人教A版数学必修1 模块复习课.docx
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人教A版数学必修1模块复习课
一、集合与函数概念
1．集合与元素
（1）集合中元素的三个特征：
确定性、互异性、无序性．
（2）元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或
表示．
（3）集合的表示法：
列举法、描述法、图示法．
（4）常见数集的记法
集合
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N＋（或N*）
Z
Q
R
2.集合间的基本关系
（1）子集：
若集合A中任意一个元素都是集合B的元素，则A⊆B（或B⊇A）；
（2）真子集：
若集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中，则A
B（或B
A）；
（3）相等：
若集合A，B中元素相同或集合A，B互为子集，则A＝B.
（4）子集的性质
①若集合A中含有n个元素，则有2n个子集，有2n－1个非空子集，有2n－1个真子集，有2n－2个非空真子集．
②子集关系的传递性，即A⊆B，B⊆C⇒A⊆C.
③空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
④A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B.
3．集合的基本运算
（1）并集：
A∪B＝{x|x∈A或x∈B}；
（2）交集：
A∩B＝{x|x∈A且x∈B}；
（3）补集：
UA＝{x|x∈U且x
A}．
4．函数与映射的概念
函数
映射
两集合A，B
设A，B是两个非空的数集
设A，B是两个非空的集合
对应关系f：
A→B
如果按某一个确定的对应关系f使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应
如果按某一个确定的对应关系f使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y和它对应
名称
那么就称f：
A→B为从集合A到集合B的一个函数
那么就称f：
A→B为从集合A到集合B的一个映射
记法
y＝f（x），x∈A
f：
A→B
（1）函数的三要素：
对应法则f、定义域A、值域{f（x）|x∈A}称为函数的三要素．
（2）相等函数：
如果两个函数的定义域和对应法则分别相同，我们就说这两个函数是同一函数．
5．函数的单调性
单调性的定义：
对于函数f（x）的定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，
（1）若当x1（2）若当x1f（x2），则说f（x）在区间D上是减函数．
6．函数的奇偶性
（1）f（x）是奇函数⇔对定义域内任意x，都有f（－x）＝－f（x）⇔对定义域内任意x，都有f（－x）＋f（x）＝0⇔f（x）图象关于原点对称；
（2）f（x）是偶函数⇔对定义域内任意x，都有f（－x）＝f（x）⇔对定义域内任意x，都有f（－x）－f（x）＝0⇔f（x）图象关于y轴对称．
二、基本初等函数（Ⅰ）
1．分数指数幂
（1）a
＝
（a>0，m，n∈N*，且n>1）；
（2）a－
＝
（a>0，m，n∈N*，且n>1）．
2．根式的性质
（1）（
）n＝a；
（2）当n为奇数时，
＝a；
当n为偶数时，
＝|a|＝
3．有理指数幂的运算性质
（1）ar·as＝ar＋s（a>0，r，s∈Q）；
（2）（ar）s＝ars（a>0，r，s∈Q）；
（3）（ab）r＝arbr（a>0，b>0，r∈Q）．
4．指数式与对数式的互化
logaN＝b⇔ab＝N（a>0，a≠1，N>0）．
5．对数的四则运算法则
若a>0，a≠1，M>0，N>0，则
（1）loga（MN）＝logaM＋logaN；
（2）loga
＝logaM－logaN；
（3）logaMn＝nlogaM（n∈R）．
6．对数的换底公式及推论
（1）换底公式：
logab＝
（a>0，a≠1，c>0，c≠1，b>0）．
（2）常用推论：
①logab·logba＝1；
②logab·logbc·logca＝1；
③logambn＝
logab（a>0，a≠1，b>0）．
7．对数恒等式：
alogaM＝M，logaax＝x.
8．幂、指数、对数函数的图象及性质
（1）指数函数的图象和性质
a>1
0图象
定义域
R
值域
（0，＋∞）
定点
过点（0，1），即x＝0时，y＝1
单调性
是R上的增函数
是R上的减函数
（2）对数函数的图象和性质
a>1
0图象
性质
定义域：
（0，＋∞）
值域：
R
过点（1，0），即当x＝1时，y＝0
x∈（0，1）时，y<0；
x∈（1，＋∞）时，y>0
x∈（0，1）时，y>0；
x∈（1，＋∞）时，y<0
在（0，＋∞）上是增函数
在（0，＋∞）上是减函数
（3）五个常见幂函数的图象：
三、函数与方程
1．函数的零点
（1）概念：
函数f（x）的零点是使f（x）＝0的实数x.
（2）函数的零点与函数的图象与x轴的交点、对应方程的根的关系：
（3）函数零点的判断
①若函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且f（a）·f（b）<0，则函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c∈（a，b），使得f（c）＝0，这个c也就是方程f（x）＝0的根．
2．二分法
（1）概念：
对于区间[a，b]上连续的，且f（a）·f（b）<0的函数y＝f（x），通过不断地把函数f（x）的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，从而得到零点近似值的方法，叫做二分法．
（2）用二分法求函数零点的近似值
第一步：
确定区间[a，b]，验证：
f（a）·f（b）<0，给定精确度；
第二步：
求区间[a，b]的中点x1；
第三步：
计算f（x1）；若f（x1）＝0，则x1就是函数零点；若f（a）·f（x1）<0，则令b＝x1；若f（x1）·f（b）<0，则令a＝x1；
第四步：
判断是否达到精确度ε，即若|a－b|<ε，则得到零点近似值a（或b），否则重复第二、三、四步．
3．函数模型的应用
（1）三种常见函数模型的增长差异
函数
性质
y＝ax（a>1）
y＝logax（a>1）
y＝xn（n>0）
在（0，＋∞）上的增减性
增函数
增函数
增函数
图象的变化
随x的增大逐渐变“陡”
随x的增大逐渐趋于稳定
随n值而不同
增长速度
ax的增长快于xn的增长，xn的增长快于logax的增长
增长后果
总会存在一个x0，当x>x0时，就有ax>xn>logax
（2）函数模型的选取及数据拟合的一般步骤
1．任何一个集合都至少有两个子集．（×）
[提示] 空集只有一个子集．
2．{x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{（x，y）|y＝x2＋1}．（×）
[提示] 结合集合的描述法可知{x|y＝x2＋1}为函数y＝x2＋1的定义域；{y|y＝x2＋1}为函数y＝x2＋1的值域；{（x，y）|y＝x2＋1}为函数y＝x2＋1上的点集，故不正确．
3．若{x2，1}＝{0，1}，则x＝0，1.（×）
[提示] {x2，1}＝{0，1}，则x＝0.
4．{x|x≤1}＝{t|t≤1}．（√）
5．对于任意两个集合A，B，关系（A∩B）⊆（A∪B）恒成立．
（√）
6．若A∩B＝A∩C，则B＝C.（×）
[提示] B，C未必相等．
7．若定义在R上的函数f（x），有f（－1）[提示] 不能用特殊值判断函数的单调性．
8．函数y＝f（x）在[1，＋∞）上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞）．（×）
[提示] [1，＋∞）为函数的单调递增区间的子集．
9．函数y＝
的单调递减区间是（－∞，0）∪（0，＋∞）．（×）
[提示] 单调区间不能用“∪”连接．
10．闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点取到．（√）
11．偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．
（×）
[提示] 函数未必在原点处有定义．
12．若函数y＝f（x＋a）是偶函数，则函数y＝f（x）关于直线x＝a对称．（√）
13．如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．（√）
14．二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈R不可能是偶函数．（×）
[提示] b＝0时，二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈R是偶函数．
15.
＝（
）n＝a（n∈N＋）．（×）
[提示] 注意n的奇偶性．
16．若am0，且a≠1），则m[提示] 当a>1时，命题成立．
17．函数y＝2－x在R上为单调减函数．（√）
18．若MN>0，则loga（MN）＝logaM＋logaN.（×）
[提示] MN>0未必M>0，N>0.
19．对数函数y＝logax（a>0且a≠1）在（0，＋∞）上是增函数．（×）
[提示] a>1时，上述命题成立．
20．函数y＝ln
与y＝ln（1＋x）－ln（1－x）的定义域相同．
（√）
21．对数函数y＝logax（a>0且a≠1）的图象过定点（1，0）且过点（a，1），
，函数图象只在第一、四象限．（√）
22．函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．（×）
[提示] 函数的零点就是函数的图象与x轴的交点的横坐标．
23．函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点（函数图象连续不断），则f（a）·f（b）<0.
（×）
24．二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）在b2－4ac<0时没有零点．
（√）
25．f（x）＝x2，g（x）＝2x，h（x）＝log2x，当x∈（4，＋∞）时，恒有h（x）26．某种商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利．（×）
[提示] 降价后：
价格为100（1＋10%）×90%＝99，比较两者间的关系，易知亏损．
27．函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大．（×）
[提示] 未必，如当x＝2时，函数y＝2x与y＝x2函数值相等．
28．不存在x0，使ax0[提示] 存在，结合函数图象可知．
29．在（0，＋∞）上，随着x的增大，y＝ax（a>1）的增长速度会超过并远远大于y＝xa（a>0）的增长速度．（√）
30．“指数爆炸”是指数型函数y＝a·bx＋c（a≠0，b>0，b≠1）增长速度越来越快的形象比喻．（×）
[提示] a>0，b>1.
1．（2018·全国卷Ⅱ）已知集合A＝{（x，y）|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为（ ）
A．9 B．8
C．5D．4
A [由x2＋y2≤3知，－
≤x≤
，－
≤y≤
.又x∈Z，y∈Z，所以x∈{－1，0，1}，y∈{－1，0，1}，所以A中元素的个数为9，故选A.]
2．（2017·全国卷Ⅰ）已知集合A＝{x|x<2}，B＝{x|3－2x>0}，则（ ）
A．A∩B＝
B．A∩B＝
C．A∪B＝
D．A∪B＝R
A [因为B＝{x|3－2x＞0}＝
，A＝{x|x＜2}，所以A∩B＝
，A∪B＝{x|x＜2}．故选A.]
3．（2018·全国卷Ⅲ）下列函数中，其图象与函数y＝lnx的图象关于直线x＝1对称的是（ ）
A．y＝ln（1－x）B．y＝ln（2－x）
C．y＝ln（1＋x）D．y＝ln（2＋x）
B [法一：
设所求函数图象上任一点的坐标为（x，y），则其关于直线x
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