初中奥数竞赛辅导资料之第一讲因式分解一.docx
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初中奥数竞赛辅导资料之第一讲因式分解一
初中奥数竞赛辅导资料之第一讲因式分解
(一)
第一讲因式分解
(一)
多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一,它被广泛地应用于初等数学之中,是我们解决许多数学问题的有力工具(因式分解方法灵活,技巧性强,学习这些方法与技巧,不仅是掌握因式分解内容所必需的,而且对于培养学生的解题技能,发展学生的思维能力,都有着十分独特的作用(初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法(本讲及下一讲在中学数学教材基础上,对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍(
1(运用公式法
在整式的乘、除中,我们学过若干个乘法公式,现将其反向使用,即为因式分解中常用的公式,例如:
22
(1)a-b=(a+b)(a-b);
222
(2)a?
2ab+b=(a?
b);
3322(3)a+b=(a+b)(a-ab+b);
3322(4)a-b=(a-b)(a+ab+b)(
下面再补充几个常用的公式:
2222(5)a+b+c+2ab+2bc+2ca=(a+b+c);
333222(6)a+b+c-3abc=(a+b+c)(a+b+c-ab-bc-ca);
nnn-1n-2n-32n-2n-1(7)a-b=(a-b)(a+ab+ab+…+ab+b)其中n为正整数;
nnn-1n-2n-32n-2n-1(8)a-b=(a+b)(a-ab+ab-…+ab-b),其中n为偶数;
nnn-1n-2n-32n-2n-1(9)a+b=(a+b)(a-ab+ab-…-ab+b),其中n为奇数(
运用公式法分解因式时,要根据多项式的特点,根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式(
例1分解因式:
5n-1n3n-1n+2n-1n+4
(1)-2xy+4xy-2xy;
333
(2)x-8y-z-6xyz;
222(3)a+b+c-2bc+2ca-2ab;
752257(4)a-ab+ab-b(
n-1n4224解
(1)原式=-2xy(xn-2xny+y)
n-1n222222=-2xy[(xn)-2xny+(y)]
n-1n222=-2xy(xn-y)
n-1nn2n2=-2xy(x-y)(x+y)(
333
(2)原式=x+(-2y)+(-z)-3x(-2y)(-Z)
222=(x-2y-z)(x+4y+z+2xy+xz-2yz)(
222(3)原式=(a-2ab+b)+(-2bc+2ca)+c
22,(a-b)+2c(a-b)+c
2=(a-b+c)(
本小题可以稍加变形,直接使用公式(5),解法如下:
222原式=a+(-b)+c+2(-b)c+2ca+2a(-b)
2=(a-b+c)
752257(4)原式=(a-ab)+(ab-b)
522522=a(a-b)+b(a-b)
2255=(a-b)(a+b)
432234=(a+b)(a-b)(a+b)(a-ab+ab-ab+b)
2432234=(a+b)(a-b)(a-ab+ab-ab+b)
333例2分解因式:
a+b+c-3abc(
本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式(6)(
分析我们已经知道公式
33223(a+b)=a+3ab+3ab+b
的正确性,现将此公式变形为
333a+b=(a+b)-3ab(a+b)(
这个式也是一个常用的公式,本题就借助于它来推导(
33解原式=(a+b)-3ab(a+b)+c-3abc
3=,(a+b)3+c,-3ab(a+b+c)
22=(a+b+c),(a+b)-c(a+b)+c]-3ab(a+b+c)
222=(a+b+c)(a+b+c-ab-bc-ca)(
说明公式(6)是一个应用极广的公式,用它可以推出很多有用的结论,例如:
我们将公式(6)变形为
333a+b+c-3abc
333333显然,当a+b+c=0时,则a+b+c=3abc;当a+b+c,0时,则a+b+c-3abc
333?
0,即a+b+c?
3abc,而且,当且仅当a=b=c时,等号成立(
333如果令x=a?
0,y=b?
0,z=c?
0,则有
等号成立的充要条件是x=y=z(这也是一个常用的结论(
1514132例3分解因式:
x+x+x+…+x+x+1(
15分析这个多项式的特点是:
有16项,从最高次项x开始,x的次数
nn顺次递减至0,由此想到应用公式a-b来分解(
解因为
161514132x-1=(x-1)(x+x+x+…x+x+1),
所以
说明在本题的分解过程中,用到先乘以(x-1),再除以(x-1)的技巧,这一技巧在等式变形中很常用(
2(拆项、添项法
因式分解是多项式乘法的逆运算(在多项式乘法运算时,整理、化简常将几个同类项合并为一项,或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零(在对某些多项式分解因式时,需要恢复那些被合并或相互抵消的项,即把多项式中的某一项拆成两项或多项,或者在多项式中添上两个仅符合相反的项,前者称为拆项,后者称为添项(拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解(
3例4分解因式:
x-9x+8(
分析本题解法很多,这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法,
注意一下拆项、添项的目的与技巧(
解法1将常数项8拆成-1+9(
3原式=x-9x-1+9
3=(x-1)-9x+9
2=(x-1)(x+x+1)-9(x-1)
2=(x-1)(x+x-8)(
解法2将一次项-9x拆成-x-8x(
3原式=x-x-8x+8
3=(x-x)+(-8x+8)
=x(x+1)(x-1)-8(x-1)
2=(x-1)(x+x-8)(
333解法3将三次项x拆成9x-8x(
33原式=9x-8x-9x+8
33=(9x-9x)+(-8x+8)
2=9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x+x+1)
2=(x-1)(x+x-8)(
22解法4添加两项-x+x(
3原式=x-9x+8
322=x-x+x-9x+8
2=x(x-1)+(x-8)(x-1)
2=(x-1)(x+x-8)(
说明由此题可以看出,用拆项、添项的方法分解因式时,要拆哪些
项,添什么项并无一定之规,主要的是要依靠对题目特点的观察,灵活变
换,因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种(
例5分解因式:
963
(1)x+x+x-3;
22
(2)(m-1)(n-1)+4mn;
4224(3)(x+1)+(x-1)+(x-1);
3322(4)ab-ab+a+b+1(
解
(1)将-3拆成-1-1-1(
963原式=x+x+x-1-1-1
963=(x-1)+(x-1)+(x-1)
363333=(x-1)(x+x+1)+(x-1)(x+1)+(x-1)
3=(x-1)(x6+2x3+3)
263=(x-1)(x+x+1)(x+2x+3)(
(2)将4mn拆成2mn+2mn(
22原式=(m-1)(n-1)+2mn+2mn2222=mn-m-n+1+2mn+2mn
2222=(mn+2mn+1)-(m-2mn+n)
22=(mn+1)-(m-n)
=(mn+m-n+1)(mn-m+n+1)(
222222(3)将(x-1)拆成2(x-1)-(x-1)(
422224原式=(x+1)+2(x-1)-(x-1)+(x-1)
422422=,(x+1)+2(x+1)(x-1)+(x-1)]-(x-1)
22222=,(x+1)+(x-1)]-(x-1)
222222=(2x+2)-(x-1)=(3x+1)(x+3)(
(4)添加两项+ab-ab(
3322原式=ab-ab+a+b+1+ab-ab
3322=(ab-ab)+(a-ab)+(ab+b+1)
2=ab(a+b)(a-b)+a(a-b)+(ab+b+1)
2=a(a-b),b(a+b)+1]+(ab+b+1)
2=[a(a-b)+1](ab+b+1)
22=(a-ab+1)(b+ab+1)(
说明(4)是一道较难的题目,由于分解后的因式结构较复杂,所以不易想到添加+ab-ab,而且添加项后分成的三项组又无公因式,而是先将前两组分解,再与第三组结合,找到公因式(这道题目使我们体会到拆项、添项法的极强技巧所在,同学们需多做练习,积累经验(
3(换元法
换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体,并用一个新的字母替代这个整体来运算,从而使运算过程简明清晰(
22例6分解因式:
(x+x+1)(x+x+2)-12(
分析将原式展开,是关于x的四次多项式,分解因式较困难(我们
2不妨将x+x看作一个整体,并用字母y来替代,于是原题转化为关于y的二次三项式的因式分解问题了(
2解设x+x=y,则
2原式=(y+1)(y+2)-12=y+3y-10
22=(y-2)(y+5)=(x+x-2)(x+x+5)
2=(x-1)(x+2)(x+x+5)(
22说明本题也可将x+x+1看作一个整体,比如今x+x+1=u,一样可以得到同样的结果,有兴趣的同学不妨试一试(
例7分解因式:
22(x+3x+2)(4x+8x+3)-90(
分析先将两个括号内的多项式分解因式,然后再重新组合(
解原式=(x+1)(x+2)(2x+1)(2x+3)-90
=[(x+1)(2x+3)][(x+2)(2x+1)]-90
22=(2x+5x+3)(2x+5x+2)-90(
2令y=2x+5x+2,则
2原式=y(y+1)-90=y+y-90
=(y+10)(y-9)
22=(2x+5x+12)(2x+5x-7)
2=(2x+5x+12)(2x+7)(x-1)(
说明对多项式适当的恒等变形是我们找到新元(y)的基础(
例8分解因式:
222(x+4x+8)2+3x(x+4x+8)+2x(
2解设x+4x+8=y,则
22原式=y+3xy+2x=(y+2x)(y+x)
22=(x+6x+8)(x+5x+8)
2=(x+2)(x+4)(x+5x+8)(
说明由本题可知,用换元法分解因式时,不必将原式中的元都用新元代换,根据题目需要,引入必要的新元,原式中的变元和新变元可以一起变形,换元法的本质是简化多项式(
432例9分解因式:
6x+7x-36x-7x+6(
422解法1原式=6(x+1),7x(x-1)-36x
42222=6,(x-2x+1)+2x,+7x(x-1)-36x
2222=6[(x-1)2+2x]+7x(x-1)-36x
2222=6(x-1)+7x(x-1)-24x
22=[2(x-1)-3x,,3(x-1)+8x]
22=(2x-3x-2)(3x+8x-3)
=(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3)(
2说明本解法实际上是将x-1看作一个整体,但并没有设立新元来代替它,即熟练使用换元法后,并非每题都要设置新元来代替整体(
解法2
22原式=x[6(t+2)+7t-36]
222=x(6t+7t-24)=x(2t-3)(3t+8)
2=x[2(x-1/x)-3][3(x-1/x)+8]
22=(2x-3x-2)(3x+8x-3)
=(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3)(
2222例10分解因式:
(x+xy+y)-4xy(x+y)(
分析本题含有两个字母,且当互换这两个字母的位置时,多项式保
持不变,这样的多项式叫作二元对称式(对于较难分解的二元对称式,经
常令u=x+y,v=xy,用换元法分解因式(
222解原式=[(x+y)-xy]-4xy[(x+y)-2xy](令x+y=u,xy=v,则
222原式=(u-v)-4v(u-2v)
422=u-6uv+9v
22=(u-3v)
222=(x+2xy+y-3xy)
222=(x-xy+y)(
练习一
1(分解因式:
105
(2)x+x-2;
543225(4)(x+x+x+x+x+1)-x(
2(分解因式:
32
(1)x+3x-4;
4222
(2)x-11xy+y;
32(3)x+9x+26x+24;
4(4)x-12x+323(
3(分解因式:
222
(1)(2x-3x+1)-22x+33x-1;
432
(2)x+7x+14x+7x+1;
3(3)(x+y)+2xy(1-x-y)-1;
2(4)(x+3)(x-1)(x+5)-20(
第一讲因式分解
(一)
多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一,它被广泛地应用于初等数学之中,是我们解决许多数学问题的有力工具(因式分解方法灵活,技巧性强,学习这些方法与技巧,不仅是掌握因式分解内容所必需的,而且对于培养学生的解题技能,发展学生的思维能力,都有着十分独特的作用(初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法(本讲及下一讲在中学数学教材基础上,对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍(
1(运用公式法
在整式的乘、除中,我们学过若干个乘法公式,现将其反向使用,即为因式分解中常用的公式,例如:
22
(1)a-b=(a+b)(a-b);
222
(2)a?
2ab+b=(a?
b);
3322(3)a+b=(a+b)(a-ab+b);
3322(4)a-b=(a-b)(a+ab+b)(
下面再补充几个常用的公式:
2222(5)a+b+c+2ab+2bc+2ca=(a+b+c);
333222(6)a+b+c-3abc=(a+b+c)(a+b+c-ab-bc-ca);
nnn-1n-2n-32n-2n-1(7)a-b=(a-b)(a+ab+ab+…+ab+b)其中n为正整数;
nnn-1n-2n-32n-2n-1(8)a-b=(a+b)(a-ab+ab-…+ab-b),其中n为偶数;
nnn-1n-2n-32n-2n-1(9)a+b=(a+b)(a-ab+ab-…-ab+b),其中n为奇数(
运用公式法分解因式时,要根据多项式的特点,根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式(
例1分解因式:
5n-1n3n-1n+2n-1n+4
(1)-2xy+4xy-2xy;
333
(2)x-8y-z-6xyz;
222(3)a+b+c-2bc+2ca-2ab;
752257(4)a-ab+ab-b(
n-1n4224解
(1)原式=-2xy(xn-2xny+y)
n-1n222222=-2xy[(xn)-2xny+(y)]
n-1n222=-2xy(xn-y)
n-1nn2n2=-2xy(x-y)(x+y)(
333
(2)原式=x+(-2y)+(-z)-3x(-2y)(-Z)
222=(x-2y-z)(x+4y+z+2xy+xz-2yz)(
222(3)原式=(a-2ab+b)+(-2bc+2ca)+c
22,(a-b)+2c(a-b)+c
2=(a-b+c)(
本小题可以稍加变形,直接使用公式(5),解法如下:
222原式=a+(-b)+c+2(-b)c+2ca+2a(-b)
2=(a-b+c)
752257(4)原式=(a-ab)+(ab-b)
522522=a(a-b)+b(a-b)
2255=(a-b)(a+b)
432234=(a+b)(a-b)(a+b)(a-ab+ab-ab+b)
2432234=(a+b)(a-b)(a-ab+ab-ab+b)
333例2分解因式:
a+b+c-3abc(
本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式(6)(
分析我们已经知道公式
33223(a+b)=a+3ab+3ab+b
的正确性,现将此公式变形为
333a+b=(a+b)-3ab(a+b)(
这个式也是一个常用的公式,本题就借助于它来推导(
33解原式=(a+b)-3ab(a+b)+c-3abc
3=,(a+b)3+c,-3ab(a+b+c)
22=(a+b+c),(a+b)-c(a+b)+c]-3ab(a+b+c)
222=(a+b+c)(a+b+c-ab-bc-ca)(
说明公式(6)是一个应用极广的公式,用它可以推出很多有用的结论,例如:
我们将公式(6)变形为
333a+b+c-3abc
333333显然,当a+b+c=0时,则a+b+c=3abc;当a+b+c,0时,则a+b+c-3abc
333?
0,即a+b+c?
3abc,而且,当且仅当a=b=c时,等号成立(
333如果令x=a?
0,y=b?
0,z=c?
0,则有
等号成立的充要条件是x=y=z(这也是一个常用的结论(
1514132例3分解因式:
x+x+x+…+x+x+1(
15分析这个多项式的特点是:
有16项,从最高次项x开始,x的次数
nn顺次递减至0,由此想到应用公式a-b来分解(
解因为
161514132x-1=(x-1)(x+x+x+…x+x+1),
所以
说明在本题的分解过程中,用到先乘以(x-1),再除以(x-1)的技巧,这一技巧在等式变形中很常用(
2(拆项、添项法
因式分解是多项式乘法的逆运算(在多项式乘法运算时,整理、化简常将几个同类项合并为一项,或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零(在对某些多项式分解因式时,需要恢复那些被合并或相互抵消的项,即把多项式中的某一项拆成两项或多项,或者在多项式中添上两个仅符合相反的项,前者称为拆项,后者称为添项(拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解(
3例4分解因式:
x-9x+8(
分析本题解法很多,这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法,
注意一下拆项、添项的目的与技巧(
解法1将常数项8拆成-1+9(
3原式=x-9x-1+9
3=(x-1)-9x+9
2=(x-1)(x+x+1)-9(x-1)
2=(x-1)(x+x-8)(
解法2将一次项-9x拆成-x-8x(
3原式=x-x-8x+8
3=(x-x)+(-8x+8)
=x(x+1)(x-1)-8(x-1)
2=(x-1)(x+x-8)(
333解法3将三次项x拆成9x-8x(
33原式=9x-8x-9x+8
33=(9x-9x)+(-8x+8)
2=9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x+x+1)
2=(x-1)(x+x-8)(
22解法4添加两项-x+x(
3原式=x-9x+8
322=x-x+x-9x+8
2=x(x-1)+(x-8)(x-1)
2=(x-1)(x+x-8)(
说明由此题可以看出,用拆项、添项的方法分解因式时,要拆哪些
项,添什么项并无一定之规,主要的是要依靠对题目特点的观察,灵活变
换,因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种(
例5分解因式:
963
(1)x+x+x-3;
22
(2)(m-1)(n-1)+4mn;
4224(3)(x+1)+(x-1)+(x-1);
3322(4)ab-ab+a+b+1(
解
(1)将-3拆成-1-1-1(
963原式=x+x+x-1-1-1
963=(x-1)+(x-1)+(x-1)
363333=(x-1)(x+x+1)+(x-1)(x+1)+(x-1)
3=(x-1)(x6+2x3+3)
263=(x-1)(x+x+1)(x+2x+3)(
(2)将4mn拆成2mn+2mn(
22原式=(m-1)(n-1)+2mn+2mn2222=mn-m-n+1+2mn+2mn
2222=(mn+2mn+1)-(m-2mn+n)
22=(mn+1)-(m-n)
=(mn+m-n+1)(mn-m+n+1)(
222222(3)将(x-1)拆成2(x-1)-(x-1)(
422224原式=(x+1)+2(x-1)-(x-1)+(x-1)
422422=,(x+1)+2(x+1)(x-1)+(x-1)]-(x-1)
22222=,(x+1)+(x-1)]-(x-1)
222222=(2x+2)-(x-1)=(3x+1)(x+3)(
(4)添加两项+ab-ab(
3322原式=ab-ab+a+b+1+ab-ab
3322=(ab-ab)+(a-ab)+(ab+b+1)
2=ab(a+b)(a-b)+a(a-b)+(ab+b+1)
2=a(a-b),b(a+b)+1]+(ab+b+1)
2=[a(a-b)+1](ab+b+1)
22=(a-ab+1)(b+ab+1)(
说明(4)是一道较难的题目,由于分解后的因式结构较复杂,所以不易想到添加+ab-ab,而且添加项后分成的三项组又无公因式,而是先将前两组分解,再与第三组结合,找到公因式(这道题目使我们体会到拆项、添项法的极强技巧所在,同学们需多做练习,积累经验(
3(换元法
换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体,并用一个新的字母替代这个整体来运算,从而使运算过程简明清晰(
22例6分解因式:
(x+x+1)(x+x+2)-12(
分析将原式展开,是关于x的四次多项式,分解因式较困难(我们
2不妨将x+x看作一个整体,并用字母y来替代,于是原题转化为关于y的二次三项式的因式分解问题了(
2解设x+x=y,则
2原式=(y+1)(y+2)-12=y+3y-10
22=(y-2)(y+5)=(x+x-2)(x+x+5)
2=(x-1)(x+2)(x+x+5)(
22说明本题也可将x+x+1看作一个整体,比如今x+x+1=u,一样可以得到同样的结果,有兴趣的同学不妨试一试(
例7分解因式:
22(x+3x+2)(4x+8x+3)-90(
分析先将两个括号内的多项式分解因式,然后再重新组合(
解原式=(x+1)(x+2)(2x+1)(2x+3)-90
=[(x+1)(2x+3)][(x+2)(2x+1)]-90
22=(2x+5x+3)(2x+5x+2)-90(
2令y=2x+5x+2,则
2原式=y(y+1)-90=y+y-90
=(y+10)(y-9)
22=(2x+5x+12)(2x+5x-7)
2=(2x+5x+12)(2x+7)(x-1)(
说明对多项式适当的恒等变形是我们找到新元(y)的基础(
例8分解因式:
222(x+4x+8)2+3x(x+4x+8)+2x(
2解设x+4