计算导数导数四则运算教案.docx
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计算导数导数四则运算教案
§3计算导数
教学目标：
1.知识与技能：
能够根据导数的定义求简单函数的导数，掌握计算一般函数y=f（x）在x0处的导数的（算法）步骤；理解导函数的概念，记忆导数公式表中所给的8个函数的导数公式，并能用它们求简单函数的导数。
2.过程与方法：
经历计算函数f（t）=2t2,f（x）=x+在给定点的导数的过程，明确算理和确定算法；梳理计算具体函数在给定点的导数的过程，抽象、概括出一般函数在所给定区间上导函数的概念；体验函数在给定点的导数与所给区间上导函数这种特殊与一般的关系，领会他们间的联系与不同，设计导函数的求解程序，即算法。
3.情感态度价值观：
获得计算一般函数的导数的步骤；感受特殊与一般的思想；在导数计算的过程中形成严谨细致、独立思考的习惯。
教学重点：
计算一般函数在某点的导数，利用导数表求简单函数的导函数。
教学难点：
导函数公式表的记忆与运用，建议在具体函数的求导过程中逐步掌握导数公式表的理解和使用。
教学过程：
一、导学探究
【知识回顾】
1.平均变化率:
设函数，当自变量从变到时，函数值从变到，函数值关于的平均变化率为=
2.导数的定义：
当x1趋于x0，即Δx趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数在点x0的瞬时变化率。
在数学上，称瞬时变化率为函数在点x0的导数，通常用符号表示，记作=
【探究新知】
阅读教材P64-67回答下列问题
1导（函）数定义：
一般地，如果一个函数在区间（a，b）上的每一点x处都有导数，导数值记为，，则是关于x的函数，称为的导函数，通常也简称为导数。
2计算函数在处的导数的步骤：
（1）通过自变量在处的Δx，确定函数在处的改变量：
；
（2）确定函数在处的平均变化率：
；
（3）当Δx趋于0时，得到导数。
3.必记公式：
（1）若（c是常数），则0
（2）若（α是常数），则
（3）若，则，特别地
（4）若，则，特别地
（5）若，则
（6）若，则
（7）若，则
（8）若，则
4.思考1：
导函数与函数在一点的导数的关系是什么？
答：
导函数是的函数，导数表示导函数在的函数值.
思考2：
求的方法有哪些？
答：
法1：
可以用定义；法2：
先求出导函数，再将代替中的
二、典题分析
题型一利用导数的定义求函数在某点处的导数
例1求函数在下列各点的导数：
（1）；
（2）；（3）。
解：
（1）∵.
∴。
∴当Δx趋于0时，
得到导数。
（2）由
（1）可知当时有：
。
（3）由
（1）可知当时有：
。
例2求的导函数，并利用导函数
求，，。
解：
∵.
∴。
∴当Δx趋于0时，得到导函数。
分别将，，代入，可得
，
，。
题型二利用导数公式求导数
例3求下列函数的导数
（1）；
（2）；（3）；
（4）
答案
（1）；
（2）；（3）；（4）
题型三导数的应用
例4求函数在点（4，2）处的切线方程
解：
因为，由导数公式表知，，根据导数的几何意义，得点（4，2）处的切线斜率为，所以函数在点（4，2）处的切线为
三、归纳小结
1.函数在点处的导数”、“导函数”、“导数”三者关系；
2．求函数在一点处的导数的方法：
法一：
用定义=
法二：
先求出函数的导函数，再计算这点的导函数值。
四.课后反思:
§4.1导数的加法与减法法则
教学目标：
1、了解两个函数的和、差的求导公式；2、会运用上述公式，求含有和、差综合运算的函数的导数；3、能运用导数的几何意义，求过曲线上一点的切线。
教学重点：
函数和、差导数公式的应用。
教学难点：
函数和、差导数公式的应用
一、导学探究
【知识回顾】
1．计算函数在处的导数的步骤：
（1）通过自变量在处的Δx，确定函数在处的改变量：
；
（2）确定函数在处的平均变化率：
；
（3）当Δx趋于0时，得到导数。
2．导数公式表
函数
导函数
函数
导函数
（是常数）
（是实数）
（）
（）
【探究新知】
1两个函数和（差）的导数等于这两个函数导数的和（差）即
，
2请试着推导两个函数和、差的导数公式
证明：
同理
二、典例分析
题型一利用两个函数和（差）的求导法则求函数的导数
例1求下列函数的导数
（1）；
（2）；（3）
答案
（1）；
（2）；（3）
题型二导数的应用——求与曲线切线有关的问题
例2求曲线在点（1，-1）的切线方程
解：
函数是函数与的差，由导数公式表分别得出
，，根据函数差的求导法则得
将代入导出函数得
即曲线上点（1,-1）处的切线斜率为1，从而切线方程为，即。
例3已知曲线方程，求过点B（3,5）且与曲线相切的直线方程。
解显然点B（3,5）不在曲线上，所以设切点Ｐ的坐标为
因为，所以，所以切线的斜率，则切线方程为
把点B（3,5）代人，则，即，解得或，所以切点坐标为（1，1）或（5，25），所以所求切线方程为或，即或
例4已知抛物线过点P（1，1），且在点Q（2，-1）处与直线相切，求实数a,b,c的值。
解：
因为曲线过点P（1，1），所以①
因为，所以y在x=2处导数为4a+b,则由已知4a+b=1②
因为曲线过点Q（2，-1），所以4a+2b+c=-1③
由①②③解得a=3,b=-11,c=9
三、归纳小结
四.课后反思:
§4.2导数的乘法与除法法则
教学目标：
1、了解两个函数的和、差、积、商的求导公式；
2、会运用上述公式，求含有和、差、积、商综合运算的函数的导数；
3、能运用导数的几何意义，求过曲线上一点的切线.
教学重点：
函数积、商导数公式的应用.
教学难点：
函数积、商导数公式的应用.
一、导学探究
【知识回顾】
导数的加法与减法法则
【探究新知】
1.函数积的求导公式
若两个函数，的导数分别是，，则
=
特别地，当（为常数）时，有=
2.函数商的求导公式
若两个函数，的导数分别是，，则
=
特别地，=
问题：
吗？
吗？
解析：
令说明。
二、典例分析
例1求下列函数的导数
（1）；
（2）；（3）
解：
例2求下列函数的导数
（1）.;
（2）
解：
（2）
例3求下列函数的导数.
（1）.;
（2）
答案：
（1）
（2）
例4求曲线在点（1,0）处的切线方程。
分析：
求切线方程的方法：
找切点，求导数得斜率，点斜式写方程
答案：
例5已知函数的图像在点M（-1，）处的切线方程为，求函数解析式。
解：
由函数的图像在点M（-1，）处的切线方程为
知=0，即，由切点为M点得
，
解得或（由舍去）
所以，
三、归纳小结
1．导数的运算法则：
（轮流求导之和）
（C为常数）
（上导乘下,下导乘上,差比下方）
2.如何用导数的四则运算法则和导数公式求导？
（1）分析函数的结构特征，有时需先化简；
（2）选择恰当的求导法则和导数求导公式；
（3）整理得结果。
四、课后反思
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