全国各地中考数学压轴题专集答案解析反比例函数.docx
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全国各地中考数学压轴题专集答案解析反比例函数
2012年全国各地中考数学压轴题专集答案
三、反比例函数
1．（北京模拟）如图，直线AB经过第一象限，分别与x轴、y轴交于A、B两点，P为线段AB上任意一点（不与A、B重合），过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为C、D．设OC＝x，四边形OCPD的面积为S．
（1）若已知A（4，0），B（0，6），求S与x之间的函数关系式；
（2）若已知A（a，0），B（0，b），且当x＝时，S有最大值，求a、b的值；
D
（3）在
（2）的条件下，在直线AB上有一点M，且点M到x轴、y轴的距离相等，点N在过M点的反比例函数图象上，且△OAN是直角三角形，求点N的坐标．
1．解：
（1）设直线AB的解析式为y＝kx＋b
由A（4，0），B（0，6），得
解得
∴直线AB的解析式为y＝－x＋6
∵OC＝x，∴P（x，－x＋6）
∴S＝x（－x＋6）
即S＝－x2＋6x（0＜x＜4）
（2）设直线AB的解析式为y＝mx＋n
∵OC＝x，∴P（x，mx＋n）
∴S＝mx2＋nx
∵当x＝时，S有最大值
∴解得
∴直线AB的解析式为为y＝－2x＋3
∴A（，0），B（0，3）
即a＝，b＝3
（3）设点M的坐标为（xM，yM），
∵点M在
（2）中的直线AB上，∴yM＝－2xM＋3
∵点M到x轴、y轴的距离相等，
∴xM＝yM或xM＝－yM
当xM＝yM时，易得M点的坐标为（1，1）
∴过M点的反比例函数的解析式为y＝
∵点N在y＝的图象上，OA在x轴上，且△OAN是直角三角形
∴点N的坐标为（，）
当xM＝－yM时，M点的坐标为（3，－3）
过M点的反比例函数的解析式为y＝－
∵点N在y＝－的图象上，OA在x轴上，且△OAN是直角三角形
∴点N的坐标为（，－6）
综上，点N的坐标为（，）或（，－6）
2．（北京模拟）已知点A是双曲线y＝（k1＞0）上一点，点A的横坐标为1，过点A作平行于y轴的直线，与x轴交于点B，与双曲线y＝（k2＜0）交于点C．点D（m，0）是x轴上一点，且位于直线AC右侧，E是AD的中点．
（1）如图1，当m＝4时，求△ACD的面积（用含k1、k2的代数式表示）；
（2）如图2，若点E恰好在双曲线y＝（k1＞0）上，求m的值；
（3）如图3，设线段EB的延长线与y轴的负半轴交于点F，当m＝2时，若△BDF的面积为1，且CF∥AD，求k1的值，并直接写出线段CF的长．
D
F
D
解：
（1）由题意得A，C两点的坐标分别为A（1，k1），C（1，k2）
∵k1＞0，k2＜0，∴点A在第一象限，点C在第四象限，AC＝k1－k2
当m＝4时，S△ACD＝AC·BD＝（k1－k2）
G
（2）作EG⊥x轴于点G，则EG∥AB
∵E是AD的中点，∴G是BD的中点
∵A（1，k1），B（1，0），D（m，0）
∴EG＝AB＝，BG＝BD＝，OG＝OB＋BG＝
∴点E的坐标为E（，）
∵点E恰好在双曲线y＝（k1＞0）上
∴·＝k1①
∵k1＞0，∴方程①可化为＝1，解得m＝3
（3）当m＝2时，点D的坐标为D（2，0），由
（2）可知点E的坐标为E（，）
F
∵S△BDF＝1，∴BD·OF＝1，∴OF＝2
设直线BE的解析式为y＝ax＋b（a≠0）
∵B（1，0），E（，）
∴解得
∴直线BE的解析式为y＝k1x－k1
∵线段EB的延长线与y轴的负半轴交于点F，k1＞0
∴点F的坐标为F（0，－k1），∴OF＝k1
∴k1＝2
线段CF的长为
3．（上海模拟）Rt△ABC在直角坐标系中的位置如图所示，tan∠BAC＝，反比例函数y＝（k≠0）在第一象限内的图象与BC边交于点D（4，m），与AB边交于点E（2，n），△BDE的面积为2．
（1）求反比例函数和直线AB的解析式；
F
（2）设直线AB与y轴交于点F，点P是射线FD上一动点，是否存在点P使以E、F、P为顶点的三角形与△AEO相似？
若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
解：
（1）∵点D（4，m）、E（2，n）在反比例函数y＝（k≠0）的图象上
F
∴得n＝2m
过点E作EH⊥BC于H，连接DE
在Rt△BEH中，tan∠BEH＝tan∠BAC＝，EH＝2，∴BH＝1
∴D（4，m），E（2，2m），B（4，2m＋1）
∵S△BDE＝BD·EH＝（m＋1）×2＝2，m＝1
∴D（4，1），E（2，2），B（4，3）
∵点D（4，1）在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，∴k＝4
∴反比例函数的解析式为y＝
设直线AB的解析式为y＝k′x＋b，把B（4，3），E（2，2）代入
得解得
∴直线AB的解析式为y＝x＋1
P
（2）∵直线y＝x＋1与y轴交于点F（0，1），点D的坐标为（4，1），
∴FD∥x轴，∠EFP＝∠EAO
因此以E、F、P为顶点的三角形与△AEO相似有两种情况：
①若＝，则△FEP∽△AEO
∵E（2，2），F（0，1），∴EF＝
∵直线y＝x＋1与x轴交于点A，∴A（0，－2）
P
∴＝，∴FP＝1
∴P（1，1）
②若＝，则△FPE∽△AEO
∴＝，∴FP＝5
∴P（5，1）
4．（安徽某校自主招生）如图，直角梯形OABC的腰OC在y轴的正半轴上，点A（5n，0）在x轴的负半轴上，OA:
AB:
OC＝5:
5:
3．点D是线段OC上一点，且OD＝BD．
（1）若直线y＝kx＋m（k≠0）过B、D两点，求k的值；
（2）在
（1）的条件下，反比例函数y＝的图象经过点B．
①求证：
反比例函数y＝的图象与直线AB必有两个不同的交点；
F
②设反比例函数y＝的图象与直线AB的另一个交点为E，已知点P（p，－n－1），Q（q，－n－2）在线段AB上，当点E落在线段PQ上时，求n的取值范围．
解：
（1）∵A（5n，0），OA:
OC＝5:
3，点C在y轴的正半轴上
∴C（0，－3n）
∵BC∥OA，∴点B的纵坐标为－3n
过点B作BG⊥OA于G，则BG＝－3n
D
设OG＝x，在Rt△ABG中，（－5n－x）2＋（－3n）2＝（－5n）2
解得x＝－n或x＝－9n（舍去）
∴B（n，－3n）
设OD＝t，∵点D是线段OC上一点，且OD＝BD
∴t2＝（－3n－t）2＋（－n）2，∴t＝－n
∴D（0，－n）
把B、D的坐标代入y＝kx＋m，得
解得k＝－
（2）①∵比例函数y＝的图象经过点B，∴m＝n（－3n）＝－3n2
∴y＝－
由A（5n，0），B（n，－3n）可得直线AB的解析式为y＝x－n
由y＝－和y＝x－n消去y并整理得：
3x2－15nx＋12n2＝0
∵△＝（－15n）2－4×3×12n2＝9n2＞0
∴反比例函数y＝－的图象与直线AB必有两个不同的交点
联立解得
∴E（4n，－n）
当点E过点P时，有－n－1＝－n，∴n＝－4
当点E过点Q时，有－n－2＝－n，∴n＝－8
∴当点E落在线段PQ上时，n的取值范围是：
－8≤n≤－4
5．（浙江杭州）在平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数y＝k（x2＋x－1）的图象交于点A（1，k）和点B（－1，－k）．
（1）当k＝－2时，求反比例函数的解析式；
（2）要使反比例函数与二次函数都是y随着x的增大而增大，求k应满足的条件以及x的取值范围；
（3）设二次函数的图象的顶点为Q，当△ABQ是以AB为斜边的直角三角形时，求k的值．
解：
（1）当k＝－2时，A（1，－2）
设反比例函数为y＝，则k′＝1×（－2）＝－2
∴反比例函数的解析式为y＝－
（2）要使反比例函数与二次函数都是y随着x的增大而增大
则反比例函数只能在二、四象限，k′＝k＜0
此时二次函数开口向下，故x≤－＝－才满足要求
综上所述，k＜0且x≤－
（3）∵y＝k（x2＋x－1）＝k（x＋）2－k，∴Q（－，－k）
∵A（1，k），B（－1，－k），∴A、B两点关于原点O对称，即O是AB的中点
又∵△ABQ是以AB为斜边的直角三角形，∴OQ＝OA
∴（－）2＋（－k）2＝12＋k2，解得k＝±
6．（浙江义乌）如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，点D为对角线OB的中点，点E（4，n）在边AB上，反比例函数y＝在第一象限内的图象经过点D、E，且tan∠BOA＝．
（1）求反比例函数的解析式；
E
（2）若反比例函数的图象与矩形的边BC交于点F，将矩形折叠，使点O与点F重合，折痕分别与x、y轴正轴交于点H、G，求线段OG的长．
解：
（1）在Rt△BOA中，∵OA＝4，tan∠BOA＝
∴AB＝OA·tan∠BOA＝2，∴B（4，2）
∵点D为对角线OB的中点，∴D（2，1）
E
∵点D在反比例函数y＝的图象上，∴1＝，∴k＝2
∴反比例函数的解析式为y＝
（2）设点F（a，2），则2a＝2，∴CF＝a＝1
连接FG，设OG＝t，则OG＝FG＝t，CG＝2－t
在Rt△CGF中，FG2＝CF2＋CG2
∴t2＝12＋（2－t）2，解得t＝
∴OG＝t＝
7．（浙江某校自主招生）已知点P的坐标为（m，0），在x轴上存在点Q（不与P重合），以PQ为边，∠PQM＝60°作菱形PQMN，使点M落在反比例函数y＝－的图象上．
（1）如图所示，若点P的坐标为（1，0），图中已经画出一个符合条件的菱形PQMN，若另一个菱形为PQ1M1N1，求点M1的坐标；
（2）探究发现，当符合上述条件的菱形只有两个时，一个菱形的顶点M在第四象限，另一个菱形的顶点M1在第二象限．通过改变P点坐标，对直线MM1的解析式y＝kx＋b进行探究可得k＝__________，若点P的坐标为（m，0），则b＝__________（用含m的代数式表示）；
（3）继续探究：
①若点P的坐标为（m，0），则m在什么范围时，符合上述条件的菱形分别有两个、三个、四个？
备用图
②求出符合上述条件的菱形刚好有三个时，点M坐标的所有情况．
N
H
解：
（1）过M1作M1H⊥PQ1于H，设Q1（x，0），
显然点Q1在x轴的负半轴上，点M1在第二象限
∵P（1，0），∴M1Q1＝PQ1＝1－x
∵∠PQM1＝60°，∴Q1H＝（1－x），M1H＝（1－x）
∴OH＝－x－（1－x）＝－（1＋x）
∴M1（（1＋x），（1－x））
N6
∵点M1在反比例函数y＝－的图象上
∴（1＋x）·（1－x）＝－2，解得：
x＝3（舍去）或x＝－3
∴M1（－1，2）
（2）k＝－，b＝m
提示：
连接PM1、PM，则∠M1PQ1＝∠OPN＝∠MPN＝60°
∴∠M1PM＝180°，即M1、P、M三点共线且∠M1MN＝60°
可得直线MM1的解析式为y＝－x＋b，∴k＝－
若点P的坐标为（m，0），则直线MM1的解析式为y＝－x＋m
∴b＝m
（3）①若符合条件的菱形有三个，则其中必有一个菱形的一条边PN或对角线PM所在直线与双曲线只有一个交点
由∠QPM＝60°或∠PNM＝60°，P（m，0），得直线PM或直线PN的解析式为y＝x－m
N4
令y＝x－m＝－，得x2－mx＋2＝0
△＝m2－8＝0，得m＝±2
∴当－2＜m＜2时，△＜0，满足条件的菱形有两个
当m＝±2时，△＝0，满足条件的菱形有三个
当m＞2或m＜－2时，△＞0，满足条件的菱形有四个
②由①知，当符合条件的菱形刚好有三个时，m＝±2
当m＝2时，点P的坐标为（2，0）
把m＝2代入x2－mx＋2＝0，得x2－2x＋2＝0
解得x＝，∴M1（，－）
设Q（x，0），由
（1）知，（2＋x）·（2－x）＝－2
解得：
x＝4或x＝－4
∴M2（2－，－2－），M3（－2＋，2＋）
当m＝－2时，由对称性可得：
M4（－，），M5（－2－，2－），M6（2＋，－2＋）
8．（浙江模拟）如图，在平面直角坐标系中，△AOB的顶点O是坐标原点，点A坐标为（1，3），A、B两点关于直线y＝x对称，反比例函数y＝（x＞0）图象经过点A，点P是直线y＝x上一动点．
（1）填空：
B点的坐标为（______，______）；
（2）若点C是反比例函数图象上一点，是否存在这样的点C，使得以A、B、C、P四点为顶点的四边形是平行四边形？
若存在，求出点C坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点Q是线段OP上一点（Q不与O、P重合），当四边形AOBP为菱形时，过点Q分别作直线OA和直线AP的垂线，垂足分别为E、F，当QE＋QF＋QB的值最小时，求出Q点坐标．
A
备用图
图1
解：
（1）（3，1）
（2）∵反比例函数y＝（x＞0）图象经过点A（1，3）
∴k＝1×3＝3
∴反比例函数的解析式为y＝
∵点P在直线y＝x上，∴设P（m，m）
①若PC为平行四边形的边
∵点A的横坐标比点B的横坐标小2，点A的纵坐标比点B的纵坐标大2
∴若点C在点P下方，则点C的坐标为（m＋2，m－2），如图1
若点C在点P上方，则点C的坐标为（m－2，m＋2），如图2
图2
把C（m＋2，m－2）代入反比例函数的解析式，得：
m－2＝，解得m＝±
∵m＞0，∴m＝
∴C1（＋2，－2）
同理可得另一点C2（－2，＋2）
②若PC为平行四边形的对角线，如图3
∵A、B关于直线y＝x对称，∴OP⊥AB
此时点C在直线y＝x上，且为直线y＝x与双曲线y＝的交点
图3
由解得（舍去）
∴C3（，）
综上所述，满足条件的点C有三个，坐标分别为：
C1（＋2，－2），C2（－2，＋2），C3（，）
（3）连接AQ，设AB与OP的交点为D，如图4
∵四边形AOBP是菱形，∴AO＝AP
∵S△AOP＝S△AOQ＋S△APQ
F
∴OP·AD＝AO·QE＋AP·QF
∴QE＋QF＝为定值
∴要使QE＋QF＋QB的值最小，只需QB的值
当QB⊥OP时，QB最小，所以D点即为所求的点
∵A（1，3），B（3，1），∴D（2，2）
∴当QE＋QF＋QB的值最小时，Q点坐标为（2，2）
9．（浙江模拟）已知点P（m，n）是反比例函数y＝（x＞0）图象上的动点，PA∥x轴，PB∥y轴，分别交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点A、B，点C是直线y＝2x上的一点．
（1）请用含m的代数式分别表示P、A、B三点的坐标；
（2）在点P运动过程中，连接AB，△PAB的面积是否变化，若不变，请求出△PAB的面积；若改变，请说明理由；
y＝2x
（3）在点P运动过程中，以点P、A、B、C为顶点的四边形能否为平行四边形，若能，请求出点P的坐标；若不能，请说明理由．
图1
解：
（1）P（m，），A（，），B（m，）
（2）∵PA＝m－＝，PB＝－＝
∴S△PAB＝PA·PB＝××＝
∴△PAB的面积不变
（3）①若AP是平行四边形的边，如图1、图2
则AP∥BQ且AP＝BQ
得Q（，）或Q（，）
∵点Q在直线y＝2x上
图3
图2
∴＝2×或＝2×
解得m＝或m＝1（舍去负值）
∴P（，2）或P（1，6）
②若AP是平行四边形的对角线，如图3
则QA∥PB且QA＝PB
得Q（，＋）
∵点Q在直线y＝2x上
∴＋＝2×，解得m＝3（舍去负值）
∴P（3，2）
10．（江苏徐州）如图，直线y＝x＋b（b＞4）与x轴、y轴分别相交于点A、B，与反比例函数y＝－的图象相交于点C、D（点C在点D的左侧），⊙O是以CD长为半径的圆．CE∥x轴，DE∥y轴，CE、DE相交于点E．
（1）△CDE是______________三角形；点C的坐标为______________，点D的坐标为_____________（用含有b的代数式表示）；
（2）b为何值时，点E在⊙O上？
（3）随着b取值逐渐增大，直线y＝x＋b与⊙O有哪些位置关系？
求出相应b的取值范围．
备用图
y＝x＋b
解：
（1）等腰直角C（，），D（，）
（2）当点E在⊙O上时，如图1，连接OE，则OE＝CD
∵直线y＝x＋b与x轴、y轴相交于点A（－b，0），B（0，b），CE∥x轴，DE∥y轴
图1
∴△DCE、△BAO是等腰直角三角形
∵整个图形是轴对称图形，∴OE平分∠AOB，∠AOE＝∠BOE＝45°
∵CE∥x轴，DE∥y轴，∴四边形CAOE、OEDB为等腰梯形
∴OE＝AC＝BD
∵OE＝CD，∴OE＝AC＝BD＝CD
过点C作CF⊥x轴于F，则△AFC∽△AOB
∴＝＝，∴yC＝CF＝BO＝b
∴＝b，解得b＝±3
∵b＞4，∴b＝3
∴当b＝3时，点E在⊙O上
（3）当⊙O与直线y＝x＋b相切于点G时，如图2，连接OG
∵整个图形是轴对称图形，∴点O、E、G在对称轴上
图2
∴GC＝GD＝CD＝OG＝AG
∴AC＝CG＝GD＝DB，∴AC＝AB
过点C作CH⊥x轴于H，则△AHC∽△AOB
∴＝＝，∴yC＝CH＝BO＝b
∴＝b，解得b＝±
∵b＞4，∴b＝
∴当b＝时，直线y＝x＋b与⊙O相切
当4＜b＜时，直线y＝x＋b与⊙O相离
当b＞时，直线y＝x＋b与⊙O相交
11．（江苏泰州）如图，已知一次函数y1＝kx＋b的图象与x轴相交于点A，与反比例函数y2＝的图象相交于B（－1，5）、C（，d）两点．点P（m、n）是一次函数y1＝kx＋b的图象上的动点．
（1）求k、b的值；
（2）设－1＜m＜，过点P作x轴的平行线与函数y2＝的图象相交于点D．试问△PAD的面积是否存在最大值？
若存在，请求出面积的最大值及此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；
P
（3）设m＝1－a，如果在两个实数m与n之间（不包括m和n）有且只有一个整数，求实数a的取值范围．
解：
（1）将点B（－1，5）代入y2＝，得5＝，∴c＝－5
∴y2＝－
将点C（，d）代入y2＝－，得d＝－＝－2
∴C（，－2）
将B（－1，5），C（，－2）代入y1＝kx＋b，得
解得
（2）存在
由
（1）知，y1＝－2x＋3，令y1＝0，即－2x＋3＝0，得x＝
∴A（，0）
∵－1＜m＜，∴点P在线段AB上运动（不含A、B）
设P（，n）
∵DP∥x轴，且点D在y2＝－的图象上，∴D（－，n）
∴S△PAD＝DP·yP＝（＋）·n＝－（n－）2＋
∵－＜0，∴S△PAD有最大值
∵n＝－2m＋3，－1＜m＜，∴0＜n＜5
∴当n＝时，△PAD的面积最大，最大值为，此时点P的坐标为（，）
（3）∵m＝1－a，∴n＝1＋2a
∵在m与n之间（不包括m和n）有且只有一个整数，∴m≠n
即1－a≠1＋2a，∴a≠0
①当a＞0时，则1－a＜1＜1＋2a
∵在m与n之间（不包括m和n）有且只有一个整数
∴解得0＜a≤
②当a＜0时，则1＋2a＜1＜1－a
∵在m与n之间（不包括m和n）有且只有一个整数
∴解得－≤a＜0
综上所述，实数a的取值范围是－≤a＜0或0＜a≤
12．（江苏模拟）如图，双曲线y＝（x＞0）与过A（1，0）、B（0，1）的直线交于P、Q两点，连接OP、OQ．点C是线段OA上一点（不与O、A重合），CD⊥AB于D，DE⊥OB于E．设CA＝a．
（1）求证：
△OAQ≌△OBP；
（2）当a为何值时，CE＝AC？
F
（3）是否存在这样的点C，使得△OEF为等腰三角形？
若存在，求出此时点C的坐标；若不存在，请说明理由．
（1）证明：
设直线AB的解析式为y＝kx＋b
∴解得∴y＝－x＋1
F
联立解得
∴P（，），Q（，）
过P作PM⊥y轴于M，过Q作QN⊥x轴于N
则PM＝QN＝
∵OA＝OB＝1，∴∠OAB＝∠OBA＝45°
∴AQ＝QN，BP＝PM，∴AQ＝BP
在△△OAQ和△OBP中
∴△△OAQ≌△OBP
（2）解：
过D作DG⊥OA于G
∵∠OAB＝45°，CD⊥AB，∴△CDA是等腰直角三角形
∴DG＝CA＝a
∵DE⊥OB，∴四边形OEDG是矩形，∴OE＝DG＝a
∵CE＝AC，∴（1－a）2＋（a）2＝a2
解得：
a＝4＋2（舍去）或a＝4－2
∴当a＝4－2时，CE＝AC
（3）存在
由
（2）知，C（1－a，0），E（0，）
可得直线EC的解析式为y＝x＋
D
由Q（，），得直线OQ的解析式为y＝x
解方程组得
∴F（，）
①若EF＝OF
过F作FH⊥OE于H，则OH＝OE，∴＝a
∵a≠0，∴＝，解得a＝
∴C1（，0）
H
②若OE＝OF，则OF＝a
过F作FH⊥OC于H
∵F（，），∴FH＝OH
∴FH＝OF＝a，∴＝a
∵a≠0，∴＝，解得a＝
∴C2（，0）
K
③若OE＝EF
过E作EK⊥OF于K，则OK＝OF＝FH
易证△EOK∽△OFH，得OE＝OK＝5FH
即FH＝OE，∴＝a
∵a≠0，∴＝，解得a＝
∴C3（，0）
综上所述，存在点C1（，0），C2（，0），C3（，0），使得△OEF为等腰三角形
13．（河北）如图，四边形ABCD是平行四边形，点A（1，0），B（3，1），C（3，3）．反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点D，点P是一次函数y＝kx＋3－3k（k≠0）的图象与该反比例函数图象的一个公共点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）通过计算，说明一次函数y＝kx＋3－3k（k≠0）的图象一定过点C；
（3）对于一次函数y＝kx＋3－3k（k≠0），当y随x的增大而增大时，确定点P横坐标的取值范围（不必写出过程）．
P
解：
（1）由题意，AD＝BC＝2，故点D的坐标为（1，2）
∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点D（1，2）
∴2＝，∴m＝2
反比例函数的解析式为y＝
（2）当x＝3时，y＝3k＋3－3k＝3
∴一次函数y＝kx＋3－3k（k≠0）的图象一定过点C
（3）设点P的横坐标为a，＜a＜3
C
14．（山东济南）如图，已知双曲线y＝经过点D（6，1），点C是双曲线第三象限分支上的动点，过C作CA⊥x轴，过D作DB⊥y轴，垂足分别为A，B，连接AB，BC．
（1）求k的值；
（2）若△BCD的面积为12，求直线CD的解析式；
（3）判断AB与CD的位置关系，并说明理由．
解：
（1）∵
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