复习专题中考数学复习一元二次方程根与系数的关系.docx
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复习专题中考数学复习一元二次方程根与系数的关系
一元二次方程根与系数的关系
三只钟的故事
一只小钟被主人放在了两只旧钟当中,两只旧钟滴答、滴答的走着。
一只旧钟对小钟说:
“来吧,你也该工作了。
可是我有点担心,你走完三千两百万次以后,恐怕会吃不消的。
”
“天哪!
三千两百万次。
”小钟吃惊不已,“要我做这么大的事?
办不到,办不到!
”另一支旧钟说:
“别听他胡说八道,不用害怕,你只要每秒滴答摆一下就行了。
”
“天下哪有这么简单的事情?
”小钟将信将疑,“如果这样,我就试试吧。
”小钟很轻松地每秒滴答摆一下,不知不觉中,一年过去了,它摆了三千两百万次。
成功就是这样,把简单的事做到极致,就能成功。
例1.若0是关于x的方程(m-2)x2+3x+m2-2m-8=0的解,求实数m的值,并讨论此方程解的情况.
例2.如果关于x的方程x2+(2k-3)x+k2-3=0的两个实数根的和等于这两个根的倒数和.求;
(1)k的值;
(2)方程的两个实数根的平方和.
例3.设x1、x2是方程2x2+4x-3=0的两个根,利用根与系数关系,求下列各式的值:
(1)(x1-x2)2;
(2)
例4.已知关于x的一元二次方程x2-(8+k)x+8k=0
(1)求证:
无论k取任何实数,方程总有实数根;
(2)若等腰三角形的一边长为5,另两边长恰好是这个方程的两个根,求这个等腰三角形的周长。
1.已知一元二次方程:
①x2+2x+3=0,②x2﹣2x﹣3=0.下列说法正确的是( )
A.①②都有实数解B.①无实数解,②有实数解
C.①有实数解,②无实数解D.①②都无实数解
2.若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根,则m的取值范围是( )
A.m<﹣1B.m<1C.m>﹣1D.m>1
3.已知函数y=kx+b的图象如图所示,则一元二次方程x2+x+k﹣1=0根的存在情况是( )
A.没有实数根B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根D.无法确定
4.已知关于x的方程kx2+(1﹣k)x﹣1=0,下列说法正确的是( )
A.当k=0时,方程无解
B.当k=1时,方程有一个实数解
C.当k=﹣1时,方程有两个相等的实数解
D.当k≠0时,方程总有两个不相等的实数解
5.在下列方程中,有实数根的是( )
A.x2+3x+1=0B.
C.x2+2x+3=0D.
6.正比例函数y=(a+1)x的图象经过第二、四象限,若a同时满足方程x2+(1﹣2a)x+a2=0,则此方程的根的情况是( )
A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根
C.没有实数根D.不能确定
7.若方程组
有一个实数解,则m的值是( )
A.B.
C.2D.﹣2
8.一元二次方程x2+x﹣2=0的解为x1、x2,则x1•x2=( )
A.1B.﹣1C.2D.﹣2
9.若x1,x2是一元二次方程x2﹣3x+2=0的两根,则x1+x2的值是( )
A.﹣2B.2C.3D.1
10.若m、n是一元二次方程x2﹣5x﹣2=0的两个实数根,则m+n﹣mn的值是( )
A.﹣7B.7C.3D.﹣3
11.点P(a,b)是直线y=﹣x+5与双曲线y=的一个交点.则以a、b两数为根的一元二次方程是( )
A.x2﹣5x+6=0B.x2+5x+6=0
C.x2﹣5x﹣6=0D.x2+5x﹣6=0
12.一元二次方程x2+2x﹣5=0的两个根的倒数和等于( )
A.B.﹣C.D.﹣
13.若
,且一元二次方程kx2+ax+b=0有两个实数根,则k的取值范围是_________.
14.若关于x的一元二次方程kx2+2(k+1)x+k﹣1=0有两个实数根,则k的取值范围是_________.
15.关于x的方程(k﹣2)x2﹣4x+1=0有实数根,则k满足的条件是_________.
16.已知x=﹣2是方程x2+mx﹣6=0的一个根,则方程的另一个根是_________.
17.已知关于x的方程x2﹣(a+b)x+ab﹣1=0,x1、x2是此方程的两个实数根,现给出三个结论:
①x1≠x2;②x1x2<ab;③
.则正确结论的序号是_________.(填上你认为正确结论的所有序号)
18.若两个不等实数m、n满足条件:
m2﹣2m﹣1=0,n2﹣2n﹣1=0,则m2+n2的值是_________.
19.设x1,x2是方程2x2﹣3x﹣3=0的两个实数根,则
的值为_________.
20.设x1,x2是方程x2﹣x﹣2013=0的两实数根,则
=_________.
21.已知m和n是方程2x2﹣5x﹣3=0的两根,则
=_________.
22.关于x的一元二次方程(a﹣6)x2﹣8x+9=0有实根.
(1)求a的最大整数值;
(2)当a取最大整数值时,①求出该方程的根;②求
的值.
23.已知关于x的一元二次方程x2+2x+2k﹣4=0有两个不相等的实数根.
(1)求k的取值范围;
(2)若k为正整数,且该方程的根都是整数,求k的值.
24.已知关于x的方程x2﹣(m+2)x+(2m﹣1)=0.
(1)求证:
方程恒有两个不相等的实数根;
(2)若此方程的一个根是1,请求出方程的另一个根,并求以此两根为边长的直角三角形的周长.
25.当t取什么值时,关于x的一元二次方程2x2+tx+2=0有两个相等的实数根?
26.已知关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0(a≠0)有两个相等的实数根,求
的值.
27.已知关于x的方程x2+x+n=0有两个实数根﹣2,m.求m,n的值.
28.若x1,x2是关于x的方程x2+bx+c=0的两个实数根,且|x1|+|x2|=2|k|(k是整数),则称方程x2+bx+c=0为“偶系二次方程”.如方程x2﹣6x﹣27=0,x2﹣2x﹣8=0,
,x2+6x﹣27=0,x2+4x+4=0,都是“偶系二次方程”.
(1)判断方程x2+x﹣12=0是否是“偶系二次方程”,并说明理由;
(2)对于任意一个整数b,是否存在实数c,使得关于x的方程x2+bx+c=0是“偶系二次方程”,并说明理由.
29.已知:
关于x的方程kx2﹣(3k﹣1)x+2(k﹣1)=0
(1)求证:
无论k为何实数,方程总有实数根;
(2)若此方程有两个实数根x1,x2,且|x1﹣x2|=2,求k的值.
30.已知关于x的一元二次方程x2+(m+3)x+m+1=0.
(1)求证:
无论m取何值,原方程总有两个不相等的实数根:
(2)若x1,x2是原方程的两根,且|x1﹣x2|=2
,求m的值,并求出此时方程的两根.
一元二次方程根与系数的关系答案
例1.解:
将x=0代入原方程得,(m-2)•02+3×0+m2-2m-8=0,∴m2-2m-8=0;(m+2)(m-4)=0可解得m1=-2,或m2=4;当m=-2时,原方程为-4x2+3x=0,此时方程的解是x1=0,x2=
当m=4时,原方程为2x2+3x=0.解得x3=0或x4=-
即此时原方程有两个解,解分别为x1=0,x2=
,x3=0或x4=-
例2.解:
(1)设方程的两根分别为x1,x2,x1+x2=-(2k-3),x1•x2=k2-3,∵方程x2+(2k-3)x+k2-3=0的两个实数根,∴△≥0,即(2k-3)2-4(k2-3)≥0,解得k≤
;而x1+x2=
,∴(x1+x2)(x1•x2-1)=0,∴2k-3=0或k2-3-1=0,解得k1=
,k2=2,k3=-2,而k≤
;∴k1=
,k2=-2;
(2)x12+x22=(x1+x2)2-2x1•x2=(2k-3)2-2(k2-3)=2k2-12k+15当k=
,原式=
;当k=-2,原式=47.
例3.解:
根据根与系数的关系可得:
x1+x2=-2,x1•x2=−
(1)(x1-x2)2=x12+x22-2x1x2=x12+x22+2x1x2-4x1x2=(x1+x2)2-4x1x2=(−2)2−4×(−
)
=10.2)
=x1x2+1+1+
=(−
)+2+
=
例4.解:
(1)∵△=(8+k)2-4×8k=(k-8)2,∵(k-8)2,≥0,∴△≥0,∴无论k取任何实数,方程总有实数根;
(2)解方程x2-(8+k)x+8k=0得x1=k,x2=8,①当腰长为5时,则k=5,∴周长=5+5+8=18;②当底边为5时,∴x1=x2,∴k=8,∴周长=8+8+5=21.
1.解:
方程①的判别式△=4﹣12=﹣8,则①没有实数解;
方程②的判别式△=4+12=20,则②有两个实数解.
故选B.
2.解:
根据题意得△=22﹣4m>0,
解得m<1.
故选B.
3.解:
根据函数y=kx+b的图象可得;k<0,b<0,
则一元二次方程x2+x+k﹣1=0中,△=12﹣4×1×(k﹣1)=5﹣4k>0,
则一元二次方程x2+x+k﹣1=0根的存在情况是有两个不相等的实数根,
故选:
C.
4.解:
关于x的方程kx2+(1﹣k)x﹣1=0,
A、当k=0时,x﹣1=0,则x=1,故此选项错误;
B、当k=1时,x2﹣1=0方程有两个实数解,故此选项错误;
C、当k=﹣1时,﹣x2+2x﹣1=0,则(x﹣1)2=0,此时方程有两个相等的实数解,故此选项正确;
D、由C得此选项错误.
故选:
C.
5.解:
A、△=9﹣4=5>0,方程有实数根;
B、算术平方根不能为负数,故错误;
C、△=4﹣12=﹣8<0,方程无实数根;
D、化简分式方程后,求得x=1,检验后,为增根,故原分式方程无解.
故选A.
6.解:
由题意知,(a+1)<0,
解得a<﹣1,
∴﹣4a>4.
因为方程x2+(1﹣2a)x+a2=0的△=(1﹣2a)2﹣4a2=1﹣4a>5>0,
所以方程有两个不相等的实数根.
故选A.
7.解:
由题意可得方程(2x+m)2=4x
整理得4x2+(4m﹣4)x+m2=0
即△=(4m﹣4)2﹣16m2=0,解得m=.
故选A
8.解:
根据题意得x1•x2=
=﹣2.
故选D.
9.解:
由一元二次方程x2﹣3x+2=0,
∴x1+x2=3,
故选C.
10.解:
∵m、n是一元二次方程x2﹣5x﹣2=0的两个实数根,
∴m+n=5,mn=﹣2,
∴m+n﹣mn=5﹣(﹣2)=7.
故选B.
11.解:
∵点P(a,b)是直线y=﹣x+5与双曲线y=的一个交点.
∴﹣a+5=b,b=整理得a+b=5,ab=6.
设所求一元二次方程x2+mx+c=0.
又∵a、b两数为所求一元二次方程的两根.
∴a+b=﹣m,ab=c
∴m=﹣5,c=6.
因此所求方程为x2﹣5x+6=0.
故选A
12.解:
设α,β是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根.
则有α+β=﹣2,αβ=﹣5.
∴
+
=
=.
故选A
13.解:
∵
,
∴b﹣1=0,
=0,
解得,b=1,a=4;
又∵一元二次方程kx2+ax+b=0有两个实数根,
∴△=a2﹣4kb≥0且k≠0,
即16﹣4k≥0,且k≠0,
解得,k≤4且k≠0;
故答案为:
k≤4且k≠0.
14.解:
∵a=k,b=2(k+1),c=k﹣1,
∴△=[2(k+1)]2﹣4×k×(k﹣1)=12k+4≥0,
解得:
k≥﹣,
∵原方程是一元二次方程,
∴k≠0.
故本题答案为:
k≥﹣,且k≠0.
15.解:
①当关于x的方程(k﹣2)x2﹣4x+1=0是一元一次方程时,
k﹣2=0,
解得,k=2;
②当(k﹣2)x2﹣4x+1=0是一元二次方程时,
△=16﹣4×(k﹣2)≥0,且k﹣2≠0,
解得,k≤6且k≠2;
综合①②知,k满足的条件是k≤6.
故答案是:
k≤6.
16.解:
设方程另一个根为x1,根据题意得﹣2•x1=﹣6,
所以x1=3.
故答案为3.
17.解:
①∵方程x2﹣(a+b)x+ab﹣1=0中,
△=(a+b)2﹣4(ab﹣1)=(a﹣b)2+4>0,
∴x1≠x2
故①正确;
②∵x1x2=ab﹣1<ab,故②正确;
③∵x1+x2=a+b,
即(x1+x2)2=(a+b)2,
∴x12+x22=(x1+x2)2﹣2x1x2=(a+b)2﹣2ab+2=a2+b2+2>a2+b2,
即x12+x22>a2+b2.
故③错误;
综上所述,正确的结论序号是:
①②.
18.解:
由题意知,m、n是关于x的方程x2﹣2x﹣1=0的两个根,则m+n=2,mn=﹣1.
所以,m2+n2=(m+n)2﹣2mn=2×2﹣2×(﹣1)=6.
故答案是:
6.
19.解:
∵x1,x2是方程2x2﹣3x﹣3=0的两个实数根,
∴x1+x2=,x1x2=﹣,
则原式=
=
=
=
=﹣.
故答案为:
﹣
20.解:
∵x2﹣x﹣2013=0,
∴x2=x+2013,x=x2﹣2013,
又∵x1,x2是方程x2﹣x﹣2013=0的两实数根,
∴x1+x2=1,
∴
=x1•
+2013x2+x2﹣2013,
=x1•(x1+2013)+2013x2+x2﹣2013,
=(x1+2013)+2013x1+2013x2+x2﹣2013,
=x1+x2+2013(x1+x2)+2013﹣2013,
=1+2013,
=2014,
故答案是:
2014
21.解:
∵m和n是方程2x2﹣5x﹣3=0的两根,
∴m+n=﹣=﹣
=,m•n==﹣,
∴+=
=
=﹣
故答案为﹣.
22.解:
(1)根据题意△=64﹣4×(a﹣6)×9≥0且a﹣6≠0,
解得a≤
且a≠6,
所以a的最大整数值为7;
(2)①当a=7时,原方程变形为x2﹣8x+9=0,
△=64﹣4×9=28,
∴x=
,
∴x1=4+
,x2=4﹣
;
②∵x2﹣8x+9=0,
∴x2﹣8x=﹣9,
所以原式=2x2﹣
,
=2x2﹣16x+,
=2(x2﹣8x)+,
=2×(﹣9)+,
=﹣
.
23.
(1)根据题意得:
△=4﹣4(2k﹣4)=20﹣8k>0,
解得:
k<;
(2)由k为正整数,得到k=1或2,
利用求根公式表示出方程的解为x=﹣1±
,
∵方程的解为整数,
∴5﹣2k为完全平方数,
则k的值为2.
24.1)证明:
∵△=(m+2)2﹣4(2m﹣1)=(m﹣2)2+4,
∴在实数范围内,m无论取何值,(m﹣2)2+4>0,即△>0,
∴关于x的方程x2﹣(m+2)x+(2m﹣1)=0恒有两个不相等的实数根;
(2)解:
根据题意,得
12﹣1×(m+2)+(2m﹣1)=0,
解得,m=2,
则方程的另一根为:
m+2﹣1=2+1=3;
①当该直角三角形的两直角边是1、3时,由勾股定理得斜边的长度为:
;
该直角三角形的周长为1+3+
=4+
;
②当该直角三角形的直角边和斜边分别是1、3时,由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为2
;则该直角三角形的周长为1+3+2
=4+2
.
25.解:
∵一元二次方程2x2+tx+2=0的二次项系数a=2,一次项系数b=t,常数项c=2,
∴△=t2﹣4×2×2=t2﹣16=0,
解得,t=±4,
∴当t=4或t=﹣4时,原方程有两个相等的实数根.
26.解:
∵ax2+bx+1=0(a≠0)有两个相等的实数根,
∴△=b2﹣4ac=0,
即b2﹣4a=0,
b2=4a,
∵
=
=
=
∵a≠0,
∴
=
=
=4.
27.解:
∵关于x的方程x2+x+n=0有两个实数根﹣2,m,
∴
,
解得,
,即m,n的值分别是1、﹣2.
28.解:
(1)不是,
解方程x2+x﹣12=0得,x1=3,x2=﹣4.
|x1|+|x2|=3+4=7=2×3.5.
∵3.5不是整数,
∴x2+x﹣12=0不是“偶系二次方程;
(2)存在.理由如下:
∵x2﹣6x﹣27=0和x2+6x﹣27=0是偶系二次方程,
∴假设c=mb2+n,
当b=﹣6,c=﹣27时,
﹣27=36m+n.
∵x2=0是偶系二次方程,
∴n=0时,m=﹣,
∴c=﹣b2.
∵
是偶系二次方程,
当b=3时,c=﹣×32.
∴可设c=﹣b2.
对于任意一个整数b,c=﹣b2时,
△=b2﹣4ac,
=4b2.
x=
,
∴x1=﹣b,x2=b.
∴|x1|+|x2|=2|b|,
∵b是整数,
∴对于任何一个整数b,c=﹣b2时,关于x的方程x2+bx+c=0是“偶系二次方程”
29.
(1)证明:
①当k=0时,方程是一元一次方程,有实数根;
②当k≠0时,方程是一元二次方程,
∵△=(3k﹣1)2﹣4k×2(k﹣1)=(k+1)2≥0,
∴无论k为何实数,方程总有实数根.
(2)解:
∵此方程有两个实数根x1,x2,
∴x1+x2=
,x1x2=
,
∵|x1﹣x2|=2,
∴(x1﹣x2)2=4,
∴(x1+x2)2﹣4x1x2=4,即
﹣4×
=4,
解得:
=±2,
即k=1或k=﹣.
30.
(1)证明:
∵△=(m+3)2﹣4(m+1)
=(m+1)2+4
∵无论m取何值,(m+1)2+4恒大于0
∴原方程总有两个不相等的实数根
(2)∵x1,x2是原方程的两根
∴x1+x2=﹣(m+3),x1•x2=m+1
∵|x1﹣x2|=2
∴(x1﹣x2)2=(2
)2
∴(x1+x2)2﹣4x1x2=8
∴[﹣(m+3)]2﹣4(m+1)=8∴m2+2m﹣3=0
解得:
m1=﹣3,m2=1…10分
当m=﹣3时,原方程化为:
x2﹣2=0
解得:
x1=
,x2=﹣
当m=1时,原方程化为:
x2+4x+2=0
解得:
x1=﹣2+
,x2=﹣2﹣
予少家汉东,汉东僻陋无学者,吾家又贫无藏书。
州南有大姓李氏者,其于尧辅颇好学。
予为儿童时,多游其家,见有弊筐贮故书在壁间,发而视之,得唐《昌黎先生文集》六卷,脱落颠倒无次序,因乞李氏以归。
读之,见其言深厚而雄博,然予犹少,未能悉究其义.徒见其浩然无涯,若可爱。
是时天下学者杨、刘之作,号为时文,能者取科第,擅名声,以夸荣当世,未尝有道韩文者。
予亦方举进士,以礼部诗赋为事。
年十有七试于州,为有司所黜。
因取所藏韩氏之文复阅之,则喟然叹曰:
学者当至于是而止尔!
因怪时人之不道,而顾己亦未暇学,徒时时独念于予心,以谓方从进士干禄以养亲,苟得禄矣,当尽力于斯文,以偿其素志。