A．（－
，
）B．[0，
）∪（
，π）
C．（0，
）∪（
，
）D．[0，
）∪（
，π]
（2）直线l的斜率为k，倾斜角为α，若
＜α＜
，则k的取值范围是（ ）
A．[－1,1）B．（－∞，－1）∪（1，＋∞）
C．（－∞，－1]∪[1，＋∞）D．[－1,1]
（3）已知直线l的斜率A＝－2k＝－2，A（－1,1）为l上的一定点，P（x，y）为l上的一动点，则y关于x的函数关系式是______________．
设计意图：
设计选做题的目的是注意分层教学和因材施教，为学有余力的学生提供思考与训练的空间．
问题研讨
1．新课程教学中如何把所学知识应用到生活实际中的应用意识的培养？
2．探究式学习方法在目前的新课标下，如何在实际的课堂教学中使学生真正有所收益？
怎么避免基础差的学生探究行为进展停顿的现象？
3．“两直线的倾斜角相等，它们的斜率也相等”这个辨析题是否有价值？
教学设计
（二）
作者：
屠新跃，嘉兴市焉州中学教师，本教学设计获浙江省教学设计大赛三等奖
设计思想
本课教学的指导思想是：
让学生亲身体验直线的倾斜角与斜率这两个数学概念形成的“心路历程”，即它们是怎么样定义出来的．
因为数学课程要讲逻辑推理，更要讲道理，要通过典型例子的分析和学生的自主探索活动，促使学生理解数学概念、结论逐步形成的过程，从而体会蕴涵在其中的数学思想方法．
因此，本课设计上以“引入—探究—归纳”模式作为教学特色．
教材分析
本节课的教学内容为：
人教A版必修2第三章《直线与方程》的第一课时——3.1.1倾斜角与斜率．
《课程标准》指出：
①在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素；②理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式．《学科教学指导意见》与此相同，不过另外提出了发展要求：
能用三角函数描述斜率．
第三章《直线与方程》是平面解析几何初步的开篇教学内容，主要是用坐标法研究平面上最简单的曲线——直线．它的第一节内容是§3.1直线的倾斜角与斜率，这一节教学分两个课时：
第一课时就是3.1.1倾斜角与斜率，第二课时是3.1.2两条直线平行与垂直的判定．
作为高中阶段教学中的重点模块——解析几何的首章首节的第一课时，它起着“承上启下”的重要作用．“承上”是因为学生在初中已学过直线（一次函数）的内容，对直线已有了一定的感性认识和知识基础；“启下”是指学生还没有真正系统的接受过解析几何研究问题的方法，即用代数的方法研究几何图形的性质，这是数形结合的数学思想．
通过本课时教学，学习和掌握好直线的倾斜角与斜率，不仅可以为研究直线方程、两直线的位置关系、点到直线的距离等本章的后续内容打下基础，而且对初步感受和体验解析几何的主要方法——坐标法，可以起到领进门的“带头”的作用，为以后进一步深入学习奠定了思想和方法的基础．
“良好的开端是成功的一半”．能否学好本节“开堂”课，必将关系到学生对解析几何知识学习的未来，例如这节课中的直线斜率不存在的问题，在直线与圆、直线与圆锥曲线的问题解决中，仍是一个难点，这节课中没有真正理解的话，很可能成为教学中“永远的痛”．因此，从某种意义上讲，本节课甚至决定着解析几何教学的成败也不为过．
学情分析
学生原有的知识基础：
初中已学的一次函数（直线）的认识，让学生对直线倾斜角具有直接的认同感；三角函数和向量作为工具，用于倾斜角的大小、向量的平移的研究，为解决斜率的引入和代数表示两点斜率公式的推导，提供了知识上的支持；向量的运用也更好地解决了斜率与直线上两点位置是否相关的问题．
1．直线的倾斜角由画正方形的对角线来引入，从学生已有的知识出发，在问题解决中由感性向理性思考．
2．直线的倾斜角概念及范围：
用“最简”的思想去确定，通过尝试、比较后决定，而不是硬性地规定，使学生感受到数学是自然的，不是强加给他们的；数学的概念不是靠死记硬背，在经历概念形成的过程中达到掌握和理解概念．
3．以过原点的直线为“支点”，推广到其他情形，这样从简单到复杂、从特殊到一般的教学更易为学生接受和理解．
4．同样先讨论过原点直线的斜率，再推广到一般，结合已学的向量平行的几何意义，就能顺利推导过两点直线的斜率公式．
5．对倾斜角为90°的直线斜率，可利用正切的定义或函数的定义域加以判断，tanα当然不存在．
6．为什么用正切表示直线的斜率？
教材和教师用书上都是用“坡度”这个平面几何的量去引入斜率．那么，为什么不用sinα、cosα呢？
考虑到已经学过三角函数的内容，因此对这三个函数进行选择，从定义和图象性质两方面入手比较，过程更具挑战性，这样的安排更加合理些．
教学目标
（一）知识与技能目标
1．理解和掌握直线倾斜角的概念与它的范围．
2．理解和掌握直线斜率的概念和倾斜角与斜率的关系．
3．掌握过两点的直线的斜率公式并能用于计算．
为学生以后的学习打好扎实的基础，特别要明确当倾斜角为直角时，直线没有斜率．
（二）过程与方法目标
1．经历倾斜角与斜率的形成过程，感受分类讨论的思想
2．经历用代数的方法刻画直线斜率的过程，感受解析几何的基本方法
3．初步体验“坐标法”，感受数形结合的思想
解析几何的主要特点是“算”，即“以数助形”．通过对倾斜角与斜率的“量化”，引领学生开启“由常量数学进入变量数学”的大门．
（三）情感、态度与价值观目标
1．在探索确定直线几何要素的过程中，培养学生运用数学语言表达、交流合作的能力．
2．对概念形成的探索，增强学生观察发现、归纳抽象的数学思维能力．
3．对定义的合理性的分析，提高学生理性思维的能力．
学生的学习过程应当成为教师引导下的“再创造”过程，在不断思考、自我反思过程中理解和掌握概念，才能正确运用所学知识．
重点难点
（一）教学重点
直线的倾斜角与斜率的概念；用代数的方法刻画直线斜率的过程；直线斜率的计算公式．
（二）教学难点
直线的倾斜角与斜率的关系；直线斜率公式的推导．
（三）教学策略与手段
教学过程中，在教师的引导和组织下，鼓励学生自主探索与合作交流，通过教师创设适当的问题情境，使学生发现数学的规律和问题解决的途径，让他们经历知识形成的过程．
课前准备
（一）学生的学习准备
1．在一个直角坐标系中画直线：
y＝x，y＝x－1，y＝2，x＝－3.
2．复习必修4中的《平面向量》．
（二）教师的教学准备
制作多媒体课件，事先拷贝到教室电脑上并预演、试验．
（三）教学环境的设计与布置
课前打开教室的电脑和投影仪．
（四）教学用具的设计和准备
使用几何画板演示，过一点可以有无数条不同的直线，而每条直线对应有唯一的倾斜角，加强了几何直观，由此在感性的基础上引导学生进行理性思考；利用平移的动画演示，还可以让学生体验对概念和公式从特殊到一般的推广过程；小结和作业等的幻灯片的使用，提高了课堂教学的效率．
教学过程
（一）直线倾斜角
1．引入：
过平面上一点A能画几条直线？
两点呢？
画边长为3cm的正方形的一条对角线所在直线AC，像黑板上边长为30cm的正方形，你能用自己的工具来画直线AC吗？
利用∠CAB＝45°来确定直线AC，说明过一点和一个“角”也能确定一条直线，这个角是直线AC与定直线AB（或AD）所成的角．
放到直角坐标系中，若以A为原点，讨论：
现在，定直线有x轴或y轴，怎样选择？
方向是正向还是负向？
选与x轴正向所成的角，更符合“视觉”习惯吧．
直线AC的方程就是y＝x，与x轴正向成的角表示为
＋2kπ或
＋2kπ（k∈Z），两种角的终边在同一直线上，方向向上还是向下？
选前者；正角还是负角？
最后确定为直线方向向上与x轴正半轴所成的[0，π）内的角．
2．探究：
由动画演示过原点的直线与[0，π）内的角有一一对应的关系，若与直线x轴重合时，可看作为0.对过原点的直线，只要这个“角”确定，那么直线也确定，反之也是；这个“角”反映出对应直线的倾斜程度，称之为“倾斜角”．那么，不经过原点的其他直线的倾斜角在哪里？
利用“两直线平行，同位角相等”就能说明．
3．归纳：
一般地，给出直线倾斜角的定义（略），说出倾斜角α的范围是[0，π），如下进行分类．
图5
（二）直线的斜率
1．引入：
如果已知直线的方程是y＝x，怎样确定它的倾斜角？
y＝
x，y＝2x呢？
在每条直线上取一个特殊点，然后利用坐标来研究．
2．探究：
对三条特殊的直线，由两个思维层次去考查：
一方面从三角函数的定义sinα＝
、cosα＝
与tanα＝
来思考；另一方面从三种函数在[0，π）上的图象去研究．
（1）此时sinα∈[0,1]，但在[0，π）上不单调，因为x∈（0，π）时，图象关于x＝
对称，若sinα＝
，α＝45°还是135°？
所以sinα的值不能唯一确定α的大小；另外，当直线在第一、第三象限分别取点，却有sinα>0与sinα<0，正弦值不能与α建立一一对应关系．
（2）y＝cosx虽然在[0，π）上单调但递减；当直线在第一、第三象限取点分别有cosα>0和cosα<0，余弦值也不能与α建立一一对应关系．
说明：
一般地，α的正弦值和余弦值都不能唯一确定α的大小．
（3）tanα在第一、三象限都取正数，且y＝tanx在（0，
）和（
，π）分别递增．比较这三种情况，可以得出用tanα能够确定倾斜角α的大小，且一一对应．具体地说：
当α∈（0，
）时，tanα>0且随α的增大而增大；当α∈（
，π）时，tanα<0且随α的增大而增大；当α＝90°时，tanα不存在．说明tanα也能反映直线的倾斜程度，称之为直线的“斜率”．
3．归纳：
若要求y＝kx的斜率呢？
类似地有tanα＝
.发现：
斜率tanα原来就是这个系数k，所以常用k来表示直线的斜率．推广到一般，其他直线看作平移而得到，于是有斜率的定义：
当倾斜角α≠90°时，斜率就是k＝tanα；当α＝90°时，直线没有斜率．对应上面
（一）3中的四个图形有：
（1）α＝0°⇔k＝0；
（2）0<α<90°⇔k>0；（3）α＝90°⇔k不存在；（4）90°<α<180°⇔k<0.
说明：
斜率是另一个能表示直线倾斜程度的量；过一定点和已知直线斜率能确定一条直线．
（三）过两点的直线斜率公式
1．引入：
过两点能确定一条直线，如直线l过两点P1（－2，－1）、P2（2,3），那么这条直线的斜率怎么求呢？
借用上面的方法，过原点l作平行线l′，由
＝（4,4），根据向量平行的几何意义，设
＝
，则点P（4,4）在l′上，k′＝
＝1＝tanα，则l′的斜率为1，倾斜角为45°，所以l的斜率也是1，倾斜角为45°.
2．探究：
一般地，已知直线l上两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）（x1≠x2），则
＝（x2－x1，y2－y1），平移向量使
＝
，则有P（x2－x1，y2－y1），那么k＝tanα＝
.讨论：
图6
（1）如果交换P1与P2的位置，同样有k＝tanα＝
＝
.
（2）若l上另取两点P3（x3，y3），P4（x4，y4）（x3≠x4），由于
与
共线，有
＝λ
＝λ（x2－x1，y2－y1），得P（λ（x2－x1），λ（y2－y1）），tanα＝
＝
.
说明：
直线l的斜率与l上两点的位置无关．
归纳：
于是得出直线斜率的计算公式．直线上有两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），则这条直线的斜率k＝
，这个公式有什么限制条件？
（x1≠x2.因为当x1＝x2时，分母等于零，没有意义，此时对应的倾斜角是直角，斜率k不存在．）
知识凡固
1．例题选讲：
课本本节例1、例2；
2．课堂练习：
课本本节练习1、2、3、4.
反思小结
1．直线倾斜角和斜率这两个量，分别从“形”和“数”两方面描述了直线的倾斜程度．
2．直线倾斜角α的定义和范围；并指出：
“任何直线都有倾斜角，但不都有斜率”．
3．斜率k＝tanα与k＝
这两个公式的条件分别是：
α≠
和x1≠x2，究其本质是相同的．
4．思考题：
（1）仅已知直线的倾斜角，能确定一条直线吗？
这些直线有什么关系吗？
（2）仅已知直线的斜率，能确定一条直线吗？
这些直线有什么关系吗？
板书设计
作业设计
1．设一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象是直线l，则l倾斜角的取值范围是…（ ）
A．（0，
）B．[0，π）C．（0，π）D．（0，
）∪（
，π）
2．直线x＝k（k∈R）的倾斜角α（ ）
A．不存在B．是0
C．是直角D．由k＝tanα而确定
3．直线x＝
y的斜率是（ ）
A.
B.
C.
D.
4．斜率为－
的直线倾斜角的大小是（ ）
A．60°B．120°C．30°D．150°
5．直线l过两点A（1,1）、B（2,0），则l的倾斜角α＝__________.
6．某山地斜坡与水平面成75°角，那么这个斜坡的坡度等于__________．
7．若直线l的倾斜角为150°，且过点P（
，－2），则l在y轴上的截距是________．
8．设直线l的斜率为k，且已知：
关于x的一元二次不等式x2－2kx＋1<0的解集为空集，求直线l倾斜角α的范围．
参考答案
1．D 2.C 3.C 4.B 5.135° 6.2＋
7.－1 8.[0，
]∪[
，π）．
问题研讨
1．在这里，数学的概念或定义通过这样的“探究”来进行教学，是否应更多运用？
2．不使用“坡度”导入斜率，是否恰当，实际的效果相对又会如何？
教学设计（三）
作者：
张林华、陈金海，嘉兴市第四高级中学教师，本教学设计获浙江省教学设计大赛二等奖
设计思想
指导思想：
教学设计应该根据教学内容特点，结合学生实际情况，适应学生自主性的要求，指向开发学生的智慧，提升学生综合素质．因此，教学设计应充分提
升级会员 