第11讲几何图形计数w.docx

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第11讲几何图形计数w

第12讲几何图形计数

知识方法扫描

计数是组合数学的重要内容，计数的方法有分类法，分步法，递推法和与对应法等。

1．分类计数

在计数时，为了做到不重复也不遗漏，可以先将图形按某个标准分类，然后将其每一类相的方法数加，便得到了总数。

这种方法叫做分类法。

2．分步计数

在计数时，为了有序地思维，我们常将其分成若干步，然后将其每一步的方法数相乘，便得到了总数。

这种方法叫做分步法。

3．递推计数

为了求出计数的总数，当所研究的对象数目较大时，我们常常对较小数量的对象进行观察，计算。

如果对研究对象的个数n观察，计算后，发现由n=1的结果可以算出n=2的结果，由n=2的结果可以算出n=3的结果，等等，我们就找到了计数的规律。

这种方法叫做递推法。

4．对应计数

在解决某些计数问题时，为了解决某个问题A，我们将其中的研究对象和另一个问题B中的研究对象配成对，通过解决B问题来达到解决A问题的目的。

这种方法叫做对应法

经典例题解析

例1．如图，直线上有6个点：

A，B，C，D，E，F，以这些点为端点的线段有多少条？

解1对于两条线段，只要有一个端点不同，就是不同的线段，我们以左端点为标准，将线段分5类分别计数：

（1）以A为左端点的线段有AB，AC，AD，AE，AF共5条；

（2）以B为左端点的线段有BC，BD，BE，BF共4条；

（3）以C为左端点的线段有CD，CE，CF共3条；

（4）以D为左端点的线段有DE，DF共2条；

（5）以E为左端点的线段只有EF一条．

所以，不同的线段一共有5+4+3+2+1=15（条）．

解2因为每两点可以连一条线段，我们先取一点，有6种取法；再取第二点，有5种取法。

故一共有6×5=30种取法。

但因先取A点再取B点和先取B点再取A点得到的是同一条线段，在上述计数中被重复计算了，故实际上是30÷2=15种取法，即一共可以连45条线段。

评注：

1．一般地，如果一条线段上有n+1个点（包括两个端点），那么这n+1个点把这条线段一共分成的线段总数为n+（n-1）+…+2+1=

。

2．有些题目，形式上和上题不同，但思维方式是一样的。

如下面一道题：

“n个人参加6个小组,如果其中每个人都参加且只参加2个小组,每2个小组共有且仅共有一名组员,求n.。

”

若将6个小组看成6个点，每两点的连线就是这两个小组的公共组员，于是n就是这样连接成的直线的条数了。

例2（第18届“迎春杯”数学竞赛试题）

如图DE、FG、HI、BC分别平行,图中梯形的个数一共有个.

解：

按照梯形两腰所在线段分类计数.

（1）平行线截线段AB与AC形成3+2+1=6（个）梯形；

（2）平行线截线段BD与CD形成2+1=3（个）梯形；

（3）平行线截线段BF与FC形成

（1）个梯形；

（4）平行线截线段CD与CE形成2+1＝3（个）梯形；

（5）平行线截线段CF与CG形成1（个）梯形；

（6）平行线截线段CF与CJ形成1（个）梯形；

因此图中梯形的个数一共有6+3+1+3+1+1＝15（个）.

例3（1995年第5届华杯赛口试备用题）

由35个单位正方形组成的长方形中，如图所示有两个“A”，问包含两个“A”在内的由小正方形组成的长方形（含正方形）有多少？

解1含两个A的长方形，与二，三两行有公共部分。

它们可能与第一行有公共部分，也可能与第一行没有有公共部分，故可以分为两类；

每一类的长方形，可能和第四，五两行有公共部分，或都没有公共部分，或仅与第四行有公共部分，而与第五行没有公共部分，即又分为三类。

故从行考虑共有（2×3）种方法；

同理，从列来考虑有（3×4）种方法；

于是，含两个“A”在内的由小正方形组成的长方形（含正方形）有（2×3）×（3×4）=72个。

解2要确定一个符合条件的长方形，需要有上下左右四条边。

选择上边所在的直线，有2种方法；选择下边所在的直线，有3种方法；

选择左边所在的直线，有3种方法；选择右边所在的直线，有4种方法。

于是，含两个“A”在内的由小正方形组成的长方形（含正方形）有2×3×3×4=72个。

例4．如图，在一个8×8的方格棋盘中，有多少个由4个小方格组成的“凸”字形图形？

解法1考虑下图“凸”字形中的A：

当A在方格棋盘的边上时，对应1个“凸”字形，共有6×4=24个；

当A在方格棋盘的内部时，对应4个“凸”字形，共有6×6×4=144个。

于是共有24+144=168个。

解法2在每个2×3的长方形中可以找到2个“凸”字形图形。

而在8×8方格棋盘中2×3的长方形有（6×7）×2=48（个）。

所以可以找到84×2=168个“凸”字形图形。

例5（1996年汉城国际数学邀请赛中国集训队试题）

如图，a∥b,直线a上有十个点：

A1，A2，…，A10；直线b上有九个点：

B1，B2，…，B9。

将a上的每一个点与b上每一个点相连，可以得到许多线段，已知没有三条线段交于一点，问这些线段一共有多少个交点？

解．在a,b上各取两点，四点确定唯一的一个交点。

从a上取两点有10×9÷2=45种方法，从b上取两点有9×8÷2=36种方法，一共可以得到45×36=3240个交点。

例6．如图，将边长为1的等边三角形三角形的每一边4等分,过各分点作

另外两边的平行线,在所得的图形中有多少个平行四边形?

解1将尖角向上的平行四边形分成三类,分别计算:

平行四边形两边长都为1的,有6个;平行四边形一边长为1,另一边长为2的,有6个;平行四边形两边长都为3的,有3个;一共有15个.

同理,夹角指向右下方或左下方的也各有15个,故一共有45个平行四边形.

解2图中每个平行四边形有一对锐角顶点,它们不在同一条直线上;反过来,任何两个不在同一条直线上的点可确定一个边与△ABC的两条边分别平行的平行四边形.

图中共有1+2+3+4+5=15个交点,共有1+2+…+14=105个点对.其中两点在同一直线上的应该删去.因平行于AB的直线上依次有2,3,4,5个点,从而共应删去

3×[1+（1+2）+（1+2+3）+（1+2+3+4）]=60个点对.故图中共有105-60=45个平行四边形.

评注解1是分类计数的,这种解法比较烦琐,当数字较大时容易出错,且不易推广到一般.

解2是利用对应法来解题的,即找出点对的个数和平行四边形个数的对应关系,将对平行四边形计数的问题转化为对点对的计数问题来解决.这种解法容易推广到一般,本题中若将三角形的每一边n等分,则平行四边形的个数是

（n-1）n（n+1）（n+2）.

例7.（1990年北京市初中数学竞赛试题）

如图，我们规定在边长为1的正方形方格纸上，从格点O到与它相邻的格点A，B，C，D，E，F，G，H的直线运动形成的线段分别记为数码0，1，2，3，4，5，6，7。

如以O为始点，数码2代表线段OC，数码7代表线段OH等等，在图2中画出了从P点出发，依次按数码001223355的轨线图形。

请你在图3的边长为1的正方形方格纸上，从点M出发，依次按数码006756442312画出相应的轨线图形，以这轨线图形周界和内部的格点为顶点，可画出面积不小于2的正方形的个数是个。

（图1）（图2）（图3）

解．006756442312所对应的轨线图形为下图中的粗线所表示的封闭折线。

在这个图形的边界上有12个格点，内部有5个格点。

这17个点可以形成面积不小于2的正方形顶点的四点组13个，其中：

①面积为2的5个；②面积为4的3个；③面积为5的4个；④面积为8的1个。

例8.（2003年第8届全国数学公开赛试题）

在一个平面内，画1条直线，能把平面分成1+1=2部分；画2条直线，最多能把平面分成1+1+2=4部分；画3条直线，最多能把平面分成1+1+2+3=7部分；画4条直线，最多能把平面分成1+1+2+3+4=11部分；……照此规律计算下去，画2003条直线，最多能把平面分成___________部分.

解1条直线最多将平面分成2个部分；2条直线最多将平面分成4个部分；3条直线最多将平面分成7个部分；4条直线最多将平面分成11个部分．

现在添上第5条直线．它与前面的4条直线最多有4个交点，这4个交点将第5条直线分成5段，其中每一段将原来所在平面部分一分为二，所以5条直线最多将平面分成11+5=16个部分．

完全类似地，5条直线最多将平面分成11+5=16个部分；6条直线最多将平面分16+6=22个部分；7条直线最多将平面分成22+7=29个部分；8条直线最多将平面分成29+8=37个部分等等．

一般地，n条直线最多将平面分成1+（1+2+3+…+n）=

个部分．

当n=2003时,

=1+2003×1002=2007007

即2003条直线，最多能把平面分成2007007部分.

原版赛题传真

同步训练

一选择题

1．平面上有2000条直线，它们每两条都不平行，每三条都不交于一点，它们彼此相交而成的线段的条数是（）

（A）2000×1999（B）1999×1998×1000

（C）2000×1999（D）2000×2001

1．B

每条直线上有1999个交点，有1+2+…+1998=1998×1999÷2条线段，2000条直线上共有（1998×1999÷2）×2000=1998×1999×1000条线段。

2．（2004年江苏省第19届初中数学竞赛试题）

如图是3×3正方形方格，将其中两个方格涂黑有若干种涂法．约定沿正方形ABCD的对称轴翻折能重合的图案或绕正方形ABCD中心旋转能重合的图案都视为同一种图案，例如

就视为同一种图案，则不同的涂法有（）

（A）4种（B）6种（C）8种（D）12种。

2．C

涂两个角上的方块的，有2种；涂两条边上中间的方块的，有2种；涂两方块中有正中一块的，有2种；共6种。

3．（2004年北京初二数学竞赛试题）

平面内的7条直线任两条都相交,交点数最多有a个,最少有b个.则a+b等于（）

（A）42（B）41（C）21（D）22

3．D

7条直线任两条都相交,且无3点共线时，交点数最多，这时每条直线上有6个交点，一共有a=

=21个交点；7条直线交于一点时，交点数最少，b=1.

故a+b=21+1=22.

4．（2002年第17届江苏省初中数学竞赛试题）

如图，有两张形状、大小完全相同的直角三角形纸片（同一个直角三角形的两条直角边不相等）。

把两个三角相等的边靠在一起（两张纸片不重叠），可以拼

出若干种图形，其中，形状不同的四边形有（）

（A）3种（B）4种（C）5种（D）6种

4．B

两条较长的直角边靠在一起的，1种；两条较短的直角边靠在一起的，1种；两条斜边靠在一起的，2种。

共4种

5．（2001年第13届五羊杯初中数学竞赛试题）

如图，∠AOB的两边上分别有5个点，A1，A2，A3，A4，A5，和四个点B1，B2，B3，B4，线段AiBj（1≤i≤5，1≤j≤4）之中，在∠AOB内及边上不相交的线段称为“和睦线对”（不分顺序），例如A5B4和A4B3便是“和睦线对”。

那么图中一共有（）个“和睦线对”

（A）100（B）90（C）66（D）60

5．D

在两边上各取两点，四点恰有一个“和睦线对”。

从OA上取两点有5×4÷2=10种方法，从OB上取两点有4×3÷2=6种方法，图中一共有10×6=60个“和睦线对”。

二填空题

6．（1988年上海市初一数学竞赛试题）

如图是由9个相同的带有对角线的小