E、G、F分别为MB、PB、PC的中点，

∴EG∥PM，GF∥BC.

又∵四边形ABCD是正方形，

∴BC∥AD，∴GF∥AD.

∵EG、GF在平面PMA外，PM、AD在平面PMA内，

∴EG∥平面PMA，GF∥平面PMA.

又∵EG、GF都在平面EFG内且相交，

∴平面EFG∥平面PMA.

（2）证明　由已知MA⊥平面ABCD，PD∥MA，

∴PD⊥平面ABCD.

又BC⊂平面ABCD，∴PD⊥BC.

∵四边形ABCD为正方形，∴BC⊥DC.

又PD∩DC＝D，∴BC⊥平面PDC.

在△PBC中，∵G、F分别为PB、PC的中点，

∴GF∥BC，∴GF⊥平面PDC.

又GF⊂平面EFG，∴平面EFG⊥平面PDC.

（3）解　∵PD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，不妨设MA＝1，则PD＝AD＝2.

∵DA⊥平面MAB，且PD∥MA，

∴DA即为点P到平面MAB的距离，

∴VP－MAB∶VP－ABCD＝

S△MAB·DA∶

S正方形ABCD·PD

＝S△MAB∶S正方形ABCD＝

∶（2×2）＝1∶4.

反思归纳　垂直、平行关系的基础是线线垂直和线线平行，常用方法如下：

（1）证明线线平行常用的方法：

一是利用平行公理，即证两直线同时和第三条直线平行；二是利用平行四边形进行平行转换；三是利用三角形的中位线定理证线线平行；四是利用线面平行、面面平行的性质定理进行平行转换．

（2）证明线线垂直常用的方法：

①利用等腰三角形底边中线即高线的性质；②勾股定理；③线面垂直的性质：

即要证两线垂直，只需证明一线垂直于另一线所在平面即可，l⊥α，a⊂α⇒l⊥a.

变式训练2　（2013·北京）如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD.E和F分别为CD、PC的中点．求证：

（1）PA⊥底面ABCD；

（2）BE∥平面PAD；

（3）平面BEF⊥平面PCD.

证明　

（1）平面PAD∩平面ABCD＝AD.

又平面PAD⊥平面ABCD，且PA⊥AD.

∴PA⊥底面ABCD.

（2）∵AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，

∴AB∥DE，且AB＝DE.

∴ABED为平行四边形．∴BE∥AD.

又∵BE⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，

∴BE∥平面PAD.

（3）∵AB⊥AD，且四边形ABED为平行四边形．

∴BE⊥CD，AD⊥CD.

由

（1）知PA⊥底面ABCD，则PA⊥CD，

∴CD⊥平面PAD，从而CD⊥PD，

又E、F分别为CD、CP的中点，

∴EF∥PD，故CD⊥EF.

由EF，BE在平面BEF内，且EF∩BE＝E，

∴CD⊥平面BEF.

∴平面BEF⊥平面PCD.

题型三　空间线面关系的综合问题

例3

　如图所示，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，AE＝EB＝BC，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE.

（1）求证：

AE⊥BE；

（2）设M在线段AB上，且满足AM＝2MB，试在线段CE上确定一点N，使得MN∥平面DAE.

审题破题　

（1）通过线面垂直证明线线垂直．

（2）这是一道探索性问题，先确定点N的位置，再进行证明．要注意解