专题基本不等式常见题型归纳教师版.docx

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专题基本不等式常见题型归纳教师版

专题函数常见题型归纳

三个不等式关系：

（1）a，b∈R，a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时取等号．

＋

ab，当且仅当a＝b时取等号．

（2）a，b∈R，a＋b≥2

（3）a，b∈R，

a2＋b2

a＋b2

，当且仅当a＝b时取等号．

≤（

2

）

2

上述三个不等关系揭示了

a2＋b2，ab

，a＋b三者间的不等关系．

其中，基本不等式及其变形：

＋

a＋b2

a，b∈R

，a＋b≥2ab（或ab≤（

）），当且仅当a＝b

2

时取等号，所以当和为定值时，可求积的最值；当积为定值是，可求和的最值．利用基本

不等式求最值：

一正、二定、三等号．

【题型一】利用拼凑法构造不等关系

【典例1】（扬州市2015—2016学年度第一学期期末·11）已知a＞b＞1且

2logab

3logba

7

，则

1

的最小值为

.

a

b

2

1

【解析】∵a＞b＞1且

2logab

3logba7

∴2loga

b

3

7，解得logab

1

或

logab

2

logab

3

，∵

a＞b＞1

∴logab

1

，即a

b2

．a

1

1

a

1

1

1

2

b2

a

1

2a

1

1

1

3．

a1

练习：

1．（南京市、盐城市2015届高三年级第一次模拟·

10）若实数x,y满足x

y

0，

且

log2

xlog2

y

1

2

y2

的最小值为

．

，则x

x

y

解析：

由log2x+log2y=1可得log2xy=1=log22，则有xy=2，那么

x2

y2

（x

y）2

2xy

x

y

=

x

y

=（x

－y）+

4

≥2

（x

4

=4，当且仅当（x－y）=

4

，即x=

3+1，y=

3－1

y）

y

y

x

y

x

x

第1页共1页

x2

y2

时等号成立，故

的最小值为4．

x

y

2.（苏北四市（徐州、淮安、连云港、宿迁）

2017

届高三上学期期末）若实数

x,y满足

xy3x3（0x

1），则

3

1

的最小值为

．

2

x

y

3

3.（无锡市2017

届高三上学期期末）已知a

0,b0,c2，且a

b2，则

accc5

的最小值为.

bab2c2

【典例2】（南京市2015届高三年级第三次模拟·12）已知x，y为正实数，则4x＋y

4x＋yx＋y

的最大值为

．

解析：

由于

4x

＋

y

4x＋y

x＋y=

4x（x

y）y（4xy）

4x2

8xy

y2

（4x

y）（xy）

=

2

5xy

y2

4x

=1+

3xy

=1+

3

≤1+

3

4

，

4x2

5xy

y2

x

y

x

y

=

4

5

2

3

y

x

4

x

5

y

当且仅当

4x=y，即y=2x时等号成立．

y

x

【典例3】若正数a、b满足ab

a

b

3,则a

b的最小值为__________.

解析：

由a,b

R,得ab

a

b

3

（a

b）2,（a

b）2

4（a

b）12

0,解得ab

6

2

（当且仅当a

b且ab

a

b

3,即a

b

3时,取等号）.

变式：

1.若a,b

R,且满足a2

b2

a

b,则a

b的最大值为_________.

解析：

因为a,b

R,所以由a2

b2

a

b

a

b

a2

b2

（a

b）2

（a

b）2

2

2（a

b）

0解得

0ab2（

当且仅当

ab

且

a2

b2

a

b即

ab1

时取等号

）.

2.设x

0,y

0，x

2y

2xy

8，则x

2y的最小值为_______

4

3.设x,y

R，

4x2

y2

xy

1，则2x

y的最大值为_________

2

10

5

4.（苏北四市（淮安、宿迁、连云港、徐州）

2017

届高三上学期期中）已知正数

a，b满

足1

9

ab

5

，则ab的最小值为

a

b

第2页共2页

【题型二】含条件的最值求法

【典例

4】（苏州市2017

届高三上期末调研测试）已知正数

x,y满足x

y

1，则

4

1

x2

的最小值为

y1

练习1．（江苏省镇江市高三数学期末·

14）已知正数x,y满足1

1

1，则4x

9y

x

y

x

1

y

1

的最小值为

.

解析：

对于正数

x，y，由于1

+

1

4x

+

4y

=（

4x

4y）

=1，则知x>1，y>1，那么

1

x

+

x

y

x

y

1

1

y

1

（1+1－1－1

）=（4x

+

4y

）（x1

+y1）≥（

4x

x

1

+

4y

y

1）

xy

x1

y1

x

y

x1x

y1y

2=25，当且仅当

4x·y

1

=

4y

·x

1时等号成立．

x1

y

y1

x

2.（2013~2014

学年度苏锡常镇四市高三教学情况调查

（一）

·11）已知正数x,y满足

x2y2，则x8y

的最小值为

．

xy

解析：

x8y18

18

x

2y

x

14

8y

52

x8y

9，当且仅当

xy

yx

yx

2

2y

x

2yx

x8y时，取等号．故答案为：

9．

2yx

3．（南通市2015届高三第一次调研测试·

12）已知函数

yax

（

0）

的图像经过点

bb

P（1,3），如下图所示，则

4

1的最小值为

.

a

1

b

第3页共3页

解析：

由题可得

a+b=3，且a>1，那么

4

1

+

1

=

1（a－1+b）（

4

+

1）=1（4+a1

a

b

2

a

1

b

2

b

+

4b

+1）≥

1（2

a

1

4b

+5）=

9，当且仅当a

1

=

4b

时等号成立．

a1

2

b

a1

2

b

a

1

4．（江苏省苏北四市

2015

届高三第一次模拟考试·

12）己知

a，b为正数，且直线

ax

by6

0与直线

2x

（b

3）y

5

0互相平行，则

2a+3b的最小值为________．

【解析】由于直线

ax+by－6=0与直线

a

b

，即

2x+（b－3）y+5=0互相平行，则有

=

2

b3

3a+2b=ab，那么2a+3b=（2a+3b）·

3a

2b

3

2

6a

6b

6a

6b

ab

=（2a+3b）（

b

+

）=

+

+13≥2

a

a

b

a

b

+13=25，当且仅当

6a

=

6b

b

，即a=b时等号成立．

a

a

2b

1

的最小值为

b

5.常数a，b和正变量x，y满足ab＝16，＋

y

＝

.若x＋2y

64，则a

＝________.

x

2

答案：

64；（考查基本不等式的应用

）.

6.已知正实数a,b满足

1

2

1，则ab的最大值为

．

2a

bb

2b

aa

答案：

2

2

2

3

【题型三】代入消元法

【典例5】（苏州市

2016届高三调研测试·

14）已知ab

1，a,b

（0,1），则

1

1

2

的

4

a

1b

最小值为

．

1

1

2

2

解析：

由

1得

，

4b

2

4b12b

2

7b

1

ab

a

1

4

4b

1

a1

b

4b1

1b

4b2

5b

1

4b2

5b

1

1

7b

1

1

49t

1

49

4

2

2

2

18

4

令7b

1

t

则

4b

5b

1

4t

27t

18

4t

27

3

当且仅当

t

3

2

即

3

2

2

t

等号成立．

214

第4页共4页

练习1．（江苏省扬州市

2015届高三上学期期末·

12）设实数x，y满足x2＋2xy－1＝0，则

2

2

的最小值是

．

x

＋y

解析：

由

2

可得

1x2

，那么

2

22

（1x2）2

5

2

1

1

x

＋2xy－1＝0

y=

x

＋y=x

＋

4x2

=

x+

－≥2

2x

4

4x2

2

5

2

1

－

1

5

－

1

5

2

1

4

1

时等号成立．

4

x

4x2

=

2

，当且仅当

4

x=

4x2

，即x=

2

2

5

2．（苏州市2014届高三调研测试·13）已知正实数x，y满足，则x+y的

最小值为．

解析：

∵正实数x，y满足xy+2x+y=4，∴（0＜x＜2）．∴x+y=x+

==（x+1）+﹣3，当且仅当

第5页共5页

时取等号．∴x+y的最小值为．故答案为：

．

3．（南通市2014届高三第三次调研测试·9）已知正实数x,y满足（x1）（y1）16，则xy

的最小值为．

解析：

∵正实数

x，y

16

1，∴x+y=

满足（x﹣1）（y+1）=16，∴x

y

1

16

y

1

2

y1

16

8

，当且仅当

y=3，（x=5）时取等号．∴x+y的最小值为

y

1

y1

8．故答案为：

8．

4.（扬州市

2017届高三上学期期中）若

a

0,b

2

，且a

b

3，则使得

4

1

a

取得

最小值的实数a=

b2

。

5.设实数x、y满足x

2＋2xy－1＝0，则x＋y的取值范围是_________

6.已知

x,y,z

R

，且

x

yz

，x2

y2

z2

3

，求xyz的最大值为______

1

【题型四】换元法

【典例

6】（南京市、盐城市

2016届高三年级第二次模拟考试·

13）已知函数f（x）＝ax2＋x

－b（a，b均为正数），不等式f（x）＞0

的解集记为P，集合Q＝{x|－2－t＜x＜－2＋t}．若

对于任意正数

t，P∩Q≠，则1－1的最大值是

．

a

b

【解析】由题意可知任意正数

t，集合Q＝{x|－2－t＜x＜－2＋t}，构成的集合Qt的交集为

，即

，

1

1

1

1

3a

2

2

f

2

4a

2

b

0,b

4a

2a

b

a

4a2

4a2

，令

2a

3a

2

1

1

9u

9

9

1

，当且仅当u

1，等号成立，

u，

4u2

410

a

b

10u

4

4u

18

2

1

1

u

a

1,或a

（舍）∵b

0,故a

．则1－1的最大值是1．

3

2

a

b

2

2．（2016年江苏省淮安、宿迁、连云港、徐州高考数学一模试卷·14）已知正数a，b，c

满足b+c≥a，则+的最小值为．

解法一：

∵正数a，b，c满足b+c≥a，

第6页共6页

∴+≥+=（+）+﹣

=+﹣≥﹣

当且仅当=时取等号．

故答案为：

﹣

解法二：

由bc

b

1

a

b

a

y，则x1

b

c

x

1

，

a得

c

，令

x，

y，

ab

c

c

c

c

x

y

所以b

c

x

1

x

1

1

2x1

1

1

2

11

2

1，当

cab

xy

2x12

2x12

22

2

且仅当x

2

1

时等号成立．故

b

c

的最小值为

2

1．

c

a

b

2

2

练习1．（江苏省南京市

2016届高三第三次模拟·

14）若实数x，y满足2x2＋xy－y2＝1，

则

x

2y

的最大值为

．

5x2

2xy

2y2

解析：

由2x2＋xy－y2＝1可得，2x

y

x

y

1，令2x

y

t，则x

y

1，x

1t

1，

t

3

t

1