三角函数的图像与性质知识点及题型归纳总结.docx
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三角函数的图像与性质知识点及题型归纳总结
三角函数的图像与性质知识点及题型归纳总结
知识点讲解
1.“五点法”作图原理
在确定正弦函数ysinx（x[0,2]）的图像时，起关键作用的5个点是
3
（0,0）,（,1）,（,0）,（,1）,（2,0）.
22
在确定余弦函数ycosx（x[0,2]）的图像时，起关键作用的5个点是
3
（0,1）,（,0）,（,1）,（,0）,（2,1）.
22
2.三角函数的图像与性质
functionstips
ysinx
ycosx
在0,2上
的图像
1
y
2
1
y
O
1
2x
O
2x
定义域
值域（有界性）
1,1
1,1
最小正周期
（周期性）
2
2
奇偶性（对称性）
奇函数
偶函数
单调增区间
2k,2kkZ
22
2k,2kkZ
单调减区间
3
2k,2kkZ
22
2k,2kkZ
对称轴方程
xkkZ
2
xkkZ
对称中心坐标
k,0kZ
k,0kZ
2
最大值及对应自
变量值
x2k2时sinxmax1
x2k时cosxmax1
最小值及对应自
变量值
3
x2k2时sinxmin1
x2k时cosxmin1
函数
正切函数ytanx,xk
2
图像
y
Ox
定义域
x|xk,kZ
2
值域
（,）
周期性
T
奇偶性
奇函数，图像关于原点对称
单调性
在（k,k）,（kZ）上是单调增函数22
对称轴
无
对称中心
k
0（kZ）
2
Asin（wx）与yAcos（wx）（A0,w0）的图像与性质
3.y
（1）最小正周期：
T.w
（2）定义域与值域：
yAsin（wx），yAcos（wx）的定义域为R，值域为[-A,A].
（3）最值
假设A0，w0.
①对于yAsin（wx），
当wx2k（kZ）时，函数取得最大值A;
当wx2k（kZ）时，函数取得最小值A;
②对于yAcos（wx），
当wx2k（kZ）时，函数取得最大值A;
当wx2k（kZ）时，函数取得最小值A;
（4）对称轴与对称中心假设A0，w0.
①对于yAsin（wx），
当wx0k（kZ），即sin（wx0）
1时，ysin（wx）的对称轴为xx0
当wx0
k（k
Z），即sin（wx0）0
时，y
sin（wx
）的对称中心为（x0,0）.
②对于y
Acos（wx
），
当wx0
k（k
Z），即cos（wx0）1
时，
ycos（wx
）的对称轴为xx0
当wx0
k（kZ），即cos（wx0）
0时，
ycos（wx
）的对称中心为（x0,0）.
正、余弦曲线的对称轴是相应函数取最大（小）值的位置.正、余弦的对称中心是相应函数与x轴交点的位
置.
（5）单调性.
假设A
0，w0.
①对于y
Asin（wx
）
wx
[2k
2
2k
]（k
Z）增区间；
2
wx
[2k
2
3
2
2k
]（k
Z）减区间.
②对于y
Acos（wx
）
wx
[2k
2k
]（k
Z）
增区间；
wx
[2k,2k
]（k
Z）
减区间.
6）平移与伸缩
由函数ysinx的图像变换为函数y2sin（2x）3的图像的步骤；
向左平移个单位
6
3
方法
一：
（xx
2x）
23
.先相位变换，后周期变换，再振幅变换，不妨采用谐音记忆：
我们
“想
欺负
”（相一期一幅）
三角函数图像，
使之变形
y
sinx的图像
向左平移个单位
3
ysin（x
3）的图像
1
所有点的横坐标变为原来的1
2纵坐标不变
ysin（2x3）的图像
所有点的纵坐标变为原来的2倍
横坐标不变
y2sin（2x3）的图像
方法二：
（xx22x3）.先周期变换，后相位变换，再振幅变换
向上平移3个单位
y2sin（2x）3
ysinx的图像
1
所有点的横坐标变为原来的1
2纵坐标不变
y
sin2x的图像
ysin2（x）sin（2x）的图像
62
所有点的纵坐标变为原来的2倍
横坐标不变
向上平移3各单位
y2sin（2x）的图像3y2sin（2x）3
33
注：
在进行图像变换时，提倡先平移后伸缩（先相位后周期，即“想欺负”），但先伸缩后平移（先周期后
相位）在题目中也经常出现，所以必须熟练掌握，无论哪种变化，切记每一个变换总是对变量x而言的，
”变化多少.例如，函数ysin2x的图像向右平
即图像变换要看“变量x”发生多大变化，而不是“角wx
移个单位，得到的图像表达式是ysin2（x）sin（2x），而不是ysin（2x）；再如，将
6636图像ysin（x）上各点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），得到的函数图像表达式是
6
1x1
ysin（x），而不是ysin（x）.此点要引起同学们的的别注意.
2626
题型归纳及思路提示
思路提示
一般将所给函数化为yAsin（wx）或yAcos（wz），A0.w0，然后依据
ysinx,ycosx的性质整体求解.
题型1三角函数性质的应用
一、函数的奇偶性
例4.16函数ysin（x）（0）是R上的偶函数，则等于（）
A.0B.C.D.
42
解析因为函数ysin（x）是R上的偶函数，所以其图像关于y轴对称，有正弦函数的对称性知，当
x0时，sin1，又0，所以.故选C.
2
评注由ysinx是奇函数和ycosx是偶函数可拓展得到关于三角函数奇偶性的重要结论：
1）
若
y
Asin（x
）为奇函数，
则
k
（k
Z）；
2）
若
y
Asin（x
）为偶函数，
则
k
（k
2
Z）；
3）
若
y
Acos（x
）为奇函数，
则
k
（k
2
Z）；
4）
若
y
Acos（x
）为偶函数，
则
k
（k
Z）；
k
若yAtan（x）为奇函数，则（kZ），该函数不可能为偶函数.
2
变式1已知aR，函数f（x）sinxa（xR）为奇函数，则a等于（）
A.0
B.1
C.-1
D.1
变式2设R，则“0”是“f（x）cos（x）（xR）为偶函数”的（）
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不比哟啊条件
变式3设f（x）sin（wx
），其中w0，则f（x）是偶函数的充要条件是（
A.f（0）1B.f（0）0C.f（0）1D.f（0）0
例4.17设函数f（x）sin（2x）（xR），则f（x）是（）2
A.最小正周期为的奇函数
B.最小正周期为的偶函数
C.最小正周期为的奇函数
2
D.最小正周期为的偶函数
2
解析f（x）sin（2x）cos2x，所以是最小正周期为x的偶函数.故选B.
2
21
变式1若函数f（x）sin2x（xR），则f（x）是（）
2
A.偶函数且最小正周期为
B.奇函数且最小正周期为
C.偶函数且最小正周期为2
D.奇函数且最小正周期为2
变式2
为周期的偶函数的是（
列函数中，既是（0,）上的增函数，又是以
2
A.ycos2xB.y
sin2x
C.y
cosx
D.y
sinx
二、函数的周期性
例4.18函数y
sin（2x
）cos（2x
6
）的最小正周期为（
A.
2
B.
4
C.2
D.
解析
函数y
sin（2x
评注
）cos（2x
关于三角函数周期的几个重要结论：
1
）sin（4x
62
.故选A
2
1）
函数
Asin（wx
）b,yAcos（wx）
b,yAtan（wx
2
）b的周期分别为T，w
2）函数
Asin（wx
）,yAcos（wx），
yAtan（wx
）的周期均为T
3）函数
Asin（wx
）b（b0）,y
Acos（wx）b（b0）的周期均T
变式1
函数ysin（2x）cos（2x）的最小正周期和最大值分别为（
A.,1
B.,2
C.2,1
D.2,2
变式2
已知函数f（x）sinx（sinxcosx）（xR），则f（x）的最小正周期为
变式3
设函数f（x）sin3xsin3x，则f（x）为（）
A.
周期函数，最小正周期为
B.
周期函数，最小正周期为
C.
D.
周期函数，最小正周期为非周期函数、函数的单调性
3
2
3
2
例4.19函数y
A.[0,3]
2sin（2x）（x
6
7
B.[,]
1212
[0,]）为增函数的区间是（）
C.[3,
5
56]
5
D.[56
]
解析因为y
2sin（2x）
6
2sin（2x
6），
所以y2sin（62x）的递增区间实际上是
y2sin（2x
2
6
2
解得
k
x
k
5（kZ）.
3
5
x
6
令k
0，得
，又因为x
[0,]，
3
6
所以
x
5
.即函数
y2sin（
2x）（x[0,
5
]）的增区间为[,].故选C
3
6
6
36
评注
三角函数的单调性，
需将函数y
Asin（wx
）看成由一次函数和正弦函数组成的复合函数，
复合函数单调区间的单调方法转化为解一元
一次不等式
令2k
Z），
2x
如函数y
Asin（wx
）的递减区间.
2kx3（k
）（A0,w0）的单调区间的确定基本思想是吧wx看做是一个整体，如由
利用
2k
2
wx
2k
2
wx
2kx（kZ）解出x的范围，所得区间即为增区间；由
2
3
2kx（kZ）解出x的范围，所得区间即为减区间.若函数yAsin（wx）中
2
A0,w
0，可用诱导公式将函数变为yAsin（wx），则yAsin（wx）的增区间为原函数
的减区间，减区间为原函数的的增区间.如ysin（x）sin（x），令
44
3
34]（kZ）
3
2kx2k，即2kx2k（kZ），可得[2k,2k
242444为原函数的减区间.
对于函数yAcos（wx
）,yAtan（wx
）的单调性的讨论与以上类似处理即可
3
变式1若函数ysinxf（x）在[,]内单调递增，则f（x）可以是（）
44
A.1B.cosxC.sinxD.cosx
变式2已知w0，函数f（x）sin（wx
15131
A.[,]B.[,]C.（0,]
24242
）在（,）上单调递减，则w的取值范围是（42
D.（0,2]
变式3已知函数f（x）3sinwxcos（wx）cos（wx）,xR,（w0）.
33
（1）求函数f（x）的值域；
（2）若f（x）的最小正周期为,x[0,]，求f（x）的单调递减区间
22
四、函数的对称性（对称轴、对称中心）例4.30函数ysin（2x3）图像的对称轴方程可能是（
A.xB.C.xD.x
612612
解析解法一：
已知ysinx的对称轴方程是xk（kZ）
2k
令2x3k（kZ），得x（kZ），
2212
当k0时，x，故选D.
12
解法二
，当x
时，
2x
0.其正弦值为
0；
6
3
当x
时，2x
12
3
6
，其正弦值不等于
1或-1
当x
时，2x
2，
其正弦值不等于1
或-1
6
3
3
当x
时，2x
，
这时sin1.
12
3
2
2
故选D
评注关于三角函数对称的几个重要结论；
1）函数y
sinx的对称轴为x
k（k
2
Z），对称中心为（k.0）（k
Z）；
2）函数y
cosx的对称轴为x
k（kZ）
，对称中心为（k,0）（k
2
Z）；
3）函数y
tanx函数无对称轴，
对称中心为
k
（k,0）（kZ）；
k（kZ），得
4）求函数yAsin（wx）b（w0）的对称轴的方法；令wx
k（kZ），得x
，即对称中心
k
x2（kZ）；对称中心的求取方法；令wxw
为（k，b）.
w
k
5）求函数yAcos（wx）b（w0）的对称轴的方法；令wxk（kZ）得x2w
k
即对称中心为（2,b）（kZ）
变式1已知函数f（x）sin（wx）（w
3
，则该函数的图像（
w
A.关于点（,0）对称
3
B.关于直线x
对称
4
C.关于点（,0）对称
D.关于直线x
对称
4
3
变式2ysin（x）的图像的一个对称中心是（）
4
3
A.（,0）B.（34,0）
3
C.（34,0）D.（2,0）
0）的最小正周期为
2x2x
变式3ycos25xsin25x的图像中，相邻两条对称轴之间的距离是变式4将函数ysinx3cosx的图像沿x轴向右平移a个单位（a0），所得图像关于y轴对称，则
a的最小值是（）.
A.7B.C.D.
6263
五、三角函数性质的综合
思路提示三角函数的性质（如奇偶性、周期性、单调性、对称性）中，尤为重要的是对称性.
因为对称性奇偶性（若函数图像关于坐标原点对称，则函数f（x）为奇函数；若函数图像关于y轴对称，则函数f（x）为偶函数）；对称性周期性（相邻的两条对称轴之间的距离是T；相邻的对称中心之间的距离为T；相邻的对称轴22与对称中心之间的距离为T）；对称性单调性（在相邻的对称轴之间，函数f（x）单调，特殊的，若4
f（x）Asin（wx）,A0,w0，函数f（x）在［1,2］上单调，且0［1,2］，设max1,2，则
T深刻体现了三角函数的单调性与周期性、对称性之间的紧密联系）
f（）对一切xR恒成立，则
6
②f（710）
③f（x）既不是奇函数也不是偶函数；
④f（x）的单调递增区间是[k,k2]（kZ）；
63
⑤存在经过点（a,b）的直线与函数f（x）的图像不相交.
以上结论正确的是（写出所有正确命题的序号）
分析函数f（x）a2b2sin（2x），tanb，其中一条对称轴为x，函数的最小正周期a6
T，通过对称轴对称中心（对称轴与零点相距T的奇数倍）通过对称轴奇偶性（若函数f（x）为4
奇函数，则等于T的奇数倍；若函数f（x）为偶函数，则等于T的偶数倍）；通过对称性单调性（在
6464
相邻的两条对称轴之间，f（x）单调递增或单调递减）.
解析f（x）a2b2sin（2x），其中tan
b，f（x
a
f（6））对一切x
R恒成立，知直线x6
是f（x）的对称轴，又f（x）的最小正周期为
11
对于①：
f（11）
12
4
3
）可看做x
3
，加了3个周期所对应的函数值，所以
64
11
f（1112）0.故①正
7
7
，因为
，所以
f（）
f（）
2
1052
10
5
对于②：
函数yf（x）周期T
因此f（710）
错误，故②不正确
对于③：
因为既不是T的奇倍数，也不是
64
T的偶倍数，所以函数
4
f（x）的图像既不关于原点对称，也不
关于y轴对称，所以函数f（x）既不是奇函数也不是偶函数，故③正确
22对于④：
依题意，函数f（x）相邻两条对称轴x1,x2，在区间[k,k]（kZ）上函
6363
数f（x）单调，不能确定是单调递增，还是单调递减，故④不正确
例4.21设f（x）asin2xbcos2x，其中a,bR,ab0,若f（x）
11
①f（1112）0;
对于⑤：
因为f（x）asin2xbcos2x
a2b2sin（2x）
其中tanb），所以a
f（x）a2b2，又ab
⑤不正确，应填①③.
0，所以b
a2b2，因此经过点
（a,b）的直线与函数f（x）的图像相交，
例4.22设f（x）4cos（wx
）sinwx
6
cos（2wx），其中w
1）求f（x）的值域；
3
2）若yf（x）在区间［32,2］上为增函数，求w的最大值.
解析
1）f（x）4cos（wx）sinwxcos2wx
4（coswxcossinwxsin）sinwxcos2wx
23sinwxcoswx2sin2wxcos2wx
3sin2wx1cos2wxcos2wx3sin2wx1
因为sin2wx
2）解法一：
[1,1]所以函数f（x）的值域为[13,13].
f（x）3sin2wx1，由yf（x）在区间［32,2］上为增函数，的
[3w,w
[2,2]（w
0）
3wx
故
wx
2，得0w
11，则w的最大值为.
6
解法二：
由
f（x）
3sin2wx1（w
3
0）在区间［32,2］上为增函数，
含原点的增区间的对称型可知
3
函数f（x）在[3
2
32］上也为增函数，
T2
故T3，即T6，得2
22w
1
，故0w61，则w的最
1
大值为1
6
评注一般的，若f（x）（x
R）为奇函数，在［1,2］上为增函数，其中
2，若令
max{1,2}，则
T，即可求出w的范围.
4
变式1已知函数f（x）
2sin（wx），其中常数w0，若yf（x）在[
2
］上单调递增，求w的取
3
值范围.
变式2已知函数f（x）
2sin（wx）（w0），
f（）f（）在［,］上的虽小值为-2，则w的最小值
f（6）
例4.23若f（x）sin（wx3）（w0），
f（）且在（,）上有最小值无最大值，则
363
解析
依题意，如图4-24所示，在x
63
2
得w
8k14.取k0，得w
3
14
3
3
4
2k
3
kZ
2
评注
本题融汇了三角函数f（x）
sin（wx）的最值（对称轴）、
周期性、单调性之间的相互关系与转化
题型2根据条件确定解析式
方向一：
“知图求式”，即已知三角形函数的部分图像，求函数解析式思路提示
已知函数图像求函数y
Asin（wx）（A0,w0）的解析式时，
常用的解析方法是待定系数法，由图
中的最大值或最小值确定
A，由周期确定w，由适合解析式点的坐标确定，但有图像求得的
yAsin（wx）（A
0,w0）的解析式一般不唯一，只有限定
的取值范围，才能得出唯一解，将若
干个点代入函数式，可以求得相关特定系数A,w,，这里需要注意的是，要认清选择的点属于“五点”中的
第一点”（及图像
哪一个位置点，并能正式代入式中，依据五点列表法原理，点的序号与式子的关系是：
上升时与x轴的交点）为wx
0；
第二点”（即图像曲线的最高点）为wx
；“第三点”（及
图像下降时与轴的交点），为wx
；“第四点”（及图像曲线的最低点）为
wx
3；“第五点”
2
及图像上升时与x轴的交点）
为wx
例4.24函数f（x）A（sin2x
）（A,
R）的部分图像如图
1A.
2
B.-1
C.
分析对于yAsin（wx）的解析式的确定，通过最值确定
D.
点）来确定；对于零点要分析向上零点还是向下零点
解析
解法一：
依题意
A2,23
2k
kZ得2k,kZ，
2
6
所以
f（0）2sin
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