223 实际问题与一元二次方程.docx

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223实际问题与一元二次方程

22.3实际问题与一元二次方程

（1）

重难点关键

1．重点：

用“倍数关系”建立数学模型

2．难点与关键：

用“倍数关系”建立数学模型

教学过程

一、复习引入

问题1：

列方程解应用题

下表是某一周甲、乙两种股票每天每股的收盘价（收盘价：

股票每天交易结果时的价格）：

星期

一

二

三

四

五

甲

12元

12.5元

12.9元

12.45元

12.75元

乙

13.5元

13.3元

13.9元

13.4元

13.75元

某人在这周内持有若干甲、乙两种股票，若按照两种股票每天的收盘价计算（不计手续费、税费等），则在他帐户上，星期二比星期一增加200元，星期三比星期二增加1300元，这人持有的甲、乙股票各多少股？

老师点评分析：

一般用直接设元，即问什么就设什么，即设这人持有的甲、乙股票各x、y张，由于从表中知道每天每股的收盘价，因此，两种股票当天的帐户总数就是x或y乘以相应的每天每股的收盘价，再根据已知的等量关系；星期二比星期一增加200元，星期三比星期二增加1300元，便可列出等式．

解：

设这人持有的甲、乙股票各x、y张．

则

解得

答：

（略）

二、探索新知

上面这道题大家都做得很好，这是一种利用二元一次方程组的数量关系建立的数学模型，那么还有没有利用其它形式，也就是利用我们前面所学过的一元二次方程建立数学模型解应用题呢？

请同学们完成下面问题．

问题2：

某工厂第一季度的一月份生产电视机是1万台，第一季度生产电视机的总台数是3.31万台，求二月份、三月份生产电视机平均增长的百分率是多少？

解：

设二月份、三月份生产电视机平均增长的百分率为x，则1+（1+x）+（1+x）2=3.31

去括号：

1+1+x+1+2x+x2=3.31

整理，得：

x2+3x-0.31=0

解得：

x=10%

答：

（略）

以上这一道题与我们以前所学的一元一次、二元一次方程（组）、分式方程等为背景建立数学模型是一样的，而我们借助的是一元二次方程为背景建立数学模型来分析实际问题和解决问题的类型．

例1．某电脑公司2001年的各项经营中，一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共950万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率．

分析：

设这个增长率为x，由一月份的营业额就可列出用x表示的二、三月份的营业额，又由三月份的总营业额列出等量关系．

三、巩固练习

（1）某林场现有木材a立方米，预计在今后两年内年平均增长p%，那么两年后该林场有木材多少立方米?

（2）某化工厂今年一月份生产化工原料15万吨，通过优化管理，产量逐年上升，第一季度共生产化工原料60万吨，设二、三月份平均增长的百分率相同，均为x，可列出方程为__________．

四、应用拓展

例2．某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000元用于购物，剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不变，到期后本金和利息共1320元，求这种存款方式的年利率．

分析：

设这种存款方式的年利率为x，第一次存2000元取1000元，剩下的本金和利息是1000+2000x·80%；第二次存，本金就变为1000+2000x·80%，其它依此类推．

作业设计

一、选择题

1．2005年一月份越南发生禽流感的养鸡场100家，后来二、三月份新发生禽流感的养鸡场共250家，设二、三月份平均每月禽流感的感染率为x，依题意列出的方程是（）．

A．100（1+x）2=250B．100（1+x）+100（1+x）2=250

C．100（1-x）2=250D．100（1+x）2

2．一台电视机成本价为a元，销售价比成本价增加25%，因库存积压，所以就按销售价的70%出售，那么每台售价为（）．

A．（1+25%）（1+70%）a元B．70%（1+25%）a元

C．（1+25%）（1-70%）a元D．（1+25%+70%）a元

3．某商场的标价比成本高p%，当该商品降价出售时，为了不亏损成本，售价的折扣（即降低的百分数）不得超过d%，则d可用p表示为（）．

A．

B．pC．

D．

二、填空题

1．某农户的粮食产量，平均每年的增长率为x，第一年的产量为6万kg，第二年的产量为_______kg，第三年的产量为_______，三年总产量为_______．

2．某糖厂2002年食糖产量为at，如果在以后两年平均增长的百分率为x，那么预计2004年的产量将是________．

3．我国政府为了解决老百姓看病难的问题，决定下调药品价格，某种药品在1999年涨价30%后，2001年降价70%至a元，则这种药品在1999年涨价前价格是__________．

三、综合提高题

某商场于第一年初投入50万元进行商品经营，以后每年年终将当年获得的利润与当年年初投入的资金相加所得的总资金，作为下一年年初投入的资金继续进行经营．

（1）如果第一年的年获利率为p，那么第一年年终的总资金是多少万元?

（用代数式来表示）（注：

年获利率=

×100%）

（2）如果第二年的年获利率多10个百分点（即第二年的年获利率是第一年的年获利率与10%的和），第二年年终的总资金为66万元，求第一年的年获利率．

答案:

一、1．B2．B3．D

二、1．6（1+x）6（1+x）26+6（1+x）+6（1+x）2

2．a（1+x）2t

3．

三、1．平均增长率为x，则1600（1+x）2=1936，x=10%

2．设乙型增长率为x，甲型一月份产量为y：

则

即16x2+56x-15=0，解得x=

=25%，y=20（台）

3．

（1）第一年年终总资金=50（1+P）

（2）50（1+P）（1+P+10%）=66，整理得：

P2+2.1P-0.22=0，解得P=10%

22.3实际问题与一元二次方程

（2）

应用拓展

例3．某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若每千克50元销售，一个月能售出500kg，销售单价每涨1元，月销售量就减少10kg，针对这种水产品情况，请解答以下问题：

（1）当销售单价定为每千克55元时，计算销售量和月销售利润．

（2）设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x的关系式．

（3）商品想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应为多少?

分析：

（1）销售单价定为55元，比原来的销售价50元提高5元，因此，销售量就减少5×10kg．

（2）销售利润y=（销售单价x-销售成本40）×销售量[500-10（x-50）]

（3）月销售成本不超过10000元，那么销售量就不超过

=250kg，在这个提前下，求月销售利润达到8000元，销售单价应为多少．

一、选择题

1．一个小组若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，则这个小组共（）．

A．12人B．18人C．9人D．10人

2．某一商人进货价便宜8%，而售价不变，那么他的利润（按进货价而定）可由目前x增加到（x+10%），则x是（）．

A．12%B．15%C．30%D．50%

3．育才中学为迎接香港回归，从1994年到1997年四年内师生共植树1997棵，已知该校1994年植树342棵，1995年植树500棵，如果1996年和1997年植树的年增长率相同，那么该校1997年植树的棵数为（）．

A．600B．604C．595D．605

二、填空题

1．一个产品原价为a元，受市场经济影响，先提价20%后又降价15%，现价比原价多_______%．

2．甲用1000元人民币购买了一手股票，随即他将这手股票转卖给乙，获利10%，乙而后又将这手股票返卖给甲，但乙损失了10%，最后甲按乙卖给甲的价格的九折将这手股票卖出，在上述股票交易中，甲盈了_________元．

3．一个容器盛满纯药液63L，第一次倒出一部分纯药液后用水加满，第二次又倒出同样多的药液，再加水补满，这时容器内剩下的纯药液是28L，设每次倒出液体xL，则列出的方程是________．

三、综合提高题

1．上海甲商场七月份利润为100万元，九月份的利率为121万元，乙商场七月份利率为200万元，九月份的利润为288万元，那么哪个商场利润的年平均上升率较大?

2．某果园有100棵桃树，一棵桃树平均结1000个桃子，现准备多种一些桃树以提高产量，试验发现，每多种一棵桃树，每棵桃树的产量就会减少2个，如果要使产量增加15.2%，那么应多种多少棵桃树?

3．某玩具厂有4个车间，某周是质量检查周，现每个车间都原有a（a>0）个成品，且每个车间每天都生产b（b>0）个成品，质量科派出若干名检验员周一、周二检验其中两个车间原有的和这两天生产的所有成品，然后，周三到周五检验另外两个车间原有的和本周生产的所有成品，假定每名检验员每天检验的成品数相同．

（1）这若干名检验员1天共检验多少个成品?

（用含a、b的代数式表示）

（2）若一名检验员1天能检验

b个成品，则质量科至少要派出多少名检验员?

答案：

一、1．C2．B3．D

二、1．22．13．（1-

）2=

三、1．甲：

设上升率为x，则100（1+x）2=121，x=10%

乙：

设上升率为y，则200（1+y）2=288，y=20%，

那么乙商场年均利润的上升率大．

2．设多种x棵树，则（100+x）（1000-2x）=100×1000×（1+15.2%），

整理，得：

x2-400x+7600=0，（x-20）（x-380）=0，

解得x1=20，x2=380

3．

（1）

=a+2b或

（2）因为假定每名检验员每天检验的成品数相同．

所以a+2b=

，解得：

a=4b

所以（a+2b）÷

b=6b÷

b=

=7.5（人）

所以至少要派8名检验员．

22.3实际问题与一元二次方程（3）

重难点关键

1．重点：

根据面积与面积之间的等量关系建立一元二元方程的数学模型并运用它解决实际问题．

2．难点与关键：

根据面积与面积之间的等量关系建立一元二次方程的数学模型．

一、复习引入

1．直角三角形的面积公式是什么？

一般三角形的面积公式是什么呢？

2．正方形的面积公式是什么呢？

长方形的面积公式又是什么？

3．梯形的面积公式是什么？

4．菱形的面积公式是什么？

5．平行四边形的面积公式是什么？

6．圆的面积公式是什么？

二、探索新知

现在，我们根据刚才所复习的面积公式来建立一些数学模型，解决一些实际问题．

例1．某林场计划修一条长750m，断面为等腰梯形的渠道，断面面积为1.6m2，上口宽比渠深多2m，渠底比渠深多0.4m．

（1）渠道的上口宽与渠底宽各是多少？

（2）如果计划每天挖土48m3，需要多少天才能把这条渠道挖完？

分析：

因为渠深最小，为了便于计算，不妨设渠深为xm，则上口宽为x+2，渠底为x+0.4，那么，根据梯形的面积公式便可建模．

三、巩固练习

有一张长方形的桌子，长6尺，宽3尺，有一块台布的面积是桌面面积的2倍，并且铺在桌面上时，各边垂下的长度相同，求台布的长和宽各是多少?

（精确到0．1尺）

四、应用拓展

如图（a）、（b）所示，在△ABC中∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度运动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度运动