二阶电路的零输入响应.docx
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二阶电路的零输入响应
二阶电路的零输入呱应
§5。
6二阶电路的零输入响应
5.6.1二阶电路的初始条件
初始条件在二阶电路的分析逬程中起着决定性作用，确定初始条件时，必须注意以下几个方面。
第一，在分析电路时，要始终仔细考虑电密两端电压叱的檢性和流过电感电流务的方向9
第二，电容上的电压总是连续的，即
c（0_）
（5-31）
流过电感的电流也总是连续的，即
竝0）=兀©）
（5-32）
确定初始条件时，首先耍用（5-31）和（5—32）式确定没有突变的电路电流，电容电压和电感电流的初始值。
5o6.2RLC串联电路的零输入响应
如图5-37所示为RLC串联电路。
开关S闭合前，电容己经充电，且电容的电压%=%,电感中储存有电场能，且初始电流为当y=o时，开关s闭合,电容将通过垃放电，其中一部分被电阻消耗，另一部分被电感以磁场能的形式储存，之后磴场能有通过R转换成电场能，如此反复;同样，也有可能先是由电感储存的磁场能转换成电场能，井如此反复，当然也可能不存在能量的反复转换。
由@5-37所示参考方向，据KVL可得
一吃+叫+叫=0
且有fc=Y学，如=Ri=RC叫,妊=詔=卫警。
将其代入上端
atattudt
式（573〕是RLC早联电路放电过程以纶为变童旳微分方程，为一个线性常系数二阶微分方程。
如果以电流亍作为变量，则RLC串联电路的微分方程为
LC^+RC—+i=O卅dt
（5-34）
在此，仅以吃为变童进行分析，令Uc=A^'幷代入（5—33）,得到其对应的特征方程
£3+g+i=o
求解上式,得到特征根为
（5_
35）
因此，电容电压坨用两特征根表示如下:
uc<5—
36）从式（5-35）可以看出，特征根坷、刃2仅与电路的参数和结构有关，而与激励和初始储能无关。
p、岛又称为固有频率，单位为奈培"每秒（N訂s）,它与电路的自然响应函数有关.
棍据换路定则，可以确定方程（5-33）的初始条件为u^Q^=u^Oj=U0.
KOJ=t（OJ=/0?
又因为『c=—C讐，所以有C讐二一答。
将初始条件和式（5-3
6）联立可得
Al+—Uq
Aa+=~
（5-37）
首先讨论有己经充电的电容向电阻电感放电的性质，即5工0且Z0=O,有
①奈培是一个无量銅单位，以奈培（JohnNapier.英格兰数学家〉的名字命名。
j_pPq
Zli
Pl-Pl心-込P2-P1
（5—38）
将的表达式代入<5-36）式即可得到RLC早联电路的零输入响应，但特征根/V昭与电路的参数心L.C有关'根据二次方程根的判别式可知"r為只有三种可能情况，下面对这三种情况分别讨论
L过阻尼情况
在此情况下，Q为两个不相等的实数'电容电压可表示为
2怎加*）
（5—39）
根据电压电流的关系'可以求岀电路的其他响应为
i=—c如=-—穴）也Pl-Pl?
（5—40）
A急加*“）
（5-4
1）
其中利用了小巾=時的关系。
由于pl>p2.因此r>o时，尹》*且—>—^>o.所以r>o时Pi_P\Pi_P\
如一亘为正•从（5-40）可以看岀，当：
>0时M也一亘为正，但是进一步分析可知，当
UO时,xo+）=o,当（—8时，炉）=0,这袤明疋）将岀现极值，可以求一阶导数得
到，即
巩尹-=0
故t==—?
一加虽
p^~Pia
其中J为电流达到最大的时刻•吃.人妆的波形如图5-38所示。
图5-38过阻尼放电过程中叫「人叫的披形
从图5-38可以看出，电客在整个过程中一直在释放储的电能，称之为非振荡放电,有叫做过阻尼放电。
当时电感吸收能蛍建立磁场；t>im时，电感释放能莹，磁场衰减，趋向消失。
当t=tm时，电感电压过零点。
2.欠阻尼情况
二F*j3
（5
—42）
其中心花称之为振荡电路的袁减系数;
”彳舟-侥I称之为振蕩电路的衰减角频率。
屁称之为无阻尼自由窗频率,或浮振角孵。
显然有圧二疋+少2,令刃二arctan（弓,
则有a二％cosCcd—g^sulO,
如图5-39
所示。
根据欧拉公式
图5—了9a.0.%之间的关系
g"=cos0+jsin0
e西=cos0_/sin0
〈5—43）
可得
-丹jo
A=-^e，Pi=~Gke
所以有
=匕-[—*尸T十他忍U]—J2af
fL元-
=乞鱼£"sin（m十0）
Of
（5—44）
根据式（5-40）,（5-41）可知
『二仏七S）
ojL
（5-45）
uL=一乞空©-叫血（曲_仍（5-
8
46）
从上述情况分析可以看出，％、八的液形呈振荡袞减状态•在衰减过程中，两种
储能元件相互交换能量'如表5—2所示。
%、J叫的波形如5-40所示。
图5-40欠阻尼情况下坨、1.叫的彼形
表5—2
007T-0电容
释戒
釋放
吸收
电感
吸收
絳放
釋放：
电阻
消耗
消耗
梢耗
从欠阴尼情况下叫、I.叫的液达式还能得到以下結论：
（1）皿=后，无=0丄23........为电流『的过零点，即昨的极值点。
（2）曲二b+0,*=0,1,23为电感电压叫的过零点,即电流r的极值点。
（3）at=k7c-0,A:
=0X23••……为电客电压坯的过零点。
奁上述阻尼的情况中，有一种特殊情况，疋=0,此时/V马为一对共砲虚数，
P2=一j%
Pi=/®o
代入到（5-44）,（5-45）t炉46）式可得
叱二％sin（砒+空）
i=U叫耳sin（fiV）
（5-47）
（5-48）
7C
=Z70sm（cV+-）
（5-49）
由此可见，叫、人竝各量都是正弦函数，戯时推移其振幅并不衰减•其波形如图5—
41所示
5-41LCW入电路无阻尼时九"八盘乙波形
3。
R=2总，临界阻尼惰况
Pl=P1=
在此条件下,特征方程具有垂根，即
全微分方程（5—33）的通解为
%=（A+勾）戶
根拯初始条件可得
A=2^0
所以，很容易得到
%二IToQ+oO*逐
（5-50）
（5-51）
（5_52）
显然，uc.i.if’不作振荡变化，疏着时间的推移逐渐袞减，其衰减过程的波形与图
5-38类似。
此种状态是振荡过程与非振荡过程的分界线，所以将"2洁的过程称为临
界非振荡过程，具电阻也披称之为临界电阻。
§5.7二阶电路的零状态响应
如果二阶电路中动态元件的储能（电容储存电场能与电感储存的磁场能）均为零时,其响应仅由外施激励产生，称为二阶电路的零输入响应.
5.7.1RLC串联电路的零状态响应
电路如图5-47所示，开关S闭合前，电容和电感电流均为零・f=0时，开关S闭合。
图5-47RLC串联电路的零状杰响应
以如为电路的变BWVCR和KV「有
（5—63）方程（5£4）为二阶常系数非齐次微分方程，其解由两部分组成，一部分为非齐次方程的特解u另一師分为对应齐次方程的通解述二*巴即处=血十血。
方程（5-63）对应的齐次微分方程
（5-64）
方程〔5-64）与方程〔5—33）気全相同，其对应的特征方程的根也有三种情况。
将结论分别表示如下
1.尺＞2（吕，非振荡充电过程
电路响应表示为
Us
其中ZV卫2为特征根，表达式与（5-35）式相同・！
£“■和％的波形如^5-4人生的磨难是很多的’所以我们不可对于每一件轻黴的饬害都过于敏感。
在生活磨难面前，精補轴1197坚膨吠动于衷是我们抵抗罪恶和人生意外的最好武器。
8所示，
图5-48%、F和冷的波形图
其中F=一1一luflf，是电感电压过零点，也是电流F达到最大值的时刻.
TTTT
”2—PlPl
2.，振荡充电过程
电路响应表示为
坨二叱（1+2/上勺+%
宀厂
L
叫二叫严Q—«0
其中a=2L,此情况下的充电过程也为耳左扼荡充电.
5.7.2RLC并联电路的零状态响应
二阶RLC并联电路如图5-49所示，wc（0）=0,^（0）=0.r>0时,开关S断
开。
根摇KCL有
k+h+h=4
图5-49ELC并联电路的零我态响应
如果以兀为待求变量，贝悄
為I皿
di1Rdt
（5-65）方程以（5-65）是二阶线性非齐次常微分方程，与（5-63）式的求解过程相同，其通解由特解兀和对应吝次微分方程通解兀两部分组成。
如果豪为直流激励或正弦激励，则取稳态解为恃解而通解乙与零输入响应形式相同，其积分常数有初始条件来确定。
§5。
8二阶电路的全响应
在前两节中所讨论的二阶电路中，旻么只有初始储能,旻么只有外施激励。
分别得到二阶微分方程求昶的方法非當相似°如果二阶电路既有初始储能又接入了外施激励，则电路的响应称为二阶电路的全响应.分析一阶电路的全响应的方法在二阶电路中同样适用，一般用零输入响应与零状态响应叠加来计算全响应.
例电路如图5—51所示，己知叫（。
_）二0,二0.5/,f=0时开关S闭合，求
开关闭合后电感中的电流iL（i）.
图5-51例5—12图
解:
开关S闭合前，电惑中的电流iL（0_）=0^,具有初始储能;开关S闭合后：
直流激
励源作用于电路，故为二阶电路的全响应。
（1）列出开关闭合后的电路微分方程，列结点①KVL方程有
RLC令+碍+咫二10
将参数代入得
+普+戾“
设电路全响应为4（0=4+?
（4〕全响应为
又因为初始条件为
所以有
求解得
所以电流壮的全响应为
（2＞根据强制分量计算出特解为
⑶为确定通解,首先列岀特征方程为31
p+_卫+_=0
52
特征根为,
p2=-G.l-j0.7
特征根Pi,p是一对共觇复根,所以换路后暂态过程的性质为欠阻尼性质，即
^=Ae^usin（Q.7t+ff）
加）=屮
=2+Ae^Atsin（（}.7t+ff）
2+Asine=0.5（A）
4
O.7Xcos0—0.L"1.52
0=26L9°
iL（i）=[2+L52e^lfsin（0.7r+261.9^）]CA）
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