2作差变形.即求f（X2）—f（X|）,通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形.
3定号.根据给定的区间和X2—X］的符号确定f（X2）—f（X】）的符号，当符号不确定时，可以
进行分类讨论.
④判断.根据单调性定义作出结论.
（3）対于复合函数y=f（g（x）河以总结为：
当函数f（x）和g（x）的单调性相同时，复合函数尸f（g（x））是增函数；
当函数f（x）和g（x）的单调性相异即不同时，复合函数y=f（g（x））是减函数；乂简称为口诀“同增异减
（4）判断函数的奇偶性：
一是利用定义法，即首先是定义域关于原点对称，再次是考察式子f（x）与f（・x）的关系，最后确定函数的奇偶性；
二是作出函数图象或从已知图象观察，若图象关于原点或y轴对称，则函数具有奇偶性.
应用示例
思路1
例1在同一坐标系下作出下列函数的图彖，并指出它们与指数函数y=2x的图象的关系.⑴尸2山与y=2x+2;
（2）y=2vl与y=2v2.
活动：
教师适当时候点拨,学生回想作图的方法和步骤，特别是指数函数图象的作法，学生回答并到黑板上作图，教师指点学生,列出对应值表，抓住关键点，特别是（0,1）点咸用计算机作图.解：
（1）列出函数数据表作出图象如图2-1-2-12.
X
・3
・2
・1
0
1
2
3
2X
0.125
0.25
0.5
1
2
4
8
2^+1
0.25
0.5
1
2
4
8
16
2丫+2
（）.5
1
2
4
8
16
32
Ox
图2-1-2-12
比较町知函数y=2x+,.y=2品与『=2%的图彖的关系为：
将指数函数y=F的图彖向左平行移动1个单位长度，就得到函数y=2x+1的图象;将指数函数y=2x的图象向左平行移动2个单位长度，就得到函数尸2也的图象.
（2）列出函数数据表作出图象如图2-1-2-13
X
-3
・2
・1
0
1
2
3
2X
0.125
0.25
0.5
1
2
4
8
1
0.625
0.125
0.25
0.5
1
2
4
0.3125
0.625
0.125
0.25
0.5
1
2
比较对知函数y=2“i、y=2x'2与y=2x的图彖的关系为：
将指数函数y=»的图象向右平行移动1个单位氏度，就得到函数y=2小的图象;将指数函数y=2x的图象向右平行移动2个单位长度,就得到函数y=2“的图彖.
点评：
类似地我们得到尸F与y=ax+m（a>0,a#l,meR）之间的关系：
y=ax+m（a>0,meR）的图象可以由y=ax的图象变化而來.
当m>0吋,y=F的图象向左移动m个单位得到y=ax+m的图象；
当m<0时，尸护的图象向右移动向|个单位得到y=ax+ni的图象.上述规律也简称为“左加右减二
变式训练
为了得到函数y=2心・1的图象，只需把函数尸2"的图象（）
A.向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
B.向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
C.向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
D.向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
答案：
B
点评：
对于有些复合函数的图象,常用变换方法作出.
_2X+b
例2已知定义域为R的两数f（x）=—.—是奇函数.
2+a
（1）求a,b的值;
（2）若对任意的伍R,不等式f（t2-2t）+f（2t2-k）<0恒成立，求k的取值范I札
活动：
学生审题，考虑解题思路.求值一般是构建方程，求取值范围一般要转化为不等式，如果有困难，教师可以提示，
（1）从条件出发,充分利用奇函数的性质,由于定义域为R,所以f（O）=O,f（-l）=-f（l）,
（2）在
（1）的基础上求出f（x）,转化为关于k的不等式，利用恒成立问题再转化.
（1）解：
因为f（x）是奇函数，
.一1
所以f（0）=0,即=0=>b=1,
a+2
1-2V
所以f（x）=7^;
1-21-；
乂由f（l）=f（・l）知==>a=2・
d+4a+1
1-2V11
（2）解法一：
由
（1）知f（x）==——+，易知f（x）在（・oo,+oo）上为减函数.
2+2x+l22X+1
又因f（x）是奇函数,从而不等式：
f（t2-2t）+f（2t2-k）<0,
等价于f（t2-2t）<-f（2t2-k）=f（k-2t2）,因f（x）为减函数,山上式推得：
t2-2t>k-2t2,BP对一切tWR有3t2-2t-k>0,
从而判别式A=4+12k<0,
解法二由⑴知2时
即（2，"+1+2）（1-2/2_2/）+（2f2-2f+2）（1-2,2-k）<0.
整理得2宀fl,因底数2>1,故3t2-2t-k>0,
上式对一•切tGR均成立，从而判别式△=4+12k<0,即k<--.
3
点评：
记住下列函数的增减性，对解题是十分有用的，若f（x）为增（减）函数,则丄为减（增）函数.
思路2
例1
£丫ci
设a>0,f（x）=—+—在R上满足f（-x）=f（x）.
aex
⑴求a的值；
（2）证明f（x）在（0,+co）上是增函数.
活动：
学牛先思考或讨论，如果有困难，教师提示,引导.
（1）求单独一个字母的值，一般是转化为方程，利用f（-x）=f（x）nJ*建立方程.
（2）证明增减性一般用定义法，回忆定义法证明增减性的步骤，规范书写的格式.
1e'a
⑴解：
依题意，对一切xeR冇f（-x）=f（x）成立，即——+acx=—+—.
aexaex
所以（a-—）（ex——）=0对一切xER成立.由此可得a-丄=0,即a2=l.
aexci
乂因为a>0,所以a=L
（2）证明:
设00,x2>0,x2-xi>0,WX2+xi>0,八一">0,1—eX2+x,<0,
所以f（X1）-f（x2）<0,即f（x）在（0,+oo）上是增函数.
点评：
在已知等式f（・x）=f（x）成立的条件下，对应系数相等，求出a,也可用特殊值求解.证明函数的单调性,严格按定义写出步骤，判断过程尽量明显直观.
例2已知函数f（x）=3x,Kx=a+2nj-,f（x）=18,g（x）=3ar-4v的定义域为[0,1].
⑴求g（x）的解析式；
⑵求g（x）的单调区间，确定其增减性并试用定义证明；
⑶求g（x）的值域.
解：
（1）因为f（x）=3x,Kx=a+2时f（x）=18,
所以f（a+2）=3a+2=18.所以3a=2.
所以g（x）=3ax-4x=（3a）x-4\
W以g（x）=2x-4\
（2）因为函数g（x）的定义域为［0,1］，令t=2：
因为xW［0,1］时，函数t=2x在区间［0,1］上单调递增，
所以蛙［1,2］，则g（t）=t-r=-（t2-t）=-（t--）2+--,te［1,2］.
24
因为函数t=V在区间［0,1］上单调递增，函数g（t）=t-t2在炖［1,2］上单调递减,所以函数g（x）在区间［0,1］上单调递减.
证明:
设X］和X2是区间［0,1］上任意两个值，且X产X2,
g（x2）-g（X］）=2A2-4勺-2X}+4X,=（2。
-2X,）_（2乃-2V,）（2A2+2X,）=（2乃_2山）（1_2山_2七）,
因为0所以2巾>2Xl，且1<2X,<2,1<2忑<2.
所以2<2A*-2V2<4.
所以-3<1-2V1-2Y2<-1,可知（2。
-2v,）（1-2x,-T1）<0.
所以g（x2）所以函数g（x）在区间［0,1］上单调递减
（3）因为函数g（x）在区间［0,1］上单调递减，
所以xw［0,1］吋，有g（l）因为g（l）=21-41=-2,g（O）=2o-4°=O,
所以-2故函数g（x）的值域为［-2,0］.
点评：
此题是一道有关函数的概念、函数性质的应用、推理、证明综合题,要通盘考虑.知能训练
求函数y=（丄）卩+2怦|的单调区间.
活动：
教师提示，因为指数含有两个绝对值，要去绝对值，要分段讨论，同时注意底数的大小，分析出指数的单调区间，再确定函数的单调区间，利用复合函数的单调性学生思考讨论,然后解答.
解：
山题意可知2与-丄是区间的分界点.
2
当XV-丄时，因为y=（丄）》+2=（丄严毛3亠丄-翼
2222
所以此时函数为增函数.
当-丄22282
所以此时函数为减函数.
当x>2时，因为y=（丄）,+2x+x-2=（-）3x-,=2,'3x=2•（-）x,
228
所以此时函数为减函数.
当Xiw[,2）凶丘[2,+oo）时，因为2*（—）X2-—•（―）X]=2•2~3x2—23*2A,
2882
=2〔-3勺_2-3-r>
又因为1-3X2-（-3-xi）=4-3X2+X1=4+x1-3X2<0,所以1-3x2<-3-xi,
即•（*）'
所以此时函数为减函数.
综上所述，函数f（x）在（-8,]上单调递增，在[,+8）上单调递减.
22
拓展提升
4V
设m4”+2
（l）f（a）+f（l-a）的值；
⑵f（丄）+f（丄）+/*（丄）+…+f（列）的值.
1001100110011001
活动：
学生思考，观察，教师提示学生注意式了的特点，做这种题目，一定要有预见性，即第
（2）问要用到第
（1）问的结果，联系函数的知识解决.
4“
解：
⑴"5+严+2
4
F4"
丄+丄=灶丸
4"+22+4"4"+2
1、2、“3、“1000、
（2）f（）+f（）+/（）+…+f（）
1001100110011001
「「“1、「“2、“999、]「“500、501A_
—[[/（）+f（）]+[f（）+f（）]H[/（）+f（）]
100010011000100110011001=500x1=500.
点评：
第⑵问是第
（1）问的继续，笫⑴问是第
（2）问的基础，两个问号是衔接的，利用前一个问号解决后一个问号是我们经常遇到的情形，要注意问号与问号之间的联系.
课堂小结
本节课复习了指数函数的性质,借助指数函数的性质的运用，我们对函数的单调性和奇偶性又进行了复习巩固，利用单调性和奇偶性解决了一些问题，対常考的函数图象的变换进行了学习,耍高度重视，在不断学习中升华捉高.
作业
课本P59习题2JA组5.
设计感想
指数函数作为一•类基本的初等函数，它虽然不貝有函数通性中的奇偶性，但是它与英他函数复合构成具有比鮫复朵的单调性的函数，同时也可以复合出比较特殊的奇函数和偶函数，判断
复合函数的单调性和奇偶性要I•分小心严格按规疋的要求，冇时借助数形结介可帮我们找到解题思路，木堂课是在以前基础上的提高与深化，同时又兼顾了高考常考的内容,1大1此涉及面广,容量大，要集中梢力，加快速度，高质量完成教学任务.
习题详解
（课木54页练习）
232
2.
（1）VP"=X3,
（2）寸=（a+b）4,（3）乂（m-n）?
=（m-n）3,
⑷7（m-n）4=（m-n）2,（5）Jp&q'=p3q2,（6）#==m2=m2.
J.2J.1丄+丄+丄
（2）2V3xVh5xV12=2x3x（-）3x（3x22）6=233x33+3+5=2x3=6;
1\_1215
⑶a2a'a8=a248=a8;
2.
（1）要使函数冇意义，需x・220,即沦2,所以函数y=3皿的定义域为{x|x>2};
1-
⑵要使函数有意义，需X怂即函数y=（-）A的定义域是{XIx/0}.2
3.y=2x（xENi：
）
（课本第59页习题2.1）
l.（l）100;
（2）-0.l;（3）4-;r;（4）x-y.
li.
丄11丨+丨+丄
•Vm_m2•m3•_m2340_
（3）——=—=5^=m=L
代/万y•加丁m^mA
点评:
遇到多重根号的式子，可以由里向外依次去掉根号，也可根据幕的运算性质来进行.对于
（1）,可先按底数5,再按回键，再按1EL,最后按三I,即町求得它的值.
对于⑵洗按底数&31,再按bd键，再按1习2,最后按口即可.答案:
2.8810;
对于（3）这种无理指数幕，先按底数3,再按罔键，再按忙键，再按2,最后按日即可答案：
4.7288;
对于（4）这种无理指数幕，可先按底数2,其次按bd键，再按兀键，最后按二1即可.
1x12—xl2.o
⑶（x'y4）=x3y4=x4y';
111122
xx424y333=24y;
\_
⑹（-2X4y3）（3x2y3）（^x4y3）=[.2x3x（-4）]
_!
_丄丄_丄1_丄
12
MB*
（7）（2x2+3y可）（2x-3y）=（2x》）2-（3y）2=4x-9y;
点评：
进行冇理数指数幕的运算时，要严格按法则和运算顺序，同时注意运算结果的形式，但结果不能既有分数指数又有根式，也不能既冇分母又有负指数.
5.
（1）要使函数有意义，需3-xER,即xWR,所以函数y=23'x的定义域为R.
（2）耍使函数有意义，需2x+lWR,即xGR,所以函数y=32x+,的定义域为R
（3）要使函数有意义，需5xFR,即xFR,所以函数y=（-）5x的定义域为R
£
（4）要使函数有意义，需xHO,所以函数y=0.7；的定义域为{x|x*0}.
点评：
求函数的定义域一是分式的分母不为零，二是偶次根号的被开方数人于零,0的0次幕没有意义.
6.解：
设经过x年的产量为y,—年内的产量是a（l+丄-）,两年内产量是a（l+-^-）2,...,x年内
100100
的产最是a（l+-^）x,则y=a（l+-^-）x（xeN*,x100100
点评：
根据实际问题，归纳是关键，注意X的取值范Fit
7.
（1）3°与3°7的底数都是3,它们可以看成函数y=3；当x=0.8和0.7时的函数值；因为3>1,所以函数y=3x在R上是增函数.而0.7O.&所以3°-7<30'8.
（2）0.75小与0.75°」的底数都是0.75,它们可以看成函数y=0.75x,当x=-0.1和0.1时的函数值；因为1>0.75,所以函数y=0.75x在R上是减函数.而・0」<0丄所以0.75°」<0.75小
（3）1.012-7与1.01'5的底数都是1.01,它们可以看成函数y=1.01x,当x=2.7和3.5时的函数值;因为1・01>1,所以函数y=1.01x在R上是增函数.而2.7V3.5,所以1.0127<1.0135.
（4）0.9丹与0.99"的底数都是0.99,它们可以看成函数y=0.99x,当x=3.3和4.5吋的函数值；因为0.99V1,所以函数y=0.99x在R上是减函数.而3.3<4.5,所以0.9945<0.99<3.
8.（l）2m,2n可以看成函数y=2：
当x=m和n时的函数值;因为2>1,所以函数尸2*在R上是增函数.因为2m<2n,所以mvn.
⑵0.2m,0.2n可以看成函数y=02；当x=m和n时的函数值;因为0.2<1,所以函数尸0.才在R上是减函数•因为0.2m<0.2n,所以m>n.
⑶玄“卅可以看成函数yF,当xw和n时的函数值;因为0所以m>n.
⑷a^a11可以看成函数y=ax,当x=m和n时的函数值;因为a>1,所以函数y=ax在R上是增函数.因为aba：
所以m>n.
点评：
利用指数函数的单调性是解题的关键.
1丄
9.
（1）死亡生物组织内碳14的剩余量P与时间t的函数解析式为P=（-）5730.
]9x5730,
当时间经过九个“半衰期''后,死广牛•物组织内的碳14的含量为P=（丄）刁莎=（丄）冬0.002.
22
答:
当时间经过九个“半衰期”后，死亡生物纽织内的碳14的含量约为死亡前含量的2%。
因此,还能用一般的放射性探测器测到碳14的存在.
]10000/
（2）设大约经过t万年后，用一般的放射性探测器测不到碳14,那么（丄）歸<0.001,解得t>5.7.
2
答:
人约经过6力年后川一般的放射性探测器是测不到碳14的.
1.当OVaVl时，
a*7>a妆i2nx・7V4x—lnx>—3;
当a>l时，
a2x-7>a4x-i=2x-7>4x-1=>x<-3.
综上当0—3｝；当a>l吋，不等式的解集是｛x|x<—3｝.
2.分析:
像这种条件求值，一般考虑整体的思想,同时观察指数的特点，要注重完全平方公式的运用.
丄_1
解：
（1）设y=x2+x2,
那么y2=（x空+x2）2=x+x"+2.
由于x+x"=3,所以y=V5.
（2）设y=x2+x'2,
那么y=（x+x_1）2-2.
由于x+x'=3,
所以y=7.
⑶设y=x2-x-2,
那么y=（x+x1）（x-x1）,
而（x-x'）2=x2-2+x_2=V5,
所以y=±3运.
点评：
整体代入和平方差，完全平方公式的灵活运用是解题的突破口.
3.解：
已知本金为a元.
1期后的木利和为yi=a+axr=a（l+r）,
2期后的本利和为y2=a（1+r）+a（1+r）xr=a（1+r）2,
3期后的本利和为y3=a（14-r）3,
•••
x期后的本利和为y=a（l+r）x.
将a=l000,r=0.0225,x=5代入上式得
y=a（l+r）x=l000x（1+0.0225）5=1OOOx1.02255~1118.
答:
本利和y随存期x变化的函数关系式为y=a（l+r）\5期示的木利和约为1118元.
4.解：
（1）因为y】=y2,所以a3x+1=a'2x.
所以3x+l=-2x.
所以x=.
5
（2）因为y】>y2,所以a3x+1>a2x.所以当a>l时,3x+l>・2x.
所以x>.
5
所以当0（设计者：
刘玉亭）
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