免费自行车网点设计.docx
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免费自行车网点设计
2013河南科技大学第十届大学生数学建模竞赛
承诺书
我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从题目编号中选择一项填写）：
C
题目：
参赛队员：
2013高教社杯全国大学生数学建模竞赛
编 号 专 用 页
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：
全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：
全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）
C题免费自行车交通系统服务网点布局规划
摘要
本文通过建立数学模型来求解免费自行车交通系统服务网点布局规划的问题。
我们的解题思路是：
首先我们了解到对各个网点的自行车的需求有这大致的四个方面：
人口密度、网点的相互距离、自行车的人均占有率以及人口流量。
接着我们就按照此为前提对于第一问建立一个评价模型，并设定评价标准来衡量现有网点与车辆分布状况，并通过计算求解以及评价模型的知识得出最佳网点与车辆分布的情形；对于第二问我们是在根据第一问得出的结果及其模型，以及第二问给出的限制条件下由各地区的人流量之比找出剩下的83个网店的位置，再根据大型社区C1，C2与其他地区的人口密度之比，以及各地区人流量之比，运用一元线性规划，求出各网点的车辆数；而最后一问我们则是根据题目要求在考虑资金的有限情况下，对于网点与车辆的建设成本一定时，要求最大程度的服务居民，我们假设以网点为中心以高500，宽500制作小网格，有第二题的方法及一元线性规划可得出各网点的车辆数，并且在这种情形下是最符合题目要求的。
本文对问题的解决原则：
根据题目的要求切合实际的建立合理的模型求解，每一步都简洁明了，有理有据。
关键字：
综合评价；MATLAB图像分析；c语言；一元线性规划；
一、问题重述
某城区推行免费公共自行车服务，已知地区基本信息如下。
（附图一）
此城区现有人口15万，地域面积约22.9平方公里（如图长4.68公里，高4.89公里），含两座小山和一个湖泊（如图）。
已知该城区规划中的地铁站有5个，预计高峰时间人流量在4000-5000人/站，其余时间1000~2000人/站。
大型社区有两个，社区CⅠ有1.4万人，社区CⅡ有2.8万人，其余地区，除山地、湖泊和河流区域外，可以认为人口是均衡分布的。
大型超市有三个，预计高峰时间人流量在3000人/座，其余时间1000人/座。
现建设网点依据有限时间内免费租赁，随处借还的原则，最大可能方便居民使用，应优先考虑交通枢纽和地点人流量，根据现实中调查可以推断：
早晨在社区周边的网点车辆数较多，下午下班时在地铁站和超市附近网点的车辆数较多。
十字路口的人流量一般较大。
网点之间的距离一般控制在300米~1000米之间。
目前该地区现有17个网点，600辆免费自行车，统计车辆数如附表一所示。
我们要解决的是以下3个问题：
1. 设定一个评价标准来衡量现有网点与车辆分布状况。
2. 在规划中要在图中增加到100个网点和3600辆车，如何决定网点位置跟每个网点的车辆数，才能使在你的评价指标下达到最优。
3. 但目前市政资金有限，只能拿出110万元左右，已知建设一个网点需5000元，投入一辆自行车的成本约300元，现希望尽可能实现主要居民区网点平均间距500米的公共交通体系，并最大程度服务居民，则需要在此地区建立多少个，如何分布网点并确定每个网点的车辆数。
二、模型假设
（1）假设该城区出了高山、湖泊以及河流区域没有人居住和2个大型社区，其他地区人口均匀分布。
（2）网点根据有限时间内免费租赁，随处借还的原则。
一次一人只借一辆，不考虑车辆的损坏和丢失以及其他不好情况。
（3）不发生交通事故等意外事件。
（4）题目所给数据真实有效。
三、符号约定
表示人口密度
P表示人口数量
S表示面积
表示任意2个网点间的距离
表示第i个网点到其它网点的最小距离
表示第i个网点到其它网点的逼进程度
表示各个网点自行车辆数
表示自行车的占有率
表示网点附近超市和地铁站高峰和其它时间段的人流量
四、问题分析
问题一：
我们根据资源有效利用的和社会效益这两点，对各个网点的设置和自行车的需求进行分析，得出了有这大致的四个方面：
人口密度、网点的相互距离、自行车的人均占有率以及人口流量。
我们便基于这建立评价模型，再跟据评价模型里有的评价指标，权重系数等有关知识进行深入的处理，进而求解出结果，但是由于在权重系数这方面主观因素还是存在的，所以结果还是会有一定的误差存在。
问题二：
我们根据题目要求是在规划中要在图中增加到100个网点和3600辆车，为了使全部的网点和所属的自行车数都有效合理，我们便结合实际情况在图上先找出有可能的网点，接着按照第一问的结果和假设的约束条件进行解答，并运用MATLAB软件作图像分析，得出了剩余83个网点的位置以及自行车辆数。
问题三：
我们根据政府的资金有限，并在此前提下解决各个网点的选择和自行车辆的安排，能在最大程度上服务居民，这实际上是要求我们在第二问的基础上对网点，自行车辆的约束条件改变和资金有限的约束条件来解决问题得出合理的结果。
五、数学模型的建立和求解
5.1问题一
由于要设定一个评价标准来衡量现有网点与车辆分布状况。
根据前面的问题分析我们知道对各个网点的自行车的需求有这大致的四个方面：
人口密度、网点的相互距离、自行车的人均占有率以及人口流量。
故要求解便要先弄清各个方面的情况。
5.1.1人口密度
根据题意所讲，简化了一些复杂的因素，不考虑在高山、湖泊以及河流区域人口的分布，除了社区C1,C2其他地区人口是分布均匀的。
这样我们便进行下面的计算。
根据人口密度公式
=P/S（
表示人口密度，P表示人口数量，S表示面积）。
接着运用MATLAB软件图像处理命令对面积进行计算，可以求出C1=965118
，C2=1045710
，C1+C2=2.0108
.故可得出这两大社区的人口密度分别是
1.4/0.965118=1.4506,
2.8/1.04571=2.6776。
剩下区域（不包括高山、湖泊以及河流）的人口密度是
（15-1.4-2.8）/（22.9-2.011-1.603）=0.5688
这便是该城区人口密度的分布情况。
5.1.2网点的相互距离
按照题目可知道，网点之间的距离一般控制在300米~1000米之间。
超出范围不再考虑，但是越近就越能更好服务居民。
结合图形以及各网点坐标找出17个网点与之距离最近的网点，由各点坐标通过c语言编程计算出最短距离。
我们定义任意两网点
和
之间的距离为
，以
表示网点
到其余网点距离的最小值，
。
同时又考虑到其他指标因素我们定义最小距离的倒数
表征网点
与到他网点的逼近程度，作为评价的一个指标，
。
这样我们取D=1000作为最小距离的较大值。
运用MATLAB制出的图形找到17个网点的坐标计算可得到如下表格的数据
网点
相互距离
网点
相互距离
1
0.0031279
10
0.008129
2
0.0031638
11
0.0176639
3
0.0214373
12
0.0083043
4
0.0163846
13
0.0091651
5
0.0163846
14
0.0078543
6
0.0055357
15
0.0091651
7
0.0078543
16
0.0045872
8
0.0081290
17
0.0214373
9
0.0176639
5.1.3自行车的人均占有率
在不考虑网点容量与成本的前提下，网点的自行车数量越多越好。
我们便以最好的能服务居民而言将服务范围划定为以半径为300m的圆形区域，故人均占有率便是该区域的人口分布问题。
因此先求该网点服务范围的面积
=3.14
=2.826
。
因为该区域可能包括了社区和其他地区共存的因素故人口数量可以由P=
S计算。
但是我们发现在不同的时间段车辆数是不同的，我们便考虑取其的平均值作为各个网点的自行车数量的值记作
这样就可以知道自行车的占有率
，如下表
网点
人均车辆
网点
人均车辆
1
0.226025
10
0.012446
2
0.016351
11
0.015557
3
0.02178
12
0.034225
4
0.012446
13
0.009334
5
0.012446
14
0.013415
6
0.012446
15
0.009334
7
0.011585
16
0.070006
8
0.012446
17
0.028003
9
0.031114
5.1.4人口流量
结合实际我们发现人口流量的分布集中在交通枢纽和超市等地点，并且呈现随时间变化的特点，以及在上下班的高峰时间，地铁站、十字路口等交通枢纽的人流量会出现激增，而超市的人流量在节假日达到峰值。
这样我们便是要结合高峰时间和其他时间的人流量加权得到一个合理的总的人流量值。
这样我们还是按照以300m为半径的圆的区域，只考查该圆形区域内超市和地铁站的数目，当有区域发生重叠时，认为人流量平均分配，以均值作为各网点的人流量值。
则网点附近的人口流量为
，（
、
分别表示网点附近超市和地铁站高峰时间和其余时间的人流量；
并令
；
分别表示网点圆形区域内超市和地铁站的数目）。
表求出如下表格：
网点
人口流量
网点
人口流量
1
3097
10
4107
2
4587
11
1607
3
1607
12
5773
4
1607
13
1607
5
1607
14
4100
6
1607
15
4107
7
5766
16
1607
8
1607
17
3273
9
1607
5.1.5评价模型的建立
我们通过对前面四个指标的分析处理，现在令
表示第
个网点第
项指标，则四个指标构成的矩阵为
。
采用
评价中向量规范化方法对各指标进行规划化处理，求得规范指标矩阵。
可以建立以人口密度、人口流量、人均占有率以及逼近度四个因素为评价指标的多目标评价准则。
并设规范化指标矩阵
，则
评价指标的权重向量为
，则各项指标加权后求和便可以得到了
，其中
。
但是不同的人对于自行车的需求是不一样的，故对自行车配置数量首先应该考虑流动人口的数量，即人口流量的大小，我们确定权重向量为
。
5.1.5综合评价结论
我们通过前面的各组数据的分析，对其四个方面的指标的值进行处理便可得到如下表格：
人口密度
人口流量
人均占有率
相互距离
综合
排序
1
0.570066
0.062854
0.226025
0.003128
0.286385
1
2
0.570066
0.093094
0.016351
0.003164
0.241531
2
3
0.121099
0.032614
0.02178
0.021437
0.06169
11
4
0.121099
0.032614
0.012446
0.016385
0.058725
13
5
0.121099
0.032614
0.012446
0.016385
0.058725
14
6
0.121099
0.032614
0.012446
0.005536
0.057369
16
7
0.308835
0.117022
0.011585
0.007854
0.148946
3
8
0.121099
0.032614
0.012446
0.008129
0.057693
15
9
0.121099
0.032614
0.031114
0.017664
0.063552
10
10
0.121099
0.083352
0.012446
0.008129
0.070377
8
11
0.121099
0.032614
0.015557
0.017664
0.059663
12
12
0.121099
0.117164
0.034225
0.008304
0.084297
5
13
0.121099
0.032614
0.009334
0.009165
0.057045
17
14
0.308835
0.08321
0.013415
0.007854
0.140951
4
15
0.121099
0.083352
0.009334
0.009165
0.069729
9
16
0.121099
0.032614
0.070006
0.004587
0.07164
7
17
0.121099
0.066426
0.028003
0.021437
0.071699
6
5.2问题二
根据题目要求我们对自行车的网点选择以及所在网点车辆数量的分配，这是一个繁琐的过程。
这不仅要求我们在实际能够提供人们最大便利的同时还要对网点的分布进行合理安排，以尽量少的网点和合理的车辆数，便能以最少的成本服务居民。
据此根据评价指标考虑到前面提到的四个方面来进行网点的增加，并要网点趋于均匀且能合理的服务居民。
为此在条件不太充足的情况我我们增加了一些约束条件进行数据的处理，从而不断的筛选网点的位置，这样就可以得到最优网点的布局。
我们运用MATLAB软件作图像分析，找到最优解，并根据实际情况，在一些选中的地点由于是建筑物的位置，我们便进行了些适当的修改，让其网点尽可能的考进地铁站、十字路口这些交通枢纽附近分布，这样变得出了增加的剩余83个网点的位置分布情况，如下图。
由第一题的模型及得到的结果，以每个网点为中心，300米为半径作圆，我们知道社区C1,C2与其他地区的人口密度之比分别为3,5。
由各个地区的人流量之比，我们得到超市附近，地铁附近，交通枢纽附近的人流量与其他地区的人流量之比分别为2,3,2。
由此模型，我们知道在人比较多的地方应增加比较多的自行车，假设其它地区的每个网点应增加的自行车辆数为x，这样我们便得到其他地方的每个网点的自行车辆数，由上述图形可找到每个区域的网点的个数，如下表所示：
地方
每个网点的自行车辆数
由图中数出的网点个数
其他地区
x
j
超市
2x
k
地铁
3x
l
社区C1
3x
m
社区C2
5x
n
交通枢纽
2x
o
交通枢纽和超市
4x
p
交通枢纽和地铁
6x
q
超市和地铁
6x
r
超市和社区C1
6x
s
超市和社区C2
10x
t
地铁和社区C1
9x
u
地铁和社区C2
15x
v
由条件可得，
j+k+l+m+n+o+p+q+r+s+t+u+v=83
x*j+2x*k+3x*l+3x*m+5x*n+2x*o+4x*p+6x*q+6x*r+6x*s+10x*t+9x*u+15x*v
=3000
由上述可得，新增的83个网点和3000辆自行车得到的各网点与自行车的分配情况如下表格：
网点
数量
网点
数量
网点
数量
1
100
31
60
61
20
2
100
32
60
62
20
3
100
33
60
63
20
4
100
34
60
64
20
5
60
35
20
65
12
6
60
36
20
66
12
7
60
37
20
67
12
8
60
38
20
68
12
9
60
39
20
69
12
10
60
40
20
70
12
11
60
41
20
71
12
12
60
42
20
72
12
13
60
43
20
73
12
14
60
44
20
74
12
15
60
45
20
75
12
16
60
46
20
76
12
17
60
47
20
77
12
18
60
48
20
78
12
19
60
49
20
79
12
20
60
50
20
80
6
21
60
51
20
81
6
22
60
52
20
82
4
23
60
53
20
83
4
24
60
54
20
25
60
55
20
26
60
56
20
27
60
57
20
28
60
58
20
29
60
59
20
30
60
60
20
5.3问题三
根据题中要求，现希望尽可能实现主要居民区网点平均间距500米的公共交通体系，并最大程度服务居民。
但现市政资金有限，仅能提供的资金为110万元，建设一个网点需要的金额为5000元，投入一辆自行车的成本为300元。
此城区现有人口15万，地域面积约22.9平方公里，山和湖泊的面积为1.603平方公里，山与湖泊覆盖地区不设立自行车网点。
结合实际情况，我们计算出网点数=（22.9×10^6-1.603×10^6）/500×500≈85.1个，因市政资金有限，我们最多建立85个自行车网点自行车总数=（110×10^4-85×5000）/300=2250辆。
由第二题可得，
j+k+l+m+n+o+p+q+r+s+t+u+v=85
x*j+2x*k+3x*l+3x*m+5x*n+2x*o+4x*p+6x*q+6x*r+6x*s+10x*t+9x*u+15x*v
=2250
解上述方程，所得到的各网点分布及其车辆数，如下所示：
网点
数量
网点
数量
网点
数量
1
100
31
40
61
20
2
60
32
40
62
20
3
60
33
40
63
20
4
60
34
40
64
20
5
60
35
40
65
20
6
40
36
20
66
10
7
40
37
20
67
10
8
40
38
20
68
10
9
40
39
20
69
10
10
40
40
20
70
10
11
40
41
20
71
4
12
40
42
20
72
4
13
40
43
20
73
4
14
40
44
20
74
4
15
40
45
20
75
4
16
40
46
20
76
4
17
40
47
20
77
4
18
40
48
20
78
4
19
40
49
20
79
4
20
40
50
20
80
4
21
40
51
20
81
4
22
40
52
20
82
4
23
40
53
20
83
4
24
40
54
20
84
4
25
40
55
20
85
4
26
40
56
20
27
40
57
20
28
40
58
20
29
40
59
20
30
40
60
20
六、模型评价
本文是通过结合对实际的数据和情况的运用分析，在一个合理的评价标准的前提下建立起的一个评价模型，对现有的网点与车辆分布的合理进行评价;并预测在增加网点和车辆时，该如何决定网点位置跟每个网点的车辆数来使我们的评价最好;还有通过求解在一个假定资金在110万的情况下有多少个网点合理以及该如何分配每个网点的车辆数。
本文的优势是建立了合理的评价模型，并通过此来解决某城区的免费自行车交通系统服务网点布局规划的问题，得出的结果在该情况下也是合理的，在其过程中有效的通过运用课本的知识来解决问题，有理有据，易于明白，条理清晰。
本文的不足是在现有的条件下还规定了其它的不变因素，对应用到实际上来还是有一定的差距的，所以笨的得出的结果可能与实际情况还是有一些出入的。
总之，本文是通过合理的评价模型来求解实际问题，得出的结果还是可以在一定程度上反映出一些效果的，给我们有一定的帮助。
七、参考文献
[1]姜启源，数学模型[M]，北京：
高等教育出版社，2001
[2]韩中庚，数学建模方法及其应用，北京：
高等教育出版社，2005年
[3]湖北省大学生数学建模竞赛专家组组编，数学建模（本科册），华中科技大学出版社，2006年
[4]蒲俊，吉家锋，伊良忠著MATLAB6.0数学手册上海：
浦东电子出版社
[5]免费自行车交通系统服务布局网点规划
附图一：
附表一：
编号
上午7:
00车辆数
下午5:
30车辆数
1
70
70
2
60
90
3
40
30
4
30
10
5
30
10
6
30
10
7
50
45
8
30
10
9
30
70
10
30
10
11
30
20
12
30
80
13
20
10
14
50
60
15
20
10
16
20
5
17
30
60
附MATLAB代码一：
>> a=imread（'地图地图.jpg'）;
>>[m,n]=size（a）
m=
1174
n=
3372
>>m*n
3958728
附MATLAB代码二：
>> a=imread（'地图地图.jpg'）;
>>[m,n,k]=size（a）;
>>b=zeros（m,n）;
>>fori=1:
m
forj=1:
n
if（a（i,j,3）>150）
b（i,j）=1;
end
end
end
>>imshow（b）
>>hsv=rgb2hsv（a）;
>>figure,imshow（hsv（:
:
1））
>>figure,imshow（hsv（:
:
2））
>>figure,imshow（hsv（:
:
3））
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