XX中考数学分式方程及其应用专题复习学案.docx
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XX中考数学分式方程及其应用专题复习学案
XX中考数学分式方程及其应用专题复习学案
XX年中考数学专题练习8《分式方程及其应用》
【知识归纳】
．分式方程:
分母中含有的方程叫分式方程.
．解分式方程的一般步骤：
去分母，在方程的两边都乘以，约去分母，化成整式方程；
解这个整式方程；
验根，把整式方程的根代入，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去.
用换元法解分式方程的一般步骤：
①设，并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式；②解方程，求出辅助未知数的值；③把代入原设中，求出原未知数的值；④检验作答.
．分式方程的应用：
分式方程的应用题与一元一次方程应用题类似，不同的是要注意检验：
检验所求的解是否是所列；检验所求的解是否.
【基础检测】
．分式方程=的解是
A．x=﹣1B．x=1c．x=2D．x=3
．解分式方程，正确的结果是
A．x=0B．x=1c．x=2D．无解
．甲、乙两个搬运工搬运某种货物，已知乙比甲每小时多搬运600g，甲搬运5000g所用时间与乙搬运8000g所用时间相等，求甲、乙两人每小时分别搬运多少g货物，设甲每小时搬运xg货物，则可列方程为
A．B．
c．D．
．A，B两地相距180，新修的高速公路开通后，在A，B两地间行驶的长途客车平均车速提高了50%，而从A地到B地的时间缩短了1h．若设原来的平均车速为x/h，则根据题意可列方程为
A．﹣=1B．﹣=1
c．﹣=1D．﹣=1
．在求3x的倒数的值时，嘉淇同学误将3x看成了8x，她求得的值比正确答案小5．依上述情形，所列关系式成立的是
A．=﹣5B．=+5c．=8x﹣5D．=8x+5
．某机加工车间共有26名工人，现要加工2100个A零件，1200个B零件，已知每人每天加工A零件30个或B零件20个，问怎样分工才能确保同时完成两种零件的加工任务？
设安排x人加工A零件，由题意列方程得
A．=B．=
c．=D．×30=×20
五月初，我市多地遭遇了持续强降雨的恶劣天气，造成部分地区出现严重洪涝灾害，某爱心组织紧急筹集了部分资金，计划购买甲、乙两种救灾物品共XX件送往灾区，已知每件甲种物品的价格比每件乙种物品的价格贵10元，用350元购买甲种物品的件数恰好与用300元购买乙种物品的件数相同
求甲、乙两种救灾物品每件的价格各是多少元？
经调查，灾区对乙种物品件数的需求量是甲种物品件数的3倍，若该爱心组织按照此需求的比例购买这XX件物品，需筹集资金多少元？
早晨，小明步行到离家900米的学校去上学，到学校时发现眼镜忘在家中，于是他立即按原路步行回家，拿到眼镜后立即按原路骑自行车返回学校．已知小明步行从学校到家所用的时间比他骑自行车从家到学校所用的时间多10分钟，小明骑自行车速度是步行速度的3倍．
求小明步行速度是多少；
下午放学后，小明骑自行车回到家，然后步行去图书馆，如果小明骑自行车和步行的速度不变，小明步行从家到图书馆的时间不超过骑自行车从学校到家时间的2倍，那么小明家与图书馆之间的路程最多是多少米？
【达标检测】
一、选择题
．4．解分式方程时，去分母后变形为
A．
B．
c．
D．
．解分式方程，正确的结果是
A．x=0B．x=1c．x=2D．无解
关于x的分式方程=3的解是正数，则字母的取值范围是
A．＞3B．＞﹣3c．＞﹣3D．＜﹣3
．分式方程的解为：
A、1
B、2
c、
D、0
八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍．设骑车学生的速度为x千米/小时，则所列方程正确的是
A．﹣=20B．﹣=20c．﹣=D．﹣=
．甲、乙两人同时分别从A，B两地沿同一条公路骑自行车到c地，已知A，c两地间的距离为110千米，B，c两地间的距离为100千米，甲骑自行车的平均速度比乙快2千米/时，结果两人同时到达c地，求两人的平均速度分别为多少．为解决此问题，设乙骑自行车的平均速度为x千米/时，由题意列出方程，其中正确的是
A．＝B．＝c．＝D．＝
．若关于x的分式方程=2﹣的解为正数，则满足条件的正整数的值为
A．1，2，3B．1，2c．1，3D．2，3
若关于x的方程+=3的解为正数，则的取值范围是
A．＜B．＜且≠c．＞﹣D．＞﹣且≠﹣
．关于的方程：
的解是，，解是，，则的解是
A.，B.，
c.，D.，
二、填空题
0.分式方程=1的解是．
1．已知A，B两地相距160，一辆汽车从A地到B地的速度比原来提高了25%，结果比原来提前0.4h到达，这辆汽车原来的速度是 /h．
方程=1的根是x=
．
3．若关于x的方程无解，则=________.
．分式方程﹣=0的根是 x=﹣1 ．
．已知关于x的分式方程+=1的解为负数，则的取值范围是 ．
三、解答题
．某中学组织学生去福利院慰问，在准备礼品时发现，购买1个甲礼品比购买1个乙礼品多花40元，并且花费600元购买甲礼品和花费360元购买乙礼品的数量相等．
求甲、乙两种礼品的单价各为多少元？
学校准备购买甲、乙两种礼品共30个送给福利院的老人，要求购买礼品的总费用不超过XX元，那么最多可购买多少个甲礼品？
．某校学生利用双休时间去距学校10的炎帝故里参观，一部分学生骑自行车先走，过了20in后，其余学生乘汽车沿相同路线出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度和汽车的速度．
．某商场购进甲、乙两种商品，乙商品的单价是甲商品单价的2倍，购买240元甲商品的数量比购买300元乙商品的数量多15件，求两种商品单价各为多少元？
．马小虎的家距离学校1800米，一天马小虎从家去上学，出发10分钟后，爸爸发现他的数学课本忘记拿了，立即带上课本去追他，在距离学校200米的地方追上了他，已知爸爸的速度是马小虎速度的2倍，求马小虎的速度．
0．XX年“母亲节”前夕，宜宾某花店用4000元购进若干束花，很快售完，接着又用4500元购进第二批花，已知第二批所购花的束数是批所购花束数的1.5倍，且每束花的进价比批的进价少5元，求批花每束的进价是多少？
参考答案
【知识归纳答案】
．分式方程:
字母.
．解分式方程的一般步骤：
分母的最小公倍数；
解这个整式方程；
最简公分母.
用换元法解分式方程的一般步骤：
①设辅助未知数，并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式；②解所得到的关于辅助未知数的新方程，求出辅助未知数的值；③把辅助未知数的值代入原设中，求出原未知数的值；④检验作答.
．分式方程的应用：
方程的根；符合题意.
【基础检测答案】
．分式方程=的解是
A．x=﹣1B．x=1c．x=2D．x=3
【分析】观察可得最简公分母是x，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
【解答】解：
两边都乘以x得：
3=4x，
去括号，得：
3x+3=4x，
移项、合并，得：
x=3，
经检验x=3是原分式方程的解，
故选：
D．
【点评】本题考查了分式方程的解法，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
．解分式方程，正确的结果是
A．x=0B．x=1c．x=2D．无解
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：
去分母得：
1+x﹣1=0，
解得：
x=0，
故选A
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程时注意要检验．
．甲、乙两个搬运工搬运某种货物，已知乙比甲每小时多搬运600g，甲搬运5000g所用时间与乙搬运8000g所用时间相等，求甲、乙两人每小时分别搬运多少g货物，设甲每小时搬运xg货物，则可列方程为
A．B．
c．D．
【分析】设甲种机器人每小时搬运x千克，则乙种机器人每小时搬运千克，根据甲搬运5000g所用时间与乙搬运8000g所用时间相等建立方程求出其解就可以得出结论．
【解答】解：
设甲种机器人每小时搬运x千克，则乙种机器人每小时搬运千克，由题意得
故选B
【点评】本题考查了列分时方程解实际问题的运用，分式方程的解法的运用，解答时根据甲搬运5000g所用时间与乙搬运8000g所用时间相等建立方程是关键．
．A，B两地相距180，新修的高速公路开通后，在A，B两地间行驶的长途客车平均车速提高了50%，而从A地到B地的时间缩短了1h．若设原来的平均车速为x/h，则根据题意可列方程为
A．﹣=1B．﹣=1
c．﹣=1D．﹣=1
【分析】直接利用在A，B两地间行驶的长途客车平均车速提高了50%，而从A地到B地的时间缩短了1h，利用时间差值得出等式即可．
【解答】解：
设原来的平均车速为x/h，则根据题意可列方程为：
﹣=1．
故选：
A．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，根据题意得出正确等量关系是解题关键．
．在求3x的倒数的值时，嘉淇同学误将3x看成了8x，她求得的值比正确答案小5．依上述情形，所列关系式成立的是
A．=﹣5B．=+5c．=8x﹣5D．=8x+5
【分析】根据题意知：
8x的倒数+5=3x的倒数，据此列出方程即可．
【解答】解：
根据题意，可列方程：
=+5，
故选：
B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是读懂题意，找到3x的倒数与8x的倒数间的等量关系，列出方程．
．某机加工车间共有26名工人，现要加工2100个A零件，1200个B零件，已知每人每天加工A零件30个或B零件20个，问怎样分工才能确保同时完成两种零件的加工任务？
设安排x人加工A零件，由题意列方程得
A．=B．=
c．=D．×30=×20
【分析】直接利用现要加工2100个A零件，1200个B零件，同时完成两种零件的加工任务，进而得出等式即可．
【解答】解：
设安排x人加工A零件，由题意列方程得：
=．
故选：
A．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，正确表示出加工两种零件所用的时间是解题关键．
五月初，我市多地遭遇了持续强降雨的恶劣天气，造成部分地区出现严重洪涝灾害，某爱心组织紧急筹集了部分资金，计划购买甲、乙两种救灾物品共XX件送往灾区，已知每件甲种物品的价格比每件乙种物品的价格贵10元，用350元购买甲种物品的件数恰好与用300元购买乙种物品的件数相同
求甲、乙两种救灾物品每件的价格各是多少元？
经调查，灾区对乙种物品件数的需求量是甲种物品件数的3倍，若该爱心组织按照此需求的比例购买这XX件物品，需筹集资金多少元？
【考点】分式方程的应用；一元一次方程的应用．
【分析】设每件乙种物品的价格是x元，则每件甲种物品的价格是元，根据用350元购买甲种物品的件数恰好与用300元购买乙种物品的件数相同
列出方程，求解即可；
设甲种物品件数为件，则乙种物品件数为3件，根据该爱心组织按照此需求的比例购买这XX件物品列出方程，求解即可．
【解答】解：
设每件乙种物品的价格是x元，则每件甲种物品的价格是元，
根据题意得，
解得：
x=60．
经检验，x=60是原方程的解．
答：
甲、乙两种救灾物品每件的价格各是70元、60元；
设甲种物品件数为件，则乙种物品件数为3件，
根据题意得，+3=XX，
解得=500，
即甲种物品件数为500件，则乙种物品件数为1500件，此时需筹集资金：
70×500+60×1500=125000．
答：
若该爱心组织按照此需求的比例购买这XX件物品，需筹集资金125000元．
早晨，小明步行到离家900米的学校去上学，到学校时发现眼镜忘在家中，于是他立即按原路步行回家，拿到眼镜后立即按原路骑自行车返回学校．已知小明步行从学校到家所用的时间比他骑自行车从家到学校所用的时间多10分钟，小明骑自行车速度是步行速度的3倍．
求小明步行速度是多少；
下午放学后，小明骑自行车回到家，然后步行去图书馆，如果小明骑自行车和步行的速度不变，小明步行从家到图书馆的时间不超过骑自行车从学校到家时间的2倍，那么小明家与图书馆之间的路程最多是多少米？
【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用．
【分析】设小明步行的速度是x米/分，根据题意可得等量关系：
小明步行回家的时间=骑车返回时间+10分钟，根据等量关系列出方程即可；
根据中计算的速度列出不等式解答即可．
【解答】解：
设小明步行的速度是x米/分，由题意得：
，
解得：
x=60，
经检验：
x=60是原分式方程的解，
答：
小明步行的速度是60米/分；
小明家与图书馆之间的路程最多是y米，根据题意可得：
解得：
y≤240，
答：
小明家与图书馆之间的路程最多是240米．
【达标检测】
一、选择题
．4．解分式方程时，去分母后变形为
A．
B．
c．
D．
【答案】D
【解析】原方程化为：
，去分母时，两边同乘以x－1，得：
。
故选D。
．解分式方程，正确的结果是
A．x=0B．x=1c．x=2D．无解
【考点】解分式方程．
【专题】计算题；分式方程及应用．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：
去分母得：
1+x﹣1=0，
解得：
x=0，
故选A
关于x的分式方程=3的解是正数，则字母的取值范围是
A．＞3B．＞﹣3c．＞﹣3D．＜﹣3
【考点】分式方程的解．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程解为正数确定出的范围即可．
【解答】解：
分式方程去分母得：
2x﹣=3x+3，
解得：
x=﹣﹣3，
由分式方程的解为正数，得到﹣﹣3＞0，且﹣﹣3≠﹣1，
解得：
＜﹣3，
故选D
．分式方程的解为：
A、1
B、2
c、
D、0
【答案】A
【解析】根据分式方程的解法：
去分母，得2-3x=x-2，移项后解得x=1，检验x=1是原分式方程的根.答案为A
八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍．设骑车学生的速度为x千米/小时，则所列方程正确的是
A．﹣=20B．﹣=20c．﹣=D．﹣=
【考点】由实际问题抽象出分式方程．
【分析】根据八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，可以列出相应的方程，从而可以得到哪个选项是正确的．
【解答】解：
由题意可得，
﹣=，
故选c．
．甲、乙两人同时分别从A，B两地沿同一条公路骑自行车到c地，已知A，c两地间的距离为110千米，B，c两地间的距离为100千米，甲骑自行车的平均速度比乙快2千米/时，结果两人同时到达c地，求两人的平均速度分别为多少．为解决此问题，设乙骑自行车的平均速度为x千米/时，由题意列出方程，其中正确的是
A．＝B．＝c．＝D．＝
【解析】依题意可知甲骑自行车的平均速度为千米/时．因为他们同时到达c地，即甲行驶110千米所需的时间与乙行驶100千米所需时间相等，所以＝．
故选A．
．若关于x的分式方程=2﹣的解为正数，则满足条件的正整数的值为
A．1，2，3B．1，2c．1，3D．2，3
【分析】根据等式的性质，可得整式方程，根据解整式方程，可得答案．
【解答】解：
等式的两边都乘以，得
x=2+，
解得x=4﹣，
x=4﹣≠2，
由关于x的分式方程=2﹣的解为正数，得
=1，=3，
故选：
c．
若关于x的方程+=3的解为正数，则的取值范围是
A．＜B．＜且≠c．＞﹣D．＞﹣且≠﹣
【分析】直接解分式方程，再利用解为正数列不等式，解不等式得出x的取值范围，进而得出答案．
【解答】解：
去分母得：
x+﹣3=3x﹣9，
整理得：
2x=﹣2+9，
解得：
x=，
∵关于x的方程+=3的解为正数，
∴﹣2+9＞0，
级的：
＜，
当x=3时，x==3，
解得：
=，
故的取值范围是：
＜且≠．
故选：
B．
．关于的方程：
的解是，，解是，，则的解是
A.，B.，
c.，D.，
【答案】c．
【解析】
试题分析：
由题意得：
变形为x﹣1+=c﹣1+，
∴x﹣1=c﹣1或x﹣1=，
解得x1=c，x2=．
故选c．
二、填空题
0.分式方程=1的解是．
【答案】x=﹣1.5．
【解析】
试题分析：
去分母得：
x﹣1=x2﹣4，
整理得：
x2+2x﹣1=x2﹣4，
移项合并得：
2x=﹣3
解得：
x=﹣1.5，
经检验x=﹣1.5是分式方程的解．
故答案是x=﹣1.5．
1．已知A，B两地相距160，一辆汽车从A地到B地的速度比原来提高了25%，结果比原来提前0.4h到达，这辆汽车原来的速度是 80 /h．
【考点】分式方程的应用．
【分析】设这辆汽车原来的速度是x/h，由题意列出分式方程，解方程求出x的值即可．
【解答】解：
设这辆汽车原来的速度是x/h，由题意列方程得：
解得：
x=80
经检验，x=80是原方程的解，
所以这辆汽车原来的速度是80/h．
故答案为：
80．
方程=1的根是x= ﹣2 ．
【考点】分式方程的解．
【分析】把分式方程转化成整式方程，求出整式方程的解，再代入x﹣3进行检验即可．
【解答】解：
两边都乘以x﹣3，得：
2x﹣1=x﹣3，
解得：
x=﹣2，
检验：
当x=﹣2时，x﹣3=﹣5≠0，
故方程的解为x=﹣2，
故答案为：
﹣2．
3．若关于x的方程无解，则=________.
【答案】1或.
【解析】
试题分析：
分式方程去分母转化为整式方程，根据分式方程无解得到x-4=0，求出x的值代入整式方程即可求出的值．
试题解析：
去分母得：
x-2=3+，整理得：
x=5-4
若1-=0，即=1，方程无解；
若1-≠0，即≠1时，根据题意：
x-4=0，即x=4，
将x=4代入整式方程得：
=.
综上，的值为1或.
考点：
分式方程的解．
．分式方程﹣=0的根是 x=﹣1 ．
【考点】分式方程的解．
【分析】把分式方程转化成整式方程，求出整式方程的解，再代入x进行检验即可．
【解答】解：
方程两边都乘以最简公分母x得：
4x﹣=0，
解得：
x=﹣1，
经检验：
x=﹣1是原分式方程的解，
故答案为：
x=﹣1．
．已知关于x的分式方程+=1的解为负数，则的取值范围是 ＞﹣且≠0 ．
【分析】先去分母得到整式方程x=﹣1，再由整式方程的解为负数得到2+1＞0，由整式方程的解不能使分式方程的分母为0得到x≠±1，即2+1≠1且2+1≠﹣1，然后求出几个不等式的公共部分得到的取值范围．
【解答】解：
去分母得+=，
整理得x=﹣1，
因为方程+=1的解为负数，
所以2+1＞0且x≠±1，
即2+1≠1且2+1≠﹣1，
解得＞﹣且≠0，
即的取值范围为＞﹣且≠0．
故答案为＞﹣且≠0．
三、解答题
．某中学组织学生去福利院慰问，在准备礼品时发现，购买1个甲礼品比购买1个乙礼品多花40元，并且花费600元购买甲礼品和花费360元购买乙礼品的数量相等．
求甲、乙两种礼品的单价各为多少元？
学校准备购买甲、乙两种礼品共30个送给福利院的老人，要求购买礼品的总费用不超过XX元，那么最多可购买多少个甲礼品？
【答案】甲礼品100元，乙礼品60元；5．
【解析】
试题分析：
设购买一个乙礼品需要x元，根据题意列分式方程求解即可；
设总费用不超过XX元，可购买个甲礼品，则购买乙礼品个，根据题意列不等式求解即可．
试题解析：
设购买一个乙礼品需要x元，根据题意得：
，解得：
x=60，经检验x=60是原方程的根，∴x+40=100．
答：
甲礼品100元，乙礼品60元；
设总费用不超过XX元，可购买个甲礼品，则购买乙礼品个，根据题意得：
100+60≤XX，解得：
≤5．
答：
最多可购买5个甲礼品．
．某校学生利用双休时间去距学校10的炎帝故里参观，一部分学生骑自行车先走，过了20in后，其余学生乘汽车沿相同路线出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度和汽车的速度．
【考点】分式方程的应用．
【分析】求速度，路程已知，根据时间来列等量关系．关键描述语为：
“一部分学生骑自行车先走，过了20in后，其余学生乘汽车沿相同路线出发，结果他们同时到达”，根据等量关系列出方程．
【解答】解：
设骑车学生的速度为x千米/小时，汽车的速度为2x千米/小时，
可得：
，
解得：
x=15，
经检验x=15是原方程的解，
x=2×15=30，
答：
骑车学生的速度和汽车的速度分别是每小时15，30．
．某商场购进甲、乙两种商品，乙商品的单价是甲商品单价的2倍，购买240元甲商品的数量比购买300元乙商品的数量多15件，求两种商品单价各为多少元？
【分析】设甲商品的单价为x元，乙商品的单价为2x元，根据购买240元甲商品的数量比购买300元乙商品的数量多15件列出方程，求出方程的解即可得到结果．
【解答】解：
设甲商品的单价为x元，乙商品的单价为2x元，
根据题意，得﹣=15，
解这个方程，得x=6，
经检验，x=6是所列方程的根，
∴2x=2×6=12，
答：
甲、乙两种商品的单价分别为6元、12元．
．马小虎的家距离学校1800米，一天马小虎从家去上学，出发10分钟后，爸爸发现他的数学课本忘记拿了，立即带上课本去追他，在距离学校200米的地方追上了他，已知爸爸的速度是马小虎速度的2倍，求马小虎的速度．
【答案】80米/分．
【解析】
试题分析：
方程的应用解题关键是设出未知数，找出等量关系，列出方程求解.本题设马小虎的速度为x米/分，则爸爸的速度是2x米/分，依据等量关系：
马小虎走600米的时间=爸爸走1600米的时间+10分钟．
试题解析：
解：
设马小虎的速度为x米/分，则爸爸的速度是2x米/分，依题意得
解得x=80．
经检验，x=80是原方程的根．
答：
马小虎的速度是80米/分．
0．XX年“母亲节”前夕，宜宾某花店用4000元购进若干束花，很快售完，接着又用4500元购进第二批花，已
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