人教版同步教参数学四年级上册除数是两位数的除法商的变化规律寇向伟.docx

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人教版同步教参数学四年级上册除数是两位数的除法商的变化规律寇向伟

第六单元除数是两位数的除法

第4节商的变化规律

【知识梳理】

1.商不变的规律：

被除数和除数同时乘（或除以）一个相同的数（0除外），商不变。

2.商随除数或被除数变化的规律：

（1）除数不变，商随被除数变化的规律：

被除数乘（或除以）几（0除外），商也乘（或

除以）几。

（2）被除数不变，商随除数变化的规律：

除数乘（或除以）几（0除外），商反而除以（或

乘）几。

3.商不变的规律的应用：

应用商不变的规律，不仅可以使口算简便，还可以使笔算简便。

例.780÷30=78÷3=26

125÷25=（125×4）÷（25×4）=500÷100=5

4.余数问题：

在有余数的除法中，如果被除数和除数同时乘或除以一个相同的数（0除外），它们的余数也随之乘或除以这个数。

5.温馨提示：

①根据商不变的规律，被除数和除数同时乘（或除以）一个相同的数（0除外），商不变，

但余数发生了变化，要得到原来的余数，就要用现在的余数乘（或除以）这个数。

②被除数和除数同乘或同除以的这个数不能是0，因为当除数是0时，算式没有意义。

③除数不变时，商和被除数的变化完全相同。

④被除数不变时，商和除数的变化正好相反。

【诊断自测】

1.口算题。

90÷30=400÷200=600÷20=1200÷60=

240÷40=1800÷90=350÷50=4900÷700=

2.填空。

（1）被除数不变，除数乘10，商要（）。

（2）除数不变，被除数除以5，商要（）。

（3）被除数和除数同时除以10，商（）。

3.用竖式计算。

（1）510÷30=

（2）8000÷500=（3）1700÷200=

4.简便计算。

1100÷255000÷125640÷16

5.根据480÷60=8，直接写出下面各题的商。

48÷6=960÷120=240÷30=

4800÷600=2400÷300=160÷20=

6.解决问题。

（1）5个足球325元，学校买了15个这样的足球，一共花了多少钱？

（2）小江3分钟做了31道口算题，照这样计算，他1小时能做多少道口算题？

【考点突破】

类型一：

商不变的规律。

1、根据商不变的规律，被除数和除数的末尾都去掉相同个数的0，商不变。

例1.用竖式计算。

（1）780÷30=

（2）5100÷1700=（3）7200÷240=

答案：

（1）780÷30=26

26

30780

6

18

18

0

（2）5100÷1700=3

3

17005100

51

0

（3）7200÷240=30

30

2407200

72

0

解析：

（1）根据商不变的规律，被除数和除数都除以10，也就是被除数和除数的末尾都

去掉1个0，商不变，从而使得计算简便。

（2）根据商不变的规律，被除数和除数都除以100，也就是被除数和除数的末尾

都去掉2个0，商不变，从而使得计算简便。

（3）根据商不变的规律，被除数和除数都除以10，也就是被除数和除数的末尾都

去掉1个0，商不变，从而使得计算简便。

除数的末尾有一个0，被除数的末

尾有2个0，在去掉被除数和除数末尾的0时，以0个数少的为标准，所以

要去掉1个0。

2、余数问题。

例2.用竖式计算。

（1）840÷50=

（2）700÷30=

答案：

（1）840÷50=16……40

16

50840

5

34

30

4余下的4在十位上，表示4个十，所以余数是40。

（2）700÷30=23……10

23

30700

6

10

9

1余下的1在十位上，表示1个十，所以余数是10。

解析：

（1）第一次商后余下的2与个位上落下来的0组成20，20小于除数31，商的个位

上不够商1，要用0来占位。

所以商为30而不是3。

（2）第一次商后余下的1与个位上落下来的3组成13，13小于除数17，商的个位

上不够商1，要用0来占位。

所以商为10而不是1。

3、灵活运用商不变的规律解决简便计算。

例3.脱式计算。

（1）4200÷25

（2）4000÷125（3）270÷54

答案：

（1）4200÷25

=（4200×4）÷（25×4）

=16800÷100

=168

（2）4000÷125

=（4000×8）÷（125×8）

=32000÷1000

=32

（3）270÷54

=（270÷9）÷（54÷9）

=30÷6

=5

解析：

在简便计算中，我们经常用到5×2=10，25×4=100，125×8=1000这三个式

子凑整十、整百、整千的数，从而使计算简便。

（1）中出现了25，所以可以让25×4，使除数变为100，使计算简便；

（2）中出现了125，所以可以让125×8，使除数变为1000，使计算简便；

（3）中被除数270和除数54都是9的倍数，如果把被除数和除数都除以9，

将大数转化为小数，再计算更简便。

例4.根据算式在里填上合适的数。

（1）800÷16=50

（800×）÷（16×5）=50

（800÷8）÷（16÷）=50

（2）235÷5=47

2350÷=47÷15=47

答案：

（1）58

（2）50705

解析：

（1）中除数16×5，所以被除数800×5，故填5；

被除数800÷8，所以除数16÷8故填8。

（2）被除数235乘10变为2350，所以除数5×10，变为50；

除数5乘3变为15，所以被除数235也乘3，变为705。

4、利用商不变的规律巧妙求商。

例5.选择。

（1）两个数相除的商是40，如果被除数和除数同时除以20，那么商是（）。

A.2B.40C.800

（2）若a÷b=c，则（a÷2）÷（b÷2）=（）。

A.aB.bC.cD.无法确定

答案：

（1）B

（2）C

解析：

（1）根据商不变的规律，被除数和除数同时除以20，商不变,原来的商是40，故选B；

（2）根据商不变的规律，被除数和除数同时除以2，商不变，原来的商是c。

故选C。

5、条件中给出被除数或除数加（或减）某个数时，如何利用商不变的规律求解。

例6.选择。

一个数（0除外）除以2，当除数加上12时，要使商不变，这个数应（）。

A.乘7B.加上12C.无法确定

答案：

A

解析：

把除数2加上14转化为把除数2乘几：

2+12=14，2×7=14。

除数乘7所以被除

数也要乘7，商不变，故选A.

例7.126÷3,当除数加27时，要使商不变，被除数126应乘（），或被除数126

应加上（）。

答案：

101134

解析：

除数3加上27，即3+27=30，3乘10等于30，所以除数3乘10，要使商不

变，被除数126也乘10；126×10=1260，1260-126=1134，所以被除数126应加

上1134。

6、利用商不变的规律解决问题。

例8.小明和小亮一起去操场跑步，小明用50秒跑了300米就休息了，但小亮一直坚持，

他跑步用的时间是小明的6倍，假设小明和小亮跑步的速度是一样的，那么小亮跑的

距离是小明的倍。

答案：

6

解析：

根据“路程÷时间=速度”，因为小明和小亮的速度一样，也就是路程和时

间的商不变。

由于小亮所用的时间是小明的6倍，也就是除数扩大了6倍，根据

商不变的规律，被除数也要扩大6倍，即小亮跑的路程是小明的6倍。

类型二：

商随除数或被除数变化的规律。

例9.选择。

（1）除数不变，被除数乘4，商（）。

A.乘4B.除以4C.不变

（2）被除数不变，除数乘10，商（）。

A.乘10B.除以10C.不变

答案：

（1）A

（2）B

解析：

（1）除数不变，商随被除数变化的规律：

被除数（或除以）几（0除外），

商也乘（或除以）几。

故选A。

（2）被除数不变，商随除数变化的规律：

除数乘（或除以）几（0除外），商反

而除以（或乘）几。

故选B。

例10.根据360÷18=20，直接写出下面各题的商。

（1）360÷180=

（2）720÷18=（3）360÷9=

答案：

（1）2

（2）40（3）40

解析：

（1）被除数不变，除数乘10，商就应该除以10，即20÷10=2；

（2）除数不变，被除数乘2，商就乘2，即20×2=40；

（3）被除数不变，除数除以2，商就应该乘，即20×2=40。

【易错精选】

1.判断。

（1）若被除数和除数同时乘5，则商乘25。

（）

（2）甲数除以乙数的商是12，余数是7，现在将甲、乙两数分别扩大到原来的10倍，

商仍是12，余数仍是7。

（）

（3）被除数除以50，要使商不变，除数应该除以50。

（）

（4）被除数和除数同时乘或除以相同的数，商不变。

（）

（5）甲数除以乙数，乙数加上50，要使商不变，甲数也应加上50。

（）

（6）7200÷360=72÷36（）

2.填空。

（1）甲数除以乙数的商是32，余数是6，如果甲数和乙数同时乘10，那么余数是（）。

（2）计算240÷80时，如果除数加上80，要使商不变，那么被除数应加上（）。

（3）590÷60=9……（）

（4）120÷30=（120×3）÷（30+）

（5）600÷25=（600×）÷100

【精华提炼】

1.除数不变时，商和被除数的变化完全相同。

2.被除数不变时，商和除数的变化正好相反。

3.被除数和除数同时乘（或除以）一个相同的数（0除外），商不变。

易错提示：

同乘或同除以的这个数不能是0，因为当除数是0时，算式没有意义。

4.在有余数的除法中，如果被除数和除数同时乘或除以一个相同的数（0除外），它们的余

数也随之乘或除以这个数。

特例：

应用商不变的规律计算有余数的除法时，被除数和除数的末尾都去掉相同个数的0，

商不变，但余数发生了变化，去掉几个0，余数的末尾就要加上几个0。

5.根据商不变的性质，除数和被除数的末尾要同时划去相同个数的0，不能将所有的0都划去。

例如：

不能将800÷60转化成8÷6。

【本节训练】

训练【1】用简便方法计算。

1.列竖式计算。

270÷30=360÷50=

2400÷70=5700÷300=

2.脱式计算。

375÷25625÷125

390÷26510÷34

训练【2】余数问题。

3.改错.

（1）6500÷3200=2……1

2改正：

32006500

64

1

（2）4300÷60=7……100

7改正：

604300

42

1

训练【3】商的变化规律。

4.在一道没有余数的除法算式中，如果被除数去掉个位上的0，除数不变，商是7，那么原来的商是多少？

训练【4】解决实际问题。

5.一个工厂有20名工人，每天可以生产400个零件，后来这个工厂扩大了规模，工人总数是原来的两倍，同时每天生产的零件数也