青岛版八年级数学上册专题突破讲练如何选择参赛选手试题含答案.docx
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青岛版八年级数学上册专题突破讲练如何选择参赛选手试题含答案
如何选择参赛选手
一、方差、标准差的有关概念
1.方差：
设在一组数据
中，各数据与它们的平均数
的差的平方分别是
，那么我们求它们的平均数，即为
注意：
方差反映的是这组数据的波动大小，方差越大，数据波动越大，反之，越稳定。
如：
在方差的计算公式s
=
[（x
－20）
+（x
－20）
+……+（x
－20）
]中，数字10和20分别表示的意义是________。
解析：
10是对应公式中数据的个数，20是对应公式中的平均数。
2.标准差：
方差的算术平方根，我们把它称为这组数据的标准差，即
注意：
标准差反映的这组数据的波动情况，标准差越大，数据波动越大，反之，越稳定。
方法归纳：
方差、标准差的理解应注意以下几点：
方差
标准差
反映情况
数据的波动情况
数据的波动情况
单位与原数据的吻合情况
不一样
一样
二、方差、标准差的的求法
1.方差的求法：
计算方差的步骤为：
“先平均，后求差，平方后，再平均”。
如：
数据100，99，99，100，102，100的方差
=_________。
解：
“先平均”
“后求差”（100—100），（99—100），（99—100），（100—100），（102—100），（100—100）“平方后”
，
，
，
，
，
“再平均”
故填1。
2.标准差的求法：
对方差进行开方运算，取其算术平方根。
如：
若一组数据的方差为9，则标准差为。
解：
9的算术平方根为3，即这组数据的标准差为3
故填3。
例题1在一组数据x1，x2，…，xn中，各数据与它们的平均数
的差的绝对值的平均数，即
叫做这组数据的“平均差”。
“平均差”也能描述一组数据的离散程度。
“平均差”越大说明数据的离散程度越大。
因为“平均差”的计算要比方差的计算要容易一点，所以有时人们也用它来代替方差来比较数据的离散程度。
极差、方差（标准差）、平均差都是反映数据离散程度的量。
一水产养殖户李大爷要了解鱼塘中鱼的重量的离散程度，因为个头大小差异太大会出现“大鱼吃小鱼”的情况；为防止出现“大鱼吃小鱼”的情况，在能反映数据离散程度的几个量中某些值超标时就要捕捞；分开养殖或出售；他从两个鱼塘各随机捕捞10条鱼称得重量如下：
（单位：
千克）
甲鱼塘：
3，5，5，5，7，7，5，5，5，3
乙鱼塘：
4，4，5，6，6，5，6，6，4，4
请分别计算出甲、乙两个鱼塘中抽取的样本的极差、方差、平均差；完成下面的表格：
极差
方差
平均差
甲鱼塘
乙鱼塘
解析：
根据极差的公式：
极差=最大值－最小值，找出所求数据中最大的值，最小值，再代入公式求值；方差就是各变量值与其平均值的差平方的平均数，根据方差公式计算即可，所以计算方差前要先算出平均数，然后再利用方差公式计算。
答案：
解：
甲组数据中最大的值7，最小值3，故极差=7－3=4，
，
，
组数据中最大的值6，最小值4，故极差=6－4=2；
，
S2乙=[（4－5）2+（4－5）2+（5－5）2+（6－5）2+（6－5）2+（5－5）2+（6－5）2+（6－5）2+（4－5）2+（4－5）2]÷10=0.8，
极差
方差
平均差
甲鱼塘
4
1.6
0.8
乙鱼塘
2
0.8
0.8
点拨：
此题主要考查了方差与极差以及平均差的求法，极差反映了一组数据变化范围的大小，求极差的方法是用一组数据中的最大值减去最小值；方差是各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，它是测算数值型数据离散程度的最重要的方法。
例题2某社区准备在甲乙两位射箭爱好者中选出一人参加集训，两人各射了5箭，他们的总成绩（单位：
环）相同，小宇根据他们的成绩绘制了尚不完整的统计图表，并计算了甲成绩的平均数和方差（见小宇的作业）。
甲、乙两人射箭成绩统计表：
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
甲成绩
9
4
7
4
6
乙成绩
7
5
7
a
7
（1）a=，
=；
（2）请完成图中表示乙成绩变化情况的折线；
（3）①观察图，可看出的成绩比较稳定（填“甲”或“乙”）。
参照小宇的计算方法，计算乙成绩的方差，并验证你的判断。
②请你从平均数和方差的角度分析，谁将被选中。
解析：
（1）根据他们的总成绩相同，得出a=30－7－7－5－7=4环，进而得出。
=30÷5=6环；
（2）根据
（1）中所求得出a的值进而得出折线图即可；
（3）①观察图，即可得出乙的成绩比较稳定；②因为两人成绩的平均水平（平均数）相同，根据方差得出乙的成绩比甲稳定，所以乙将被选中。
答案：
解：
（1）由题意得：
甲的总成绩是：
9+4+7+4+6=30环，
则a=30－7－7－5－7=4环，
=30÷5=6环，故答案为：
4环，6环；
（2）如图所示：
（3）①观察图，可看出乙的成绩比较稳定，故答案为：
乙；
因为乙的成绩为：
7，5，7，4，7，
=6环
所以
×[（7－6）2+（5－6）2+（7－6）2+（4－6）2+（7－6）2]=1.6环2
由于
，所以上述判断正确。
②因为两人成绩的平均水平（平均数）相同，根据方差
得出乙的成绩比甲的成绩稳定，所以乙将被选中。
点拨：
方差的定义以及折线图和平均数的意义，根据已知得出a的值进而利用方差的意义比较稳定性即可。
在实际生活中的应用
学习方差，我们知道方差是反映一组数据波动大小的特征数，当一组数据的方差较小时，说明这组数据较稳定。
但在实际问题中，我们要根据具体问题具体分析，并不一定选择方差小的。
例题甲、乙两名射击选手各自射击十组，按射击的时间顺序把每组射中靶的环数值记录如下表：
选手组数
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
甲
98
90
87
98
99
91
92
96
98
96
乙
85
91
89
97
96
97
98
96
98
98
（1）根据上表数据，完成下列分析表：
平均数
众数
中位数
方差
极差
甲
94.5
96
16.65
12
乙
94.5
18.65
（2）如果要从甲、乙两名选手中选择一个参加比赛，应选哪一个？
为什么？
解析：
（1）分别根据众数、中位数和极差的概念填充表格即可；
（2）根据方差即可确定选择哪位选手参加比赛。
答案：
解：
（1）根据众数、中位数和极差的概念填充表格如下所示：
平均数
众数
中位数
方差
极差
甲
94.5
98
96
16.65
12
乙
94.5
98
96.5
18.65
13
（2）∵
，
∴甲的成绩比较稳定，
∴选择甲选手参加比赛。
点拨：
方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，方差越小，波动性越小，所以选择方差较小的，也就是发挥越稳定的选手参赛。
（答题时间：
45分钟）
一、选择题
1.为了解某射击运动员的射击成绩，从一次训练中随机抽取了该运动员的10次射击成绩，纪录如下；8，9，8，8，10，9，10，8，9，10。
这组数据的极差是（ ）
A.9B.8.9C.8D.2
*2.某特警部队为了选拔“神枪手”，举行了1000米射击比赛，最后由甲、乙两名战士进入决赛，在相同条件下，两人各射靶10次，经过统计计算，甲、乙两名战士的总成绩都是99.68环，甲的方差是0.28，乙的方差是0.21，则下列说法中，正确的是（ ）
A.甲的成绩比乙的成绩稳定
B.乙的成绩比甲的成绩稳定
C.甲、乙两人成绩的稳定性相同
D.无法确定谁的成绩更稳定
**3.某班期末英语考试的平均成绩为75分，方差为225，如果每名学生都多考5分，下列说法正确的是（ ）
A.平均分不变，方差不变B.平均分变大，方差不变
C.平均分不变，方差变大D.平均分变大，方差变大
**4.已知20个数据的平均数为6，且这20个数据的平方和为800，则这组数据的方差等于。
（ ）
A.1B.2C.3D.4
二、填空题
5.数据－2，－1，0，3，5的方差是__________。
*6.已知一组数据5，8，10，x，9的众数是8，那么这组数据的方差是__________。
*7.甲、乙两名射击手的50次测试的平均成绩都是8环，方差分别是S甲2＝0.4，S乙2＝1.2，则成绩比较稳定的是_________甲（填“甲”或“乙”）
**8.一组数据1，3，2，5，x的平均数是3，则这组数据的标准差是__________。
三、解答题
9.已知A组数据如下：
0，1，－2，－1，0，－1，3
（1）求A组数据的平均数；
（2）从A组数据中选取5个数据，记这5个数据为B组数据，要求B组数据满足两个条件：
①它的平均数与A组数据的平均数相等；②它的方差比A组数据的方差大。
你选取的B组数据是__________－1，－2，3，－1，1，请说明理由。
10.甲，乙两支仪仗队队员的身高（单位：
厘米）如下：
甲队：
178，177，179，178，177，178，177，179，178，179；
乙队：
178，179，176，178，180，178，176，178，177，180；
（1）将下表填完整：
身高
176
177
178
179
180
甲队（人数）
3
4
0
乙队（人数）
2
1
1
（2）甲队队员身高的平均数为______厘米，乙队队员身高的平均数为_______厘米；
（3）你认为哪支仪仗队更为整齐？
简要说明理由。
*11.博才中学要从甲、乙两名同学中选拔一名同学代表学校参加“华罗庚金杯”数学竞赛活动。
这两位同学最近四次的数学测验成绩如下表：
（单位：
分）
第一次
第二次
第三次
第四次
甲
75
70
85
90
乙
85
82
75
78
（1）根据表中数据，分别求出甲、乙两名同学这四次数学测验成绩的平均分。
（2）经计算，甲、乙两位同学这四次数学测验成绩的方差分别为S甲2=62.5，S乙2=14.5，你认为哪位同学的成绩较稳定？
请说明理由
**12.小华和小明参加某体育项目训练，近期的8次测试成绩（分）如下
（1）小华和小明近期的8次测试成绩，谁比较稳定？
（2）历届比赛表明，成绩达到13分就很可能夺冠，你认为为了夺冠应选谁参加这项比赛？
如果历届比赛成绩表明，成绩达到14分就能打破记录，那么你认为为了打破记录应选谁参加这项比赛？
**13.小明同学参加某体育项目训练，将近期的十次测试成绩得分情况绘制成如图的扇形统计图，试求出十次成绩的平均数和方差
1.D解：
这组数据的最大数是10，最小数是8，
则这组数据的极差是10－8=2；
故选D。
2.B解：
∵甲的方差是0.28，乙的方差是0.21，
∴S甲2＞S乙2，
∴乙的成绩比甲的成绩稳定；
故选B。
3.B解：
∵平均成绩为75分，每名学生都多考5分，
∴平均分增加5分，平均分变大，方差不变；
故选B。
4.D解：
∵
，
∴
=
=
=4
故选：
D。
5.
解析：
这组数据－2，－1，0，3，5的平均数是（－2－1+0+3+5）÷5=1，
则这组数
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