初中奥数竞赛辅导资料之第一讲因式分解一.docx

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初中奥数竞赛辅导资料之第一讲因式分解一

初中奥数竞赛辅导资料之第一讲因式分解

（一）

第一讲因式分解

（一）

多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具（因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用（初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法（本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍（

1（运用公式法

在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如:

22

（1）a-b=（a+b）（a-b）;

222

（2）a?

2ab+b=（a?

b）;

3322（3）a+b=（a+b）（a-ab+b）;

3322（4）a-b=（a-b）（a+ab+b）（

下面再补充几个常用的公式:

2222（5）a+b+c+2ab+2bc+2ca=（a+b+c）;

333222（6）a+b+c-3abc=（a+b+c）（a+b+c-ab-bc-ca）;

nnn-1n-2n-32n-2n-1（7）a-b=（a-b）（a+ab+ab+…+ab+b）其中n为正整数;

nnn-1n-2n-32n-2n-1（8）a-b=（a+b）（a-ab+ab-…+ab-b），其中n为偶数;

nnn-1n-2n-32n-2n-1（9）a+b=（a+b）（a-ab+ab-…-ab+b），其中n为奇数（

运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式（

例1分解因式:

5n-1n3n-1n+2n-1n+4

（1）-2xy+4xy-2xy;

333

（2）x-8y-z-6xyz;

222（3）a+b+c-2bc+2ca-2ab;

752257（4）a-ab+ab-b（

n-1n4224解

（1）原式=-2xy（xn-2xny+y）

n-1n222222=-2xy[（xn）-2xny+（y）]

n-1n222=-2xy（xn-y）

n-1nn2n2=-2xy（x-y）（x+y）（

333

（2）原式=x+（-2y）+（-z）-3x（-2y）（-Z）

222=（x-2y-z）（x+4y+z+2xy+xz-2yz）（

222（3）原式=（a-2ab+b）+（-2bc+2ca）+c

22,（a-b）+2c（a-b）+c

2=（a-b+c）（

本小题可以稍加变形，直接使用公式（5），解法如下:

222原式=a+（-b）+c+2（-b）c+2ca+2a（-b）

2=（a-b+c）

752257（4）原式=（a-ab）+（ab-b）

522522=a（a-b）+b（a-b）

2255=（a-b）（a+b）

432234=（a+b）（a-b）（a+b）（a-ab+ab-ab+b）

2432234=（a+b）（a-b）（a-ab+ab-ab+b）

333例2分解因式:

a+b+c-3abc（

本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式（6）（

分析我们已经知道公式

33223（a+b）=a+3ab+3ab+b

的正确性，现将此公式变形为

333a+b=（a+b）-3ab（a+b）（

这个式也是一个常用的公式，本题就借助于它来推导（

33解原式=（a+b）-3ab（a+b）+c-3abc

3=,（a+b）3+c,-3ab（a+b+c）

22=（a+b+c）,（a+b）-c（a+b）+c]-3ab（a+b+c）

222=（a+b+c）（a+b+c-ab-bc-ca）（

说明公式（6）是一个应用极广的公式，用它可以推出很多有用的结论，例如:

我们将公式（6）变形为

333a+b+c-3abc

333333显然，当a+b+c=0时，则a+b+c=3abc;当a+b+c,0时，则a+b+c-3abc

333?

0，即a+b+c?

3abc，而且，当且仅当a=b=c时，等号成立（

333如果令x=a?

0，y=b?

0，z=c?

0，则有

等号成立的充要条件是x=y=z（这也是一个常用的结论（

1514132例3分解因式:

x+x+x+…+x+x+1（

15分析这个多项式的特点是:

有16项，从最高次项x开始，x的次数

nn顺次递减至0，由此想到应用公式a-b来分解（

解因为

161514132x-1=（x-1）（x+x+x+…x+x+1），

所以

说明在本题的分解过程中，用到先乘以（x-1），再除以（x-1）的技巧，这一技巧在等式变形中很常用（

2（拆项、添项法

因式分解是多项式乘法的逆运算（在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零（在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项（拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解（

3例4分解因式:

x-9x+8（

分析本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，

注意一下拆项、添项的目的与技巧（

解法1将常数项8拆成-1+9（

3原式=x-9x-1+9

3=（x-1）-9x+9

2=（x-1）（x+x+1）-9（x-1）

2=（x-1）（x+x-8）（

解法2将一次项-9x拆成-x-8x（

3原式=x-x-8x+8

3=（x-x）+（-8x+8）

=x（x+1）（x-1）-8（x-1）

2=（x-1）（x+x-8）（

333解法3将三次项x拆成9x-8x（

33原式=9x-8x-9x+8

33=（9x-9x）+（-8x+8）

2=9x（x+1）（x-1）-8（x-1）（x+x+1）

2=（x-1）（x+x-8）（

22解法4添加两项-x+x（

3原式=x-9x+8

322=x-x+x-9x+8

2=x（x-1）+（x-8）（x-1）

2=（x-1）（x+x-8）（

说明由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些

项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变

换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种（

例5分解因式:

963

（1）x+x+x-3;

22

（2）（m-1）（n-1）+4mn;

4224（3）（x+1）+（x-1）+（x-1）;

3322（4）ab-ab+a+b+1（

解

（1）将-3拆成-1-1-1（

963原式=x+x+x-1-1-1

963=（x-1）+（x-1）+（x-1）

363333=（x-1）（x+x+1）+（x-1）（x+1）+（x-1）

3=（x-1）（x6+2x3+3）

263=（x-1）（x+x+1）（x+2x+3）（

（2）将4mn拆成2mn+2mn（

22原式=（m-1）（n-1）+2mn+2mn2222=mn-m-n+1+2mn+2mn

2222=（mn+2mn+1）-（m-2mn+n）

22=（mn+1）-（m-n）

=（mn+m-n+1）（mn-m+n+1）（

222222（3）将（x-1）拆成2（x-1）-（x-1）（

422224原式=（x+1）+2（x-1）-（x-1）+（x-1）

422422=,（x+1）+2（x+1）（x-1）+（x-1）]-（x-1）

22222=,（x+1）+（x-1）]-（x-1）

222222=（2x+2）-（x-1）=（3x+1）（x+3）（

（4）添加两项+ab-ab（

3322原式=ab-ab+a+b+1+ab-ab

3322=（ab-ab）+（a-ab）+（ab+b+1）

2=ab（a+b）（a-b）+a（a-b）+（ab+b+1）

2=a（a-b）,b（a+b）+1]+（ab+b+1）

2=[a（a-b）+1]（ab+b+1）

22=（a-ab+1）（b+ab+1）（

说明（4）是一道较难的题目，由于分解后的因式结构较复杂，所以不易想到添加+ab-ab，而且添加项后分成的三项组又无公因式，而是先将前两组分解，再与第三组结合，找到公因式（这道题目使我们体会到拆项、添项法的极强技巧所在，同学们需多做练习，积累经验（

3（换元法

换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰（

22例6分解因式:

（x+x+1）（x+x+2）-12（

分析将原式展开，是关于x的四次多项式，分解因式较困难（我们

2不妨将x+x看作一个整体，并用字母y来替代，于是原题转化为关于y的二次三项式的因式分解问题了（

2解设x+x=y，则

2原式=（y+1）（y+2）-12=y+3y-10

22=（y-2）（y+5）=（x+x-2）（x+x+5）

2=（x-1）（x+2）（x+x+5）（

22说明本题也可将x+x+1看作一个整体，比如今x+x+1=u，一样可以得到同样的结果，有兴趣的同学不妨试一试（

例7分解因式:

22（x+3x+2）（4x+8x+3）-90（

分析先将两个括号内的多项式分解因式，然后再重新组合（

解原式=（x+1）（x+2）（2x+1）（2x+3）-90

=[（x+1）（2x+3）][（x+2）（2x+1）]-90

22=（2x+5x+3）（2x+5x+2）-90（

2令y=2x+5x+2，则

2原式=y（y+1）-90=y+y-90

=（y+10）（y-9）

22=（2x+5x+12）（2x+5x-7）

2=（2x+5x+12）（2x+7）（x-1）（

说明对多项式适当的恒等变形是我们找到新元（y）的基础（

例8分解因式:

222（x+4x+8）2+3x（x+4x+8）+2x（

2解设x+4x+8=y，则

22原式=y+3xy+2x=（y+2x）（y+x）

22=（x+6x+8）（x+5x+8）

2=（x+2）（x+4）（x+5x+8）（

说明由本题可知，用换元法分解因式时，不必将原式中的元都用新元代换，根据题目需要，引入必要的新元，原式中的变元和新变元可以一起变形，换元法的本质是简化多项式（

432例9分解因式:

6x+7x-36x-7x+6（

422解法1原式=6（x+1），7x（x-1）-36x

42222=6,（x-2x+1）+2x,+7x（x-1）-36x

2222=6[（x-1）2+2x]+7x（x-1）-36x

2222=6（x-1）+7x（x-1）-24x

22=[2（x-1）-3x,,3（x-1）+8x]

22=（2x-3x-2）（3x+8x-3）

=（2x+1）（x-2）（3x-1）（x+3）（

2说明本解法实际上是将x-1看作一个整体，但并没有设立新元来代替它，即熟练使用换元法后，并非每题都要设置新元来代替整体（

解法2

22原式=x[6（t+2）+7t-36]

222=x（6t+7t-24）=x（2t-3）（3t+8）

2=x[2（x-1/x）-3][3（x-1/x）+8]

22=（2x-3x-2）（3x+8x-3）

=（2x+1）（x-2）（3x-1）（x+3）（

2222例10分解因式:

（x+xy+y）-4xy（x+y）（

分析本题含有两个字母，且当互换这两个字母的位置时，多项式保

持不变，这样的多项式叫作二元对称式（对于较难分解的二元对称式，经

常令u=x+y，v=xy，用换元法分解因式（

222解原式=[（x+y）-xy]-4xy[（x+y）-2xy]（令x+y=u，xy=v，则

222原式=（u-v）-4v（u-2v）

422=u-6uv+9v

22=（u-3v）

222=（x+2xy+y-3xy）

222=（x-xy+y）（

练习一

1（分解因式:

105

（2）x+x-2;

543225（4）（x+x+x+x+x+1）-x（

2（分解因式:

32

（1）x+3x-4;

4222

（2）x-11xy+y;

32（3）x+9x+26x+24;

4（4）x-12x+323（

3（分解因式:

222

（1）（2x-3x+1）-22x+33x-1;

432

（2）x+7x+14x+7x+1;

3（3）（x+y）+2xy（1-x-y）-1;

2（4）（x+3）（x-1）（x+5）-20（

第一讲因式分解

（一）

多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具（因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用（初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法（本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍（

1（运用公式法

在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如:

22

（1）a-b=（a+b）（a-b）;

222

（2）a?

2ab+b=（a?

b）;

3322（3）a+b=（a+b）（a-ab+b）;

3322（4）a-b=（a-b）（a+ab+b）（

下面再补充几个常用的公式:

2222（5）a+b+c+2ab+2bc+2ca=（a+b+c）;

333222（6）a+b+c-3abc=（a+b+c）（a+b+c-ab-bc-ca）;

nnn-1n-2n-32n-2n-1（7）a-b=（a-b）（a+ab+ab+…+ab+b）其中n为正整数;

nnn-1n-2n-32n-2n-1（8）a-b=（a+b）（a-ab+ab-…+ab-b），其中n为偶数;

nnn-1n-2n-32n-2n-1（9）a+b=（a+b）（a-ab+ab-…-ab+b），其中n为奇数（

运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式（

例1分解因式:

5n-1n3n-1n+2n-1n+4

（1）-2xy+4xy-2xy;

333

（2）x-8y-z-6xyz;

222（3）a+b+c-2bc+2ca-2ab;

752257（4）a-ab+ab-b（

n-1n4224解

（1）原式=-2xy（xn-2xny+y）

n-1n222222=-2xy[（xn）-2xny+（y）]

n-1n222=-2xy（xn-y）

n-1nn2n2=-2xy（x-y）（x+y）（

333

（2）原式=x+（-2y）+（-z）-3x（-2y）（-Z）

222=（x-2y-z）（x+4y+z+2xy+xz-2yz）（

222（3）原式=（a-2ab+b）+（-2bc+2ca）+c

22,（a-b）+2c（a-b）+c

2=（a-b+c）（

本小题可以稍加变形，直接使用公式（5），解法如下:

222原式=a+（-b）+c+2（-b）c+2ca+2a（-b）

2=（a-b+c）

752257（4）原式=（a-ab）+（ab-b）

522522=a（a-b）+b（a-b）

2255=（a-b）（a+b）

432234=（a+b）（a-b）（a+b）（a-ab+ab-ab+b）

2432234=（a+b）（a-b）（a-ab+ab-ab+b）

333例2分解因式:

a+b+c-3abc（

本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式（6）（

分析我们已经知道公式

33223（a+b）=a+3ab+3ab+b

的正确性，现将此公式变形为

333a+b=（a+b）-3ab（a+b）（

这个式也是一个常用的公式，本题就借助于它来推导（

33解原式=（a+b）-3ab（a+b）+c-3abc

3=,（a+b）3+c,-3ab（a+b+c）

22=（a+b+c）,（a+b）-c（a+b）+c]-3ab（a+b+c）

222=（a+b+c）（a+b+c-ab-bc-ca）（

说明公式（6）是一个应用极广的公式，用它可以推出很多有用的结论，例如:

我们将公式（6）变形为

333a+b+c-3abc

333333显然，当a+b+c=0时，则a+b+c=3abc;当a+b+c,0时，则a+b+c-3abc

333?

0，即a+b+c?

3abc，而且，当且仅当a=b=c时，等号成立（

333如果令x=a?

0，y=b?

0，z=c?

0，则有

等号成立的充要条件是x=y=z（这也是一个常用的结论（

1514132例3分解因式:

x+x+x+…+x+x+1（

15分析这个多项式的特点是:

有16项，从最高次项x开始，x的次数

nn顺次递减至0，由此想到应用公式a-b来分解（

解因为

161514132x-1=（x-1）（x+x+x+…x+x+1），

所以

说明在本题的分解过程中，用到先乘以（x-1），再除以（x-1）的技巧，这一技巧在等式变形中很常用（

2（拆项、添项法

因式分解是多项式乘法的逆运算（在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零（在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项（拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解（

3例4分解因式:

x-9x+8（

分析本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，

注意一下拆项、添项的目的与技巧（

解法1将常数项8拆成-1+9（

3原式=x-9x-1+9

3=（x-1）-9x+9

2=（x-1）（x+x+1）-9（x-1）

2=（x-1）（x+x-8）（

解法2将一次项-9x拆成-x-8x（

3原式=x-x-8x+8

3=（x-x）+（-8x+8）

=x（x+1）（x-1）-8（x-1）

2=（x-1）（x+x-8）（

333解法3将三次项x拆成9x-8x（

33原式=9x-8x-9x+8

33=（9x-9x）+（-8x+8）

2=9x（x+1）（x-1）-8（x-1）（x+x+1）

2=（x-1）（x+x-8）（

22解法4添加两项-x+x（

3原式=x-9x+8

322=x-x+x-9x+8

2=x（x-1）+（x-8）（x-1）

2=（x-1）（x+x-8）（

说明由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些

项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变

换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种（

例5分解因式:

963

（1）x+x+x-3;

22

（2）（m-1）（n-1）+4mn;

4224（3）（x+1）+（x-1）+（x-1）;

3322（4）ab-ab+a+b+1（

解

（1）将-3拆成-1-1-1（

963原式=x+x+x-1-1-1

963=（x-1）+（x-1）+（x-1）

363333=（x-1）（x+x+1）+（x-1）（x+1）+（x-1）

3=（x-1）（x6+2x3+3）

263=（x-1）（x+x+1）（x+2x+3）（

（2）将4mn拆成2mn+2mn（

22原式=（m-1）（n-1）+2mn+2mn2222=mn-m-n+1+2mn+2mn

2222=（mn+2mn+1）-（m-2mn+n）

22=（mn+1）-（m-n）

=（mn+m-n+1）（mn-m+n+1）（

222222（3）将（x-1）拆成2（x-1）-（x-1）（

422224原式=（x+1）+2（x-1）-（x-1）+（x-1）

422422=,（x+1）+2（x+1）（x-1）+（x-1）]-（x-1）

22222=,（x+1）+（x-1）]-（x-1）

222222=（2x+2）-（x-1）=（3x+1）（x+3）（

（4）添加两项+ab-ab（

3322原式=ab-ab+a+b+1+ab-ab

3322=（ab-ab）+（a-ab）+（ab+b+1）

2=ab（a+b）（a-b）+a（a-b）+（ab+b+1）

2=a（a-b）,b（a+b）+1]+（ab+b+1）

2=[a（a-b）+1]（ab+b+1）

22=（a-ab+1）（b+ab+1）（

说明（4）是一道较难的题目，由于分解后的因式结构较复杂，所以不易想到添加+ab-ab，而且添加项后分成的三项组又无公因式，而是先将前两组分解，再与第三组结合，找到公因式（这道题目使我们体会到拆项、添项法的极强技巧所在，同学们需多做练习，积累经验（

3（换元法

换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰（

22例6分解因式:

（x+x+1）（x+x+2）-12（

分析将原式展开，是关于x的四次多项式，分解因式较困难（我们

2不妨将x+x看作一个整体，并用字母y来替代，于是原题转化为关于y的二次三项式的因式分解问题了（

2解设x+x=y，则

2原式=（y+1）（y+2）-12=y+3y-10

22=（y-2）（y+5）=（x+x-2）（x+x+5）

2=（x-1）（x+2）（x+x+5）（

22说明本题也可将x+x+1看作一个整体，比如今x+x+1=u，一样可以得到同样的结果，有兴趣的同学不妨试一试（

例7分解因式:

22（x+3x+2）（4x+8x+3）-90（

分析先将两个括号内的多项式分解因式，然后再重新组合（

解原式=（x+1）（x+2）（2x+1）（2x+3）-90

=[（x+1）（2x+3）][（x+2）（2x+1）]-90

22=（2x+5x+3）（2x+5x+2）-90（

2令y=2x+5x+2，则

2原式=y（y+1）-90=y+y-90

=（y+10）（y-9）

22=（2x+5x+12）（2x+5x-7）

2=（2x+5x+12）（2x+7）（x-1）（

说明对多项式适当的恒等变形是我们找到新元（y）的基础（

例8分解因式:

222（x+4x+8）2+3x（x+4x+8）+2x（

2解设x+4