北师版初三数学圆教案.docx

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北师版初三数学圆教案

第三章圆

§3．1车轮为什么做成圆形

课时安排

1课时

从容说课

“圆”是现实世界中常见的图形，是初中几何的最后一章，从整个初中几何的学习来看，它属于“提高阶段”．在知识方面，不仅需要学好本章的知识．而且还需要能综合运用前面学过的知识，在数学能力方面，不仅要掌握好以前学习过的折叠、平移、旋转、推理证明等方法，还要具备运用这些知识和方法来继续研究圆的有关性质，并解决一些实际问题．另外，圆的许多性质，在理论上：

和实践中都有广泛的应用，所以，“圆”这章在初中几何中占有非常重要的地位．

本节“车轮为什么做成圆形”，主要是让学生通过观察实例归纳出圆的定义，虽然小学阶段学生已经对圆的有关知识有所了解，小学学习圆只是一种感性认识，知道一个图形是圆，但还没有抽象出“平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的圆形叫做圆”的概念．本节主要是使学生通过观察实例体会圆的概念的形成过程，进一步归纳出点与圆的三种位置关系．

本节的重点是点和圆的三种位置关系．

本节的难点是用集合的观点研究圆的概念．

第一课时

课题

§3．1车轮为什么做成圆形

教学目标

（一）教学知识点

1．理解圆的概念．

2．理解点与圆的位置关系．

（二）能力训练要求

1．经历通过实例归纳出圆的定义的过程．

2．会利用点到圆心的距离和圆的半径之间的数量关系判定点和圆的位置关系．

（三）情感与价值要求

通过对圆的图形的认识，使学生认识新的几何图形的对称美，体会所体现出的完美性，培养学生美的感受，激发学习兴趣．

教学重点

点和圆的三种位置关系．

教学难点

用集合的观点研究圆的概念．

教学方法

指导探索法．

教具准备

自制两个车轮模具（一个圆形，一个方形）

教学过程

Ⅰ．创设现实情境，引入新课

[师]前面我们已经学习过两种常见的几何图形，三角形、四边形．大家回忆一下我们是通过一些什么方法研究了它们的性质?

[生]折叠、平移、旋转、推理证明等方法．

[师]好!

大家总结得很详细，今天我们继续运用这些方法来学习和研究小学已接触过的另一种常见的几何图形——圆．

和三角形、四边形一样，圆的性质与应用同样需要通过折叠、平移、旋转、推理证明等

方法去学习和探究．

下面我们来学习第一节：

车轮为什么做成圆形．

Ⅱ．讲授新课

[师]日常生活中同学们经常见到的汽车，摩托车、自行车等一些交通运输工具的车轮是什么形状的?

[生]圆形．

[师]请同学们思考一个问题，为什么车轮要做成圆形呢?

能否做成长方形或正方形?

老师这里有两个车轮模具，一个是圆形，一个是正方形．我们一起观察一下这两个车轮在行进中有些什么特点?

大家讨论．

讨论如下图：

[生]圆形车轮行进时，较平稳；方形车轮运转不方便，颠簸较大，行走不平稳……

[师]通过我们平常乘坐汽车，或骑自行车感受到，圆形的车轮只要路面平整，车子就不会上下颠簸，人坐在车上就感到平稳、舒服，假如车轮是方形的，那么车子在行进中，就会对人产生一种上下颠簸，坐着不舒服的感觉．

下面我们一起来探讨一下，是什么原因导致车轮要做成圆形，不能做成方形．看几，图，A、B表示车轮边缘上的两点，点O表示车轮的轴心，A、O之间的距离与B、O之间的距离有什么关系?

用什么方法可以判断，大家动手做一做．

[生]……

[师]同学们做得很好．大家通过不同的方法，得到的结果是什么?

[生]OA=OB．

[师）刚才是两个特殊点，现在我们在车轮边缘上任意取一点C，要使车轮能够平稳地滚动，C、O之间的距离与A、O之间的距离应有什么关系?

[生]CO＝AO．这样才能保证车轮平稳地滚动．

[师]同学们以前画过圆，画一个圆很简单．将圆规的一个脚固定，另一个带有铅笔头的脚转一圈．一个圆就画出来了．固定的那一点称为圆心，所画得的圆圈叫圆周．从画圆的过程中可以看到，圆规两个脚之间的长度始终保持不变，也就是说圆心到圆周上任意一点的距离都相等．这是圆的一个重要而又最基本的性质．人们就是用圆的这种性质来制造车轮的，车轴总是安装在车轮的圆心位置上，这样．车轴到车轮边缘的距离处处相等．也就是说，车子在行进中，车轴离路面的距离总是一样的．车子在乎路上行走较平稳，假如是方形的，车轴到路面的距离时大时小，车子就会产生颠簸．

下面我们再看一个游戏队形．

一些学生正在做投圈游戏，他们呈“一”字排开．

这样的队形对每个人都公平吗?

你认为他们应当排成什么样的队形?

[生甲]排成方形的．

[生乙]你的说法不对，排成方形的，顶点处的同学还是吃亏，我觉得应当竖着排成一行．

[生丙]我觉得今天学的是圆，应当排成圆形或圆弧形较合适．

[师]大家讨论得很好，每个人都说出了各自的想法．就这个问题，如果单纯从队形来

考虑，排成圆形或圆弧形比较公平．因为每个同学离要投的目标一样远近．这样我们就得到了圆的定义：

平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆（circle）．其中，定点称为圆心（centreofacircle），定长称为半径（radius）的长（通常也称为半径）．以点O为圆心的圆记作⊙O，读作“圆O”．

注意：

确定一个圆需要两个要素，一是位置，二是大小；圆心确定其位置，半径确定其大小．只有圆心没有半径，虽圆的位置固定，但大小不定，因而圆不确定；只有半径而没有圆心，虽圆的大小固定，但圆心的位置不定．因而圆也不确定，只有圆心和半径都固定，圆

才被唯一确定．

巩固练习：

课本P85随堂练习！

1．体育教师想利用一根3m长的绳子在操场上画一个半径为3m的圆，你能帮他想想办法吗?

答：

将绳子的一端A固定，然后拉紧绳子的另一端B，并绕A在地上转一圈．B所经过的路径就是所希望的圆．

接下来我们研究点和圆的位置关系．

[师]请同学们在练习本上画一个圆，大家想一想这个圆把平面分成了几部分?

互相讨论一下．

[生甲]两部分，圆的内部和外部．

[生乙]三部分，还有一部分在圆上．

[师]同学们讨论得很好．一个圆应该将平面分成三部分：

圆的内部、圆、圆的外部．

[师]下面我们看书PH，想一想，图3—3．由图可以看出A、C在⊙O内，点B在⊙O上，点D、E在⊙O外，如果我们把这个靶看成一个以门为圆心．以r为半径的圆．飞镖落的位置看成点，那么我们可以发现点和圆的位置有三种情况：

点在圆内、点在圆上、点在圆外．

若设⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d．当点P与圆心的距离由小于半径变到等于半径再变到大于半径时，点和圆的位置关系就由圆内变到圆上再变到圆外．这说明由点和圆的位置关系可以得到d与r之间的关系，反过来，由d与r的数量关系也可以判定点和圆的位置关系．

注意：

点与圆的位置关系可以转化为点到圆心的距离与半径之间的数量关系；反过来，也可以通过这种数量关系判断点与圆的位置关系．

2．做一做

设AB=3cm，作图说明满足下列要求的图形．

（1）到点A和点B的距离都等于2cm的所有点组成的图形．

（2）到点A和点B的距离都小于2cm的所有点组成的图形．

提示：

解决这类题的关键是明确用集合的观点定义的圆、圆的内部、外部的含义．向学生渗透一种常用的数学方法——交集法．

注意

（2）的图形不包括重叠部分的边界．可先让学生思考：

满足条件的点分别与OA、OB有怎样的位置关系?

解：

（1）到点A和点B的距离都等于2cm的点组成的图形为⊙A和⊙B的交点C、D

（2）到点A、B距离都小于2cm的点组成的图形为⊙A和⊙B的公共部分（不包括公共部分的两条弧）．

Ⅲ．课时小结

[师]通过这节课的学习，同学们谈一下你有何收获和体会．

[生]我们知道了马轮为什么做成圆形以及圆的定义和确定一个圆的两个条件．

[生]找还学会了如何确定点和圆的三种位置关系．

……

Ⅳ．课后作业

课本P86，习题3．1，1～4题

Ⅴ．活动与探究

已知⊙O的半径为10cm，圆心O至直线l的距离OD＝6cm，在直线l上有A、B、C三点．并且有AD＝10cm，BD＝8cm，CD＝6cm，分别指出点A、B、C和⊙O的位置关系．

[过程]让学生画出图形，数形结合，根据勾股定理，分别求得OA=

cm，OB＝10cm，OC＝

再分别比较OA、OB、OC与半径的大小即可．

[结果]A点在⊙O外，B点在⊙O上，C点在⊙O内．

板书设计

§3．1车轮为什么做成圆形

一、圆的定义：

圆心：

半径：

圆的表示法；

二、点和圆的位置关系：

1．点在圆外，即d>r

2．点在圆上，即d＝r

3．点在圆内，即d≥r

三、做一做

四、小结

五、作业

3．2圆的对称性

课时安排

2课时

从容说课

圆是一种特殊的图形，它既是中心对称图形又是轴对称图形．学生已经通过前面的学习，能用折叠的方法得到圆是一个轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线．同时结合图形让学生认识一些和圆相关的概念．

本节课的重点是垂点定理及其逆定理和圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理．

本节课的难点是垂点定理及其逆定理的证明与“圆心角、弧、弦、弦心距之间关系定理”中的“在同圆或等圆”的前提条件的理解及定理的证明．

第二课时

课题

§3．2．1圆的对称性

（一）

教学目标

（一）教学知识点

1．圆的轴对称性．

2．垂径定理及其逆定理．

3．运用垂径定理及其逆定理进行有关的

计算和证明．

（二）能力训练要求

1．经历探索圆的对称性及相关性质的过

程，进一步体会和理解研究几何图形的各种

方法．

2．培养学生独立探索，相互合作交流的

精神．

（三）情感与价值观要求

通过学习垂径定理及其逆定理的证明，使学生领会数学的严谨性和探索精神，培养学生实事求是的科学态度和积极参与的主动精神．

教学重点

垂径定理及其逆定理．

教学难点

垂径定理及其逆定理的证明．

教学方法

指导探索和自主探索相结合．

教具准备

投影片两张：

第一张：

做一做（记作§3．2．1A）

第二张：

想一想（记作§3．2．1B）

教学过程

I．创设问题情境，引入新课，

[师]前面我们已探讨过轴对称图形，哪位同学能叙述一下轴对称图形的定义?

，

[生]如果一个图形沿着某一条直线折叠后。

直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形，这条直线叫对称轴．

[师]我们是用什么方法研究了轴对称图形?

[生]折叠．

[师]今天我们继续用前面的方法来研究圆的对称性．

Ⅱ．讲授新课

[师]同学们想一想：

圆是轴对称图形吗?

如果是，它的对称轴是什么?

你能找到多少条对称轴?

[生]圆是轴对称图形，过圆心的直线是它的对称轴，有无数条对称轴．

[师]是吗?

你是用什么方法解决上述问题的?

大家互相讨论一下．

[生]我们可以利用折叠的方法，解决上述问题．把一个圆对折以后，圆的两半部分重合，折痕是一条过圆心的直线，由于过圆心可以作无数条直线，这样便可知圆有无数条对称轴．

[师]很好．

教师板书：

圆是轴对称图形图形，对称轴是任意一条过圆心的直线．

下面我们来认识一下弧、弦、直径这些与圆有关的概念．

1．圆弧：

圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧（arc）．

2．弦：

连接圆上任意两点的线段叫做弦（chord）．

3．直径：

经过圆心的弦叫直径（diameter）．

如右图。

以A、B为端点的弧记作AB，

渎作“圆弧AB”或“弧AB”；线段AB是

⊙O的一条弦，弧CD是⊙O的一条直径．

注意：

1．弧包括优弧（majorarc）和劣弧（minorare），大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧．如上图中，以A、D为端点的弧有两条