高三高考数学国步分项分类题及析答案呀.docx

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高三高考数学国步分项分类题及析答案呀

高三高考数学国步分项分类题及析答案呀

9-6空间向量及其运算（理）

基础巩固强化

1.（2011·芜湖模拟）已知＝（1,5，－2），＝（3,1，z），若⊥，＝（x－1，y，－3），且BP⊥平面ABC，则实数x、y、z分别为（　　）

A.，－，4　　　　　B.，－，4

C.，－2,4D．4，，－15

[答案]　B

[解析]　∵⊥，∴·＝0，即3＋5－2z＝0，得z＝4，又BP⊥平面ABC，

∴BP⊥AB，BP⊥BC，＝（3,1,4），

则解得

2．（2011·日照模拟）若a＝（2，－2，－2），b＝（2,0,4），则a与b的夹角的余弦值为（　　）

A.B.

C．－D．0

[答案]　C

[解析]　cos〈a，b〉＝＝＝－.

3．空间直角坐标系中，A（1,2,3），B（－2，－1,6），C（3,2,1），D（4,3,0），则直线AB与CD的位置关系是（　　）

A．垂直B．平行

C．异面D．相交但不垂直

[答案]　B

[解析]　＝（－3，－3,3），＝（1,1，－1），

＝－3，

又＝（5,3，－5），∥\'，

∴AB∥CD.

4．（2011·天津模拟）已知a＝（2，－1,3），b＝（－1,4，－2），c＝（7,5，λ），若a、b、c三向量共面，则实数λ等于（　　）

A.B.

C.D.

[答案]　D

[解析]　由于a、b、c三向量共面，所以存在实数m，n，使得c＝ma＋nb，

即有解得m＝，n＝，λ＝.

5．（2011·济宁月考）已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，＝，点N为B1B的中点，则|MN|＝（　　）

A.aB.a

C.aD.a

[答案]　A

[解析]　＝－＝－

＝＋－

＝＋－.

∴||＝＝a.

6.（2012·丽水调研）如图所示，PD垂直于正方形ABCD所在平面，AB＝2，E为PB的中点，cos〈，〉＝，若以DA、DC、DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则点E的坐标为（　　）

A．（1,1,1）B．（1,1，）

C．（1,1，）D．（1,1,2）

[答案]　A

[解析]　由题意知A（2,0,0），B（2,2,0），设P（0,0,2m）（m>0），则E（1,1，m），∴＝（－1,1，m），＝（0,0,2m），∴||＝，||＝，·＝2m2，

∵cos〈，〉＝，∴＝，

解之得m＝1，故选A.

7．若向量a＝（1,1，x），b＝（1,2,1），c＝（1,1,1），满足条件（c－a）·（2b）＝－2，则x＝______.

[答案]　2

[解析]　∵a＝（1,1，x），b＝（1,2,1），c＝（1,1,1），∴（c－a）·（2b）＝（0,0,1－x）·（2,4,2）＝2（1－x）＝－2，解得x＝2.

8．若a＝（3x，－5,4）与b＝（x,2x，－2）之间夹角为钝角，则x的取值范围为________．

[答案]　

[解析]　∵a与b的夹角为钝角，

∴a·b<0，

∴3x2－10x－8<0，∴－

又当a与b方向相反时，a·b<0，

∴存在λ<0，使a＝λb，

∴（3x，－5,4）＝（λx,2λx，－2λ），

∴此方程组无解，

∴这样的λ不存在，综上知－

9．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，M、N分别在直线AA1和BD1上运动．当M、N在何位置时，|MN|最小，且|MN|的最小值是________．

[答案]　

[解析]　建立如图所示空间直角坐标系，则A（1,0,0），A1（1,0,1），B（1,1,0），D1（0,0,1），

设M（1,0，t），＝λ，则0≤t≤1,0≤λ≤1，

设N（x0，y0，z0），则（x0－1，y0－1，z0）＝λ（－1，－1,1），

∴∴N（1－λ，1－λ，λ），

∴＝（－λ，1－λ，λ－t），||2＝λ2＋（1－λ）2＋（λ－t）2＝2λ2－2λ＋1＋（λ－t）2＝2（λ－）2＋（λ－t）2＋，

当且仅当λ＝＝t时，||2取到最小值，

∴||的最小值为.

10．（2011·福州模拟）已知空间三点A（0,2,3），B（－2,1,6），C（1，－1,5）．

（1）求以、为边的平行四边形的面积；

（2）若|a|＝且a分别与、垂直，求向量a的坐标．

[解析]　＝（－2，－1,3），＝（1，－3,2）．

（1）因为cos〈，〉＝

＝＝.

所以sin〈，〉＝.

所以S＝||·||sin〈，〉＝7.

即以、为边的平行四边形面积为7.

（2）设a＝（x，y，z），由|a|＝，a⊥，a⊥，

可得

⇒或

所以a＝（1,1,1）或（－1，－1，－1）.

能力拓展提升

11.

三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱垂直于底面，已知CA＝CB＝CC1，AC⊥BC，E、F分别是A1C1、B1C1的中点．则AE与CF所成角的余弦值等于（　　）

A.B.

C.D.

[答案]　A

[解析]　以C为原点，、、的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，设AC＝1，则A（1,0,0），B1（0,1,1），C（0,0,0），C1（0,0,1），A1（1,0,1），∵E、F分别为A1C1、B1C1的中点，∴E（，0,1），F（0，，1），∴＝（－，0,1），＝（0，，1），

∴cos〈，〉＝＝＝，故选A.

12．（2011·天津模拟）正四面体ABCD的棱长为2，E、F分别为BC、AD的中点，则EF的长为（　　）

A．1B.

C.D．2

[答案]　C

[解析]　＝＋＝－（＋）＋，

由条件知||＝||＝||＝2，·＝·＝·＝2，

∴||2＝[||2＋||2＋||2＋2·－2·－2·]＝2，∴||＝.

13．（2012·中山市模拟）如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若＝a，＝b，＝c，则下列向量中与相等的向量是（　　）

A．－a＋b＋cB.a＋b＋c

C．－a－b＋cD.a－b＋c

[答案]　A

[解析]　＝＋＝＋（＋）

＝＋（－＋）＝c－a＋b，故选A.

14．（2011·泰安模拟）如图，空间四边形OABC中，＝a，＝b，＝c，点M在OA上，且OM＝2MA，N为BC中点，则等于________．

[答案]　－a＋b＋c

[解析]　＝－＝（＋）－

＝（b＋c）－a＝－a＋b＋c.

[点评]　空间向量的线性表示及运算与平面向量类似，要结合图形灵活运用三角形法则和平行四边形法则．

15．（2011·东营期末）若a＝（1,5，－1），b＝（－2,3,5）．

（1）若（ka＋b）∥（a－3b），求k；

（2）若（ka＋b）⊥（a－3b），求k.

（3）以坐标原点O为起点作向量＝a，＝b，求O到直线AB的距离．

[解析]　ka＋b＝（k－2,5k＋3，－k＋5），

a－3b＝（1＋3×2,5－3×3，－1－3×5）

＝（7，－4，－16）．

（1）∵（ka＋b）∥（a－3b），

∴＝＝，解得k＝－.

（2）∵（ka＋b）⊥（a－3b），

∴（k－2）×7＋（5k＋3）×（－4）＋（－k＋5）×（－16）＝0.

解得k＝.

（3）由条件知A（1,5，－1），B（－2,3,5），

∴＝（－1，－5,1），＝（－3，－2,6），

·＝19，||＝7，

∴O到直线AB的距离d＝＝.

16.

如图，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC綊AD，BE綊FA，G、H分别为FA、FD的中点．

（1）证明：

四边形BCHG是平行四边形；

（2）C、D、F、E四点是否共面？

为什么？

（3）设AB＝BE，证明：

平面ADE⊥平面CDE.

[解析]　

由题设知，FA、AB、AD两两互相垂直．如图，以A为坐标原点，射线AB为x轴正半轴，建立如图所示的直角坐标系A－xyz.

（1）设AB＝a，BC＝b，BE＝c，则由题设得A（0，0,0），B（a,0,0），C（a，b,0），D（0,2b,0），E（a,0，c），G（0,0，c），H（0，b，c），F（0,0,2c）．

所以，＝（0，b,0），＝（0，b,0），

于是＝.又点G不在直线BC上，则GH綊BC，

所以四边形BCHG是平行四边形．

（2）C、D、F、E四点共面．理由如下：

由题设知，F（0,0,2c），所以

＝（－a,0，c），＝（－a,0，c），＝，

又C∉EF，H∈FD，故C、D、F、E四点共面．

（3）由AB＝BE，得c＝a，所以＝（－a,0，a），＝（a,0，a），

又＝（0,2b,0），因此·＝0，·＝0，

即CH⊥AE，CH⊥AD，

又AD∩AE＝A，所以CH⊥平面ADE.

故由CH⊂平面CDFE，得平面ADE⊥平面CDE.

[点评]　如果所给问题中存在两两垂直的直线交于一点，容易将各点的坐标表示出来时，可用向量法求解．如果其所讨论关系不涉及求角，求距离或所求角、距离比较容易找（作）出时，可不用向量法求解，本题解答如下：

（1）由题设知，FG＝GA，FH＝HD，所以GH綊AD.

又BC綊AD，故GH綊BC，

所以四边形BCHG是平行四边形．

（2）C、D、F、E四点共面．理由如下：

由BE綊AF，G是FA的中点知，BE綊GF，

所以EF∥BG，

由

（1）知BG∥CH，所以EF∥CH，故EC、FH共面．

又点D直线FH上，

所以C、D、F、E四点共面．

（3）连结EG，由AB＝BE，BE綊AG，及∠BAG＝90°知四边形ABEG是正方形，

故BG⊥EA.由题设知，FA、AD、AB两两垂直，故AD⊥平面FABE，

因此EA是ED在平面FABE内的射影，∴BG⊥ED.

又EC∩EA＝E，所以BG⊥平面ADE.

由

（1）知，CH∥BG，所以CH⊥平面ADE.由

（2）知F∈平面CDE，故CH⊂平面CDE，得平面ADE⊥平面CDE.

1．（2011·郑州一中月考）已知向量a＝（1,2,3），b＝（－2，－4，－6），|c|＝，若（a＋b）·c＝7，则a与c的夹角为（　　）

A．30°B．60°

C．120°D．150°

[答案]　C

[解析]　a＋b＝（－1，－2，－3）＝－a，

故（a＋b）·c＝－a·c＝7，得a·c＝－7，

而|a|＝＝，

所以cos〈a，c〉＝＝－，〈a，c〉＝120°.

2．在空间四边形ABCD中，·＋·＋·的值为（　　）

A．0B.

C．1D．无法确定

[答案]　A

[解析]　·＋·＋·

＝·（－）＋（－）·＋（－）·

＝·－·＋·－·＋·－·＝0，故选A.

3．已知斜三棱柱ABC－A′B′C′，设＝a，＝b，＝c，在面对角线AC′和棱BC上分别取点M、N，使＝k，＝k（0≤k≤1），求证：

三向量、a、c共面．

[解析]　＝＋＝＋k

＝＋k（－）

＝a＋k（b－a）＝（1－k）a＋kb，

＝k＝k（＋）＝kb＋kc，

＝－＝（1－k）a－kc.

∵向量a和c不共线，∴、a、c共面．