技术让数学教学更完美.docx

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技术让数学教学更完美

技术让数学教学更完美

[摘要]

中考数学的区分度很大水准上取决于最后的压轴题，而压轴题的灵魂是数形结合，数形结合的精髓是函数，函数的核心是运动变化，传统的数学教学模式很难讲运动变化表现给学生，这样让学生在理解和掌握上产生了疑惑。

“几何画板”和“超级画板”的出现将现代教育技术与中学数学课程整合，动态研究中考数学压轴题，让数学教育更容易，更完美！

本篇文章从几何画板在中学数学压轴题中的应用，集中在图形运动中的函数关系问题；图形运动中的计算说理问题等方面实行了一些初步的探索与尝试，利用画板来突破教学难点。

[关键词]几何画板超级画板图形运动中的问题

如何把数学变得更容易更完美，是数学教育者一直在思考的问题。

张景中教授认为：

“解决问题的根本就是改造数学本身，为教育的母的改良数学!

”随着新课改的持续推动，怎样面对将计算机与数学融为一体的数学教学?

怎样使教学更适合学生的发展需要和时代特点？

这是当代数学老师面临的若干重大课题。

这就要求我们在持续学习数学知识的同时，还要学习计算机知识，尤其要学习计算机辅助教学方面的知识。

几何画板和超级画板就是这样的计算机辅助教学软件。

几何画板和超级画板在数学教学中有着巨大的作用：

1.以形象生动性最能让学生在枯燥的数学课堂上眼前一亮，也让学生对数学的无穷魅力有了一层神秘感，从心理学的角度，这样很容易引起学生的兴趣；

2.在传统教学中，经常会碰到一个很矛盾的问题：

在课堂教学需要临时画图时，若图画得太少，则可能看不出问题的实质；若画得太多，不但时间不允许，而且会使学生不耐烦；若事先在小黑板上画好，则无法引导学生探索结论的形成过程。

所以要想安排得当，确实很为难。

而利用画板却能轻而易举地解决这个问题。

利用它，你能够作出各种神奇的图形，让复杂的问题抽象的问题形象化，让学生更容易理解数学中的动态变化问题和接受问题的解答，它的动画技术将会充分地调动学生的积极性，使学生在轻松、愉快的氛围中获得知识。

。

下面我就分以下三部分内容，将几何画板和超级画板于中考数学压轴题相融合来动态研究中考数学压轴题：

第一部分：

图形运动中的函数关系问题

这部分压轴题的主要特征是在图形变化运动的过程中，探求两个变量之间的函数关系，并根据实际情况情况确定自变量的取值范围，进而在一般性的基础上探求符合条件的特殊性，探求符合条件的特殊性一般和数形结合思想联系在一起。

一．线段产生的函数关系问题

例：

2010年松江区初中毕业生学业模拟考试25题

如图，正方形ABCD中，AB=1，点P是射线DA上的一动点，DE⊥CP,垂足为E，EF⊥BE与射线DC交于点F．

（1）若点P在边DA上（与点D、点A不重合）．

①求证：

△DEF∽△CEB；

②设AP=x，DF=y，求

与

的函数关系式，并写出函数定义域；

（2）当

时，求AP的长．

（第25题图）

思路点拨：

1．背景图形中的直角很多，产生的余角就多，把相等的角标记出来，容易看到相似三角形的对应边。

2．第（3）题探求两个三角形的面积比，已知底边的比，关键是探求高的比，备用图暗示了要分类讨论，不要遗漏点p在DA的延长线上的情况。

利用画板突破教学难点：

第

（1）小题学生基本都能自己完成，故应采取学生自己当小老师讲解解题思路和过程；而后两小题的讲解就需要在老师的引领下完成。

请打开几何画板，能够设计出这样的效果：

拖动点P在线段DA上运动，让学生观察Y随X变化的图像，能够体会到，两变量成一次函数的关系，且Y随X的变大而减少。

动点P在射线DA上运动，让学生观察面积比的度量值和比值随X变化的图像，能够体验到，点p在线段DA上和DA的延长线上时，各有一次比值等于4的时刻。

请打开超级画板，能够设计出这样的效果：

P在线段DA上运动，由跟踪点的图象可得Y随X的变大而减少。

动点P在射线DA上运动，让学生观察面积比的度量值，点p在线段DA上和DA的延长线上时，各有一次比值等于4的时刻。

分别点击“4倍面积”按扭的左部和中部，能够得到两种情形。

二．由面积公式产生的函数关系问题

例：

（2009年台州市初中学业水平考试第24题）

如图，已知直线　　　　　　　交坐标轴于

两点，以线段

为边向上作

正方形

，过点

的抛物线与直线另一个交点为

．

（1）请直接写出点

的坐标；

（2）求抛物线的解析式；

（3）若正方形以每秒

个单位长度的速度沿射线

下滑，直至顶点

落在

轴上时停止．设正方形落在

轴下方部分的面积为

，求

关于滑行时间

的函数关系式，并写出相对应自变量

的取值范围；

（4）在（3）的条件下，抛物线与正方形一起平移，同时

停止，求抛物线上

两点间的抛物线弧所扫过的面积．

备用图

思路点拨：

1．过点C，D分别画X轴，Y轴的垂线，与坐标轴围城的正方形以及正方形ABCD就构成了一个勾股图，四个直角三角形全等，从而容易得出C，D的坐标。

2．正方形下滑的过程中，A’C’D’先后落在X轴上，这三个时刻是分段函数的临界点。

3．图形中的所有直角三角形的三边之比都是1：

2：

√5，灵活使用方便解题。

4．图形在移动的过程中，对应点的连线平行且相等，所以弧CE扫过的面积通过割补能够拼成矩形。

利用画板突破教学难点：

请打开几何画板，能够设计如下效果：

拖动A’在直线AB上下滑动，学生能够体验到，正方形落在X轴的下方部分的形状依次是直角三角形，直角梯形和五边形，从图象上能够观察到，S随T的增大而增大，还能够体会到，弧CE扫过的面积能够拼成矩形。

请打开超级画板，能够设计如下效果：

拖动点D’在直线DC上下滑，能够体验到正方形落在X轴的下方部分的形状依次是直角三角形，直角梯形和五边形和正方形，很明显S随T的增大而增大，弧CE不是直线，所围城的面积必须通过割补可成常规图形方能计算。

第二部分：

图形运动中的计算说理问题

这部分压轴题的主要特征是先给出一个图形实行研究，然后研究图形的位置发生变化后结论是否发生变化，进而实行证明，解决这部分压轴题的关键是抓住图形运动过程中的数据和不变关系，通过计算实行说理。

一．代数计算及通过代数计算实行说理问题

例：

（2009福州中考第22题）

已知直线l：

y=－x+m（m≠0）交x轴、y轴于A、B两点，点C、M分别在线段OA、AB上，且OC=2CA，AM=2MB，连接MC，将△ACM绕点M旋转180°，得到△FEM，则点E在y轴上,点F在直线l上;取线段EO中点N,将ACM沿MN所在直线翻折，得到△PMG，其中P与A为对称点.记：

过点F的双曲线为，过点M且以B为顶点的抛物线为，过点P且以M为顶点的抛物线为.

（1）如图10，当m=6时，①直接写出点M、F的坐标，

 ②求C1、C2 的函数解析式；

（2）当m发生变化时， ①在C1的每一支上，y随x的增大如何变化？

请说明理由。

②若C1、C2中的y都随着x的增大而减小,写出x的取值范围。

思路点拨：

1．理清A，B，F，M，P的坐标之间的数量关系，用含M的式子表示点A，B，F，M，P的坐标是解题的基础，而这些关系又是创建在图形的对称性上。

2．借用图1能够研究第

（2）题中M＞0的情况：

画C1，C2的示意图，能够观察到，两条抛物线中Y随X的增大而减小的范围，对应的X的取值范围是线段MN的横坐标。

3．研究

（2）中的M＜0的情况，此时点B在Y轴的负半轴上，画一个准确的示意图是解题的关键。

利用画板突破教学难点：

请打开几何画板，能够设计如下效果：

拖动点B在Y轴上运动，能够体验到，双曲线总是落在第二，四象限，两条抛物线中Y随X的增大而减小的范围，对应的X的取值范围是线段MN的横坐标。

双击按扭“M=6”能够准确显示第

（1）题的情景。

请打开超级画板，能够设计如下效果：

拖动点A，能够改变M的值，点击动画按扭左部，得到M=6；点击动画按扭中部，得到M=-6。

二．几何证明及通过几何计算实行说理问题

例：

（2010河北省中考第25题）

如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，

，AD = 6，BC = 8，

，点M是BC的中点．点P从点M出发沿MB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，到达点B后立刻以原速度沿BM返回；点Q从点M出发以每秒1个单位长的速度在射线MC上匀速运动．在点P，Q的运动过程中，以PQ为边作等边三角形EPQ，使它与梯形ABCD在射线BC的同侧．点P，Q同时出发，当点P返回到点M时停止运动，点Q也随之停止．

设点P，Q运动的时间是t秒（t＞0）．

（1）设PQ的长为y，在点P从点M向点B运动的过程中，写出y与t之间的函数关系式（不必写t的取值范围）．

（2）当BP = 1时，求△EPQ与梯形ABCD重叠部分的面积．

（3）随着时间t的变化，线段AD会有一部分被△EPQ覆盖，被覆盖线段的长度在某个时刻会达到最大值，请回答：

该最大值能否持续一个时段？

若能，直接写出t的取值范围；若不能，请说明理由．

思路点拨:

心动不如行动,画图是解决这个题目的最好办法了,分别画2S,3S,4S,5S时刻的图形,思路和巧妙尽在图形中.这样的题目关键还在于如何确定这个时间分界点.这样的题目用传统的教学方法是最累老师和学生的!

利用画板突破教学难点：

请打开几何画板,能够设计如下效果:

拖动点Q在射线MC上运动,能够体验到:

当Q在MC上时,y随t的增大而增大,GH随t的增大而增大;

当Q在MC的延长线上时,y是定值,但是GH这个定值持续一秒;

双击按扭"BP=1,t=3",此时点E恰好落在AD上;双击按扭"BP=1,t=5",此时EQ恰好过点D.

请打开超级画板.能够设计出如下效果:

点击动画按扭t,能够体验到:

当Q在MC上时,y随t的增大而增大,GH随t的增大而增大;

当Q在MC的延长线上时,y是定值,但是GH这个定值持续一秒,即第4到第5秒

也能够拖动P或Q,容易发现t=3时,E恰好落在AD上;t=5时,EQ过点D.

第三部分：

图形的平移,翻折与旋转

这部分题目的主要特征是在图形的平移,翻折,旋转等运动变化中寻找不变的量,把握规律,探求关系;另一个主要特征是把图形的对称性与分类讨论思想结合在一起,也就是平常所说的一题多解。

一.图形的平移

例：

（2010青岛数学中考24题）

已知：

把Rt△ABC和Rt△DEF按如图

（1）摆放（点C与点E重合），点B、C（E）、F在同一条直线上．∠ACB=∠EDF=90°，∠DEF=45°，AC=8cm，BC=6cm，EF=9cm．

如图

（2），△DEF从图

（1）的位置出发，以1cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动，在△DEF移动的同时，点P从△ABC的顶点B出发，以2cm/s的速度沿BA向点A匀速移动.当△DEF的顶点D移动到AC边上时，△DEF停止移动，点P也随之停止移动．DE与AC相交于点Q，连接PQ，设移动时间为t（s）（0＜t＜4.5）．解答下列问题：

（1）当t为何值时，点A在线段PQ的垂直平分线上？

（2）连接PE，设四边形APEC的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；是否存有某一时刻t，使面积y最小？

若存有，求出y的最小值；若不存有，说明理由．

（3）是否存有某一时刻t，使P、Q、F三点在同一条直线上？

若存有，求出此时t的值；若不存有，说明理由．（图（3）供同学们做题使用）

利用画板突破教学难点：

请打开几何画板，能够设计如下效果：

拖动点D向左运动，能够让学生观察到度量值，能够体验到。

点A落在线段PQ的垂直平分线上时，t=2；y随着x的变化的图象是开口向上的抛物线的一部分；P，Q，F三点能够在一条直线上。

请打开超级画板，能够设计如下效果：

点击动画按扭t，观察度量值t，学生能够体验到，点A落在线段PQ的垂直平分线上时，t=2；y随着x的变化的图象是开口向上的抛物线的一部分，当t=3时，y取得最小值16.8；当t=1时，P，Q，F三点能够在一条直线上。

二.图形的翻折

例：

.（2010金华数学中考24题）

如图，把含有30°角的三角板ABO置入平面直角坐标系中，A，B两点坐标分别为（3，0）和（0，3

）.动点P从A点开始沿折线AO-OB-BA运动，点P在AO，OB，BA上运动的面四民﹒数学兴趣小组对捐款情况实行了抽样调查，速度分别为1，

，2（长度单位/秒）﹒一直尺的上边缘l从x轴的位置开始以

（长度单位/秒）的速度向上平行移动（即移动过程中保持l∥x轴），且分别与OB，AB交于E，F两点﹒设动点P与动直线l同时出发，运动时间为t秒，当点P沿折线AO-OB-BA运动一周时，直线l和动点P同时停止运动．请解答下列问题：

（1）过A，B两点的直线解析式是▲；

（2）当t﹦4时，点P的坐标为▲；当t﹦▲，点P与点E重合；

（3）①作点P关于直线EF的对称点P′.在运动过程中，若形成的四边形PEP′F为菱形，则t的值是多少？

②当t﹦2时，是否存有着点Q，使得△FEQ∽△BEP?

若存有,求出点Q的坐标；若不存有，请说明理由．

利用画板突破教学难点：

请打开几何画板，能够设计出如下效果：

拖动点E（或直线EF）从点O向点B运动的过程中，学生能够体验到，点P与点E在OB的重点处重合，四边形PEP‘F能够两次成为菱形，双击按扭能够准确显示，双击按扭“t=2”，能够看到，有两个符合⊿FEQ∽⊿BEP的点Q。

请打开超级画板。

能够设计如下的效果：

点击按扭“饶一圈”或拖动点P，能够体验到点P沿折线AO-OB-BA运动一周的全过程。

点击按扭“t=4”，点P的坐标为（0，√3）；点击按扭“t=4.5”，P与E点重合；点击按扭“菱形”的左部和中部，四边形PEP‘F能够两次成为菱形；点击按扭“t=2”，再点击按扭“显示点Q”，有两个符合相似条件的Q。

三．图形的旋转

例：

（2010北京市东城区中考数学模拟卷25题）

如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点M，正方形MNPQ与正方形ABCD全等，射线MN与MQ不过A、B、C、D四点且分别交ABCD的边于E、F两点.

（1）求证：

ME=MF；

（2）若将原题中的正方形改为矩形，且

，其他条件不变，探索线段ME与线段MF的数量关系.

利用画板突破教学难点：

请打开几何画板，能够设计出如下效果：

拖动点P饶着正方形的中心M旋转，能够体验到，⊿MEG与⊿MFH保持全等，所以ME与MF始终相等。

如图

拖动点B改变矩形ABCD的形状，使得BC=2AB=4，再拖动点P绕着矩形的中心M旋转，观察MF与ME比值的度量值，能够体验到，比值有三种情况，

MF：

ME=2；MF：

ME=0.5；MF：

ME的值不确定。

怎么分类讨论呢？

（1）射线MN，MQ分别与矩形的邻边相交与E，F。

如图：

MF：

ME=2

如图：

MF：

ME=0.5

（2）如图，射线MN，MQ分别与矩形的同一边相交与E，F

（3）如图；射线MN，MQ分别与矩形的两条较长的对边相交与E，F。

以上就是我在初中三年级中考数学压轴题教学中使用几何画板和超级画板解决教学难点的一些收获与体会。

总的来说，将几何画板和超级画板融入课堂教学，给学生提供视觉、听觉和创新思维，丰富学生的表象，有效培养学生自主学习，主动发展、创新的水平，把学习空间还给学生，信息技术与数学课程的事例将成为一种趋势，对全方位实施素质教育，必将发挥越来越重要的作用。

但是信息技术的使用仅仅教学的手段之一，并不是教学的目的，目的是更加好地使学生理解数学的本质，所以要提升课堂的效率，信息技术使用要恰如其分。

我会在今后的教学持续实践，持续地积累经验，努力做到信息技术与数学教学的有效整合，实现技术让数学教学更完美的效果！

参考文献：

《挑战中考数学压轴题》（第四版）华东师范大学出版社