三角函数的图像与性质知识点及题型归纳总结.docx

1、三角函数的图像与性质知识点及题型归纳总结三角函数的图像与性质知识点及题型归纳总结知识点讲解1. “五点法 ”作图原理在确定正弦函数 y sin x(x 0,2 ) 的图像时，起关键作用的 5 个点是3(0,0),( ,1),( ,0),( , 1),(2 ,0) .22在确定余弦函数 y cosx(x 0,2 ) 的图像时，起关键作用的 5 个点是3(0,1),( ,0),( , 1),( ,0),(2 ,1) .222.三角函数的图像与性质functions tipsy sin xy cosx在 0,2 上的图像1y21yO12xO2x定义域值域(有界性)1,11,1最小正周期(周期性)22

2、奇偶性(对称性)奇函数偶函数单调增区间2k , 2k k Z222k ,2 k k Z单调减区间32k , 2k k Z222k ,2 k k Z对称轴方程x k k Z2x k k Z对称中心坐标k ,0 k Zk ,0 k Z2最大值及对应自变量值x 2k 2时 sinx max 1x 2k 时 cosx max 1最小值及对应自变量值3x 2k 2 时 sinx min 1x 2k 时 cosx min 1函数正切函数 y tanx, x k2图像yOx定义 域x|x k ,k Z2值域(,)周期 性T奇偶 性奇函数，图像关于原点对称单调 性在 ( k , k ),( k Z) 上是单调

3、增函数 22对称 轴无对称 中心k,0 (k Z)2A sin( wx ) 与 y A cos(wx )(A 0,w 0) 的图像与性质3. y( 1)最小正周期： T . w( 2)定义域与值域： y A sin( wx ) ， y A cos(wx )的定义域为 R，值域为 -A,A.(3)最值假设 A 0，w 0.对于 y Asin(wx ) ，当wx 2k (k Z)时，函数取得最大值 A;当wx 2k (k Z)时，函数取得最小值 A;对于 y Acos( wx )，当wx 2k (k Z)时，函数取得最大值 A;当 wx 2k (k Z )时，函数取得最小值 A;(4)对称轴与对称

4、中心 假设 A 0，w 0.对于 y Asin(wx ) ，当wx0 k (k Z)，即 sin(wx0 )1时， y sin(wx )的对称轴为 x x0当wx0k (kZ )，即 sin(wx0 ) 0时，ysin(wx）的对称中心为 （x0 ,0）.对于 yAcos( wx），当wx0k (kZ)，即 cos(wx0 ) 1时，y cos(wx）的对称轴为 x x0当wx0k (k Z)，即 cos(wx0 )0时，y cos(wx）的对称中心为 （x0 ,0）.正、余弦曲线的对称轴是相应函数取最大（小）值的位置 .正、余弦的对称中心是相应函数与 x 轴交点的位置.（ 5）单调性 .假设

5、 A0，w 0 .对于 yAsin(wx)wx 2k,22k(kZ ） 增区间；2wx 2k2,3,22k(kZ ） 减区间.对于 yAcos( wx）wx 2k,2k(kZ)增区间；wx 2k ,2k(kZ)减区间.6）平移与伸缩由函数 y sin x 的图像变换为函数 y 2sin（ 2x ） 3 的图像的步骤；向左平移 个单位63方法一： ( x x2x )23.先相位变换，后周期变换，再振幅变换，不妨采用谐音记忆：我们“想欺负”（相一期一幅）三角函数图像，使之变形ysin x的图像向左平移 个单位3y sin( x3）的图像1所有点的横坐标变为原来的 12 纵坐标不变y sin(2x

6、3 )的图像所有点的纵坐标变为原来的 2倍横坐标不变y 2sin(2x 3)的图像方法二：（x x 2 2x 3） .先周期变换，后相位变换，再振幅变换向上平移 3 个单位y 2 sin( 2x ) 3y sin x的图像1所有点的横坐标变为原来的 12 纵坐标不变ysin 2 x的图像y sin 2( x ) sin(2x )的图像62所有点的纵坐标变为原来的 2 倍横坐标不变向上平移 3 各单位y 2sin(2x )的图像 3 y 2 sin(2 x ) 333注：在进行图像变换时，提倡先平移后伸缩(先相位后周期，即 “想欺负 ”)，但先伸缩后平移(先周期后相位)在题目中也经常出现，所以必

7、须熟练掌握，无论哪种变化，切记每一个变换总是对变量 x 而言的，”变化多少 .例如，函数 y sin 2x的图像向右平即图像变换要看 “变量 x ”发生多大变化， 而不是 “角 wx移 个单位，得到的图像表达式是 y sin2(x ) sin( 2 x )，而不是 y sin( 2 x ) ；再如，将6 6 3 6 图像 y sin(x )上各点的横坐标扩大到原来的 2倍(纵坐标不变) ，得到的函数图像表达式是61x 1y sin( x ) ，而不是 y sin (x ). 此点要引起同学们的的别注意 .26 2 6题型归纳及思路提示思路提示一般将所给函数化为 y A sin( wx ) 或

8、y A cos(wz ) ， A 0.w 0 ，然后依据y sin x, y cosx 的性质整体求解 .题型 1 三角函数性质的应用一、函数的奇偶性例 4.16 函数 y sin(x )(0 )是 R 上的偶函数，则 等于( )A.0 B. C. D.42解析 因为函数 y sin(x )是 R上的偶函数，所以其图像关于 y 轴对称，有正弦函数的对称性知，当x 0时， sin 1 ，又 0 ，所以 .故选 C.2评注 由 y sin x是奇函数和 y cos x是偶函数可拓展得到关于三角函数奇偶性的重要结论：1)若yAsin(x) 为奇函数，则k(kZ)；2)若yAsin(x) 为偶函数，则

9、k(k2Z)；3)若yA cos(x) 为奇函数，则k(k2Z)；4)若yA cos(x) 为偶函数，则k(kZ)；k若 y A tan( x ) 为奇函数，则 (k Z) ，该函数不可能为偶函数 .2变式 1 已知 a R，函数 f (x) sinx a(x R)为奇函数，则 a等于( )A.0B.1C.-1D. 1变式 2 设 R，则“ 0”是“f(x) cos(x )(x R)为偶函数 ”的( )A. 充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不比哟啊条件变式 3 设 f(x) sin( wx)，其中 w 0，则 f (x) 是偶函数的充要条件是(A.f (0)

10、 1 B. f(0) 0 C. f (0) 1 D. f (0) 0例 4.17设函数 f(x) sin( 2 x )(x R) ，则 f(x)是( ) 2A. 最小正周期为 的奇函数B.最小正周期为 的偶函数C.最小正周期为 的奇函数2D.最小正周期为 的偶函数2解析 f(x) sin( 2 x ) cos 2x ，所以是最小正周期为 x的偶函数 .故选 B.221变式 1 若函数 f (x) sin2 x (x R)，则 f(x) 是( )2A. 偶函数且最小正周期为B.奇函数且最小正周期为C.偶函数且最小正周期为 2D.奇函数且最小正周期为 2变式 2为周期的偶函数的是(列函数中，既是

11、(0, ) 上的增函数，又是以2A. y cos2x B. ysin2xC.ycosxD.ysinx二、函数的周期性例 4.18 函数 ysin( 2 x) cos( 2x6) 的最小正周期为(A.2B.4C.2D.解析函数 ysin( 2x评注) cos(2x关于三角函数周期的几个重要结论：1) sin(4x62.故选 A21)函数A sin( wx) b, y A cos(wx )b,y A tan(wx2) b 的周期分别为 T ， w2)函数Asin(wx),y Acos(wx ) ，y A tan(wx) 的周期均为 T3)函数Asin(wx) b(b 0), yAcos(wx )

12、b(b 0) 的周期均 T变式 1函数 y sin( 2x ) cos(2 x )的最小正周期和最大值分别为(A. ,1B. , 2C.2 ,1D.2 , 2变式 2已知函数 f (x) sin x(sin x cos x)( x R)，则 f ( x)的最小正周期为变式 3设函数 f(x) sin3x sin3x ，则 f (x)为( )A.周期函数，最小正周期为B.周期函数，最小正周期为C.D.周期函数，最小正周期为 非周期函数 、函数的单调性3232例 4.19 函数 yA.0,32sin( 2x)(x67B. , 12 120, ) 为增函数的区间是( )C.3,5565D.56,解析

13、 因为 y2sin( 2x)62sin(2x6)，所以 y 2sin( 6 2x)的递增区间实际上是y 2sin(2x262解得kxk5 (k Z) .35x6令k0，得，又因为 x0, ，36所以x5.即函数y 2sin(2x)(x 0,5)的增区间为 , .故选 C36636评注三角函数的单调性，需将函数 yA sin( wx) 看成由一次函数和正弦函数组成的复合函数，复合函数单调区间的单调方法转化为解一元一次不等式令 2kZ)，2x如函数 yAsin( wx) 的递减区间 .2kx 3 (k)(A 0,w 0) 的单调区间的确定基本思想是吧 wx 看做是一个整体，如由利用2k2wx2k2

14、wx2kx (k Z) 解出 x的范围，所得区间即为增区间；由232kx (k Z)解出 x的范围，所得区间即为减区间 .若函数 y A sin( wx )中2A 0,w0 ，可用诱导公式将函数变为 y Asin( wx ) ，则 y Asin( wx ) 的增区间为原函数的减区间，减区间为原函数的的增区间 .如 y sin( x) sin(x ) ，令44334 (k Z)32k x 2k ，即 2k x 2k (k Z)，可得 2k ,2k2 4 2 4 4 4 为原函数的减区间 .对于函数 y A cos(wx), y A tan( wx) 的单调性的讨论与以上类似处理即可3变式 1 若

15、函数 y sinx f(x) 在 , 内单调递增，则 f(x) 可以是( )44A.1 B.cosx C.sinx D. cosx变式 2 已知 w 0，函数 f (x) sin( wx15 1 3 1A. , B. , C.(0, 24 2 4 2) 在 ( , ) 上单调递减，则 w 的取值范围是( 42D.(0,2变式 3 已知函数 f (x) 3sin wx cos(wx ) cos(wx ), x R,(w 0) .33(1)求函数 f (x) 的值域；(2)若 f (x) 的最小正周期为 ,x 0, ，求 f (x) 的单调递减区间22四、函数的对称性(对称轴、对称中心) 例4.3

16、0函数 y sin(2x 3)图像的对称轴方程可能是(A. x B. C.x D.x6 12 6 12解析 解法一：已知 y sin x 的对称轴方程是 x k (k Z)2 k令 2x 3 k (k Z) ，得 x (k Z) ，2 2 12当 k 0 时， x ，故选 D.12解法二，当 x时，2x0. 其正弦值为0；63当x时， 2x1236，其正弦值不等于1 或 -1当x时， 2x2，其正弦值不等于 1或-1633当x时， 2x，这时 sin 1.12322故选 D评注 关于三角函数对称的几个重要结论；1)函数 ysin x 的对称轴为 xk (k2Z) ，对称中心为 (k .0)(k

17、Z)；2)函数 ycosx 的对称轴为 xk (k Z)，对称中心为 (k ,0)(k2Z)；3)函数 ytan x函数无对称轴，对称中心为k(k ,0)(k Z) ；k (k Z) ，得4)求函数 y A sin( wx ) b(w 0) 的对称轴的方法；令 wxk (k Z)，得 x，即对称中心kx 2 (k Z) ；对称中心的求取方法；令 wx w为 (k ， b) .wk5)求函数 y Acos(wx ) b(w 0)的对称轴的方法； 令wx k (k Z)得 x 2 wk即对称中心为 (2 ,b)(k Z)变式 1 已知函数 f (x) sin(wx )(w3，则该函数的图像(wA.

18、关于点 ( ,0) 对称3B.关于直线 x对称4C.关于点 ( ,0) 对称D .关于直线 x对称43变式 2 y sin(x ) 的图像的一个对称中心是( )43A.( ,0) B.( 34 ,0)3C. (34 ,0) D.(2,0)0) 的最小正周期为2x 2x变式 3 y cos25x sin 25x 的图像中，相邻两条对称轴之间的距离是 变式 4 将函数 y sinx 3 cos x的图像沿 x轴向右平移 a个单位 (a 0) ，所得图像关于 y 轴对称，则a 的最小值是( ) .A. 7 B. C. D.6 2 6 3五、三角函数性质的综合思路提示 三角函数的性质(如奇偶性、周期性

19、、单调性、对称性)中，尤为重要的是对称性 .因为对称性 奇偶性 (若函数图像关于坐标原点对称， 则函数 f (x) 为奇函数； 若函数图像关于 y 轴对称， 则函数 f(x) 为偶函数)； 对称性 周期性(相邻的两条对称轴之间的距离是 T ；相邻的对称中心之间的距离为 T ；相邻的对称轴 22 与对称中心之间的距离为 T )；对称性 单调性(在相邻的对称轴之间，函数 f (x) 单调，特殊的，若 4f (x) A sin( wx), A 0,w 0，函数 f(x) 在 1, 2 上单调，且 0 1, 2，设 max 1, 2 ，则T 深刻体现了三角函数的单调性与周期性、对称性之间的紧密联系)f

20、( ) 对一切 x R恒成立，则6 f (710 ) f (x) 既不是奇函数也不是偶函数； f (x) 的单调递增区间是 k ,k 2 (k Z) ；63存在经过点 (a,b)的直线与函数 f (x)的图像不相交 .以上结论正确的是 (写出所有正确命题的序号)分析 函数 f(x) a2 b2 sin(2x )，tan b ，其中一条对称轴为 x ，函数的最小正周期 a6T ，通过对称轴 对称中心 (对称轴与零点相距 T 的奇数倍) 通过对称轴 奇偶性 (若函数 f ( x) 为 4奇函数，则 等于 T 的奇数倍；若函数 f (x)为偶函数，则 等于 T 的偶数倍)；通过对称性 单调性(在6

21、4 6 4相邻的两条对称轴之间， f ( x)单调递增或单调递减) .解析 f ( x) a2 b2 sin(2x ) ，其中 tanb ，f ( xaf(6)对一切xR恒成立，知直线 x 6是 f (x) 的对称轴，又 f (x) 的最小正周期为11对于： f (11 )1243) 可看做 x3，加了 3 个周期所对应的函数值，所以6411f(1112 ) 0.故正77，因为，所以f ( )f ( )210 5 2105对于：函数 y f(x) 周期 T因此 f (710)错误，故不正确对于：因为 既不是 T 的奇倍数，也不是64T 的偶倍数，所以函数4f ( x) 的图像既不关于原点对称，

22、也不关于 y 轴对称，所以函数 f ( x)既不是奇函数也不是偶函数，故正确22 对于：依题意，函数 f ( x)相邻两条对称轴 x1 ,x2 ，在区间 k ,k (k Z) 上函6 3 6 3数 f (x) 单调，不能确定是单调递增，还是单调递减，故不正确例 4.21设 f (x) asin2x b cos2x ，其中 a,b R,ab 0, 若 f (x)11 f (1112 ) 0;对于：因为 f (x) asin2x bcos2xa2 b2 sin(2x )其中 tan b )，所以 af(x) a2 b2 ，又 ab不正确，应填 .0 ，所以 ba2 b2 ，因此经过点(a,b)的直

23、线与函数 f (x) 的图像相交，例 4.22 设 f (x) 4 cos( wx)sin wx6cos(2wx ) ，其中 w1)求 f (x) 的值域；32)若 y f(x)在区间 32 ,2上为增函数，求 w的最大值 .解析1)f (x) 4 cos(wx ) sin wx cos2wx4(cos wx cos sin wx sin ) sin wx cos2wx2 3 sin wx coswx 2sin2 wx cos2wx3sin 2wx 1 cos 2wx cos2wx 3 sin 2wx 1因为 sin 2wx2)解法一： 1,1所以函数 f ( x)的值域为 1 3,1 3 .

24、f(x) 3sin2wx 1，由 y f(x)在区间 32 ,2上为增函数，的 3w ,w 2 , 2(w0)3wx故wx2 ，得 0 w11 ，则 w 的最大值为 .6解法二： 由f (x)3sin 2wx 1(w30)在区间 32 , 2上为增函数，含原点的增区间的对称型可知3函数 f (x) 在 3232 上也为增函数，T2故 T 3 ，即 T 6 ，得 22 2w1，故0 w 61，则 w的最1大值为 16评注 一般的，若 f (x)(xR)为奇函数，在 1, 2 上为增函数，其中2 ，若令max 1 , 2 ，则T ，即可求出 w 的范围 .4变式 1 已知函数 f (x)2sin(

25、 wx ) ，其中常数 w 0，若 y f(x) 在2 上单调递增，求 w 的取3值范围 .变式 2 已知函数 f (x)2sin(wx)(w 0) ，f ( ) f ( ) 在 , 上的虽小值为 -2，则 w 的最小值f(6)例4.23若 f(x) sin(wx 3)(w 0)，f( )且在 ( , )上有最小值无最大值，则3 6 3解析依题意，如图 4-24 所示，在 x632得w8k 14.取k 0，得 w3143342k3,k Z2评注本题融汇了三角函数 f (x)sin( wx ) 的最值(对称轴) 、周期性、单调性之间的相互关系与转化题型 2 根据条件确定解析式方向一： “知图求式

26、 ”，即已知三角形函数的部分图像，求函数解析式 思路提示已知函数图像求函数 yA sin( wx )(A 0,w 0) 的解析式时，常用的解析方法是待定系数法，由图中的最大值或最小值确定A，由周期确定 w ，由适合解析式点的坐标确定 ，但有图像求得的y A sin( wx )(A0,w 0) 的解析式一般不唯一，只有限定的取值范围，才能得出唯一解，将若干个点代入函数式， 可以求得相关特定系数 A,w, ，这里需要注意的是， 要认清选择的点属于 “五点 ”中的第一点 ”(及图像哪一个位置点，并能正式代入式中，依据五点列表法原理，点的序号与式子的关系是：上升时与 x 轴的交点)为 wx0；第二点 ”(即图像曲线的最高点)为 wx；“第三点 ”(及图像下降时与轴的交点) ，为 wx；“第四点 ”(及图像曲线的最低点)为wx3 ；“第五点 ”2及图像上升时与 x 轴的交点)为 wx例 4.24 函数 f (x) A(sin 2 x)(A,R) 的部分图像如图1 A.2B.-1C.分析 对于 y A sin( wx ) 的解析式的确定，通过最值确定D.点)来确定 ；对于零点要分析向上零点还是向下零点解析解法一：依题意A 2,232k,k Z得 2k ,k Z ，26所以f (0) 2sin