完整版概率论基本公式.docx
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完整版概率论基本公式
1、AB
ABAAB;A
B
A（BA）
例：
证明：
A
B）
BAABAB
A
B.
第一部分概率论基本公式
概率论与数理统计基本公式
证明：
由（AB）B，知B不发生，A发生，则AB不发生，从而AB）BAAB成立，也即AB成立，也即AB成立。
得证。
2、对偶率：
ABAB；ABAB.
3、概率性率：
（1）有限可加：
A1、A2为不相容事件，则P（A1A2）P（A1）P（A2）
P（AB）
P（A）
P（B）;P（A）
P（B）
（3）对任意两个事件有：
P（A
B）P（A）
P（B）P（AB）
例：
已知：
P（A）
0.5，P（AB）
0.2，P（B）
0.4.求：
（1）P（AB）;P（AB）;P（A
解：
AB
ABB,且B、AB是不相容事件，
P（AB）P（AB）P（B）
即P（AB）
0.2.,又
P（A）0.5,
P（AB）
P（A）P（AB）0.3
P（AB）
P（A）
P（B）P（AB）
0.7,P（AB）PAB1P（AB）0.3.
4、古典概型
P（AB）P（A）P（AB）,特别，BA时有：
（2）
B）;P（AB）
例：
n双鞋总共2n只，分为n堆，每堆为2只，事件A每堆自成一双鞋的概率
2n（2-n2））!
！
2！
自成一双为：
n!
C22n
解：
分堆法：
C22n
n！
，则P（A）
5、条件概率
P（B|A）
P（AB）,称为在事件A条件下，事件B的条件概率，
P（A）
P（B）称为无条件概率。
乘法公式：
P（AB）P（A）P（B|A）P（AB）P（B）P（A|B）
全概率公式：
P（B）P（Ai）P（B|Ai）
i
贝叶斯公式：
P（Ai|B）P（AiB）P（Ai）P（B|Ai）
iP（B）P（Aj）P（B|Aj）
j
例：
有三个罐子，1号装有2红1黑共3个球，2号装有3红1黑4个球，3号装有2红2
黑4个球，某人随机从其中一罐，再从该罐中任取一个球，
（1）求取得红球的概率；
（2）如
果取得是红球，那么是从第一个罐中取出的概率为多少？
解：
（1）设Bi｛球取自i号罐｝，i1,2,3。
A｛取得是红球｝，由题知B1、B2、B3是一个完备事件
231由全概率公式P（B）P（Ai）P（B|Ai），依题意，有：
P（A|B1）;P（A|B2）;P（A|B3）.
i3421
P（B1）P（B2）P（B3），P（A）0.639.
3
（2）由贝叶斯公式：
P（B1|A）P（A|B1）P（B1）0.348.
1P（A）
6、独立事件
（1）P（AB）=P（A）P（B）,则称A、B独立。
（2）伯努利概型如果随机试验只有两种可能结果：
事件A发生或事件A不发生，则称为伯努利试验，即：
P（A）=p,P（A）1pq（0伯努利定理：
b（k;n,p）Cnkpk（1p）nk（k=0,1,2⋯⋯）
事件A首次发生概率为：
p（1p）k1
例：
设事件A在每一次试验中发生的概率为0.3，当A发生不少于3次时，指示灯发出信号
（1）进行5次重复独立试验，求指示灯发出信号的概率；
（2）进行了7次重复独立试验，求指示灯发出信号的概率。
解：
（1）设B“5次独立试验发出指示信号”，则由题意有：
5
P（B）C5kpk（1p）5k，代入数据得：
P（B）0.163
i3
（2）设C“7次独立试验发出指示信号”，则由题意有：
7
P（C）C7kpk（1
i3
7k
p）7k1
2
C7kpk（1p）nk，代入数据，得：
P（C）0.353i0
第二章
7、常用离散型分布
（1）两点分布：
若一个随机变量
X只有两个可能的取值，且其分布为
：
P{Xx1}p;P{X
x2}1
p（0处参数为p的两点分布。
特别地，若X服从x1
1，x2
0处参数为p的两点分布，即：
X
0
1
pi
q
p
则称X服从参数为0—1分布。
其中期望E（X）=p,D（X）=p（1-p）
2）二项分布：
若一个随机变量X的概率分布由P｛Xk｝Cnkpk（1-p）nk
（k=0,1,2⋯⋯）
给出，则称X服从参数为n，p
的二项分布，
记为：
X~b（n,p）（
或B（n，p）
n其中P{Xk0
k}1，当n=1时变为：
P{X
k}pk（1
1k
p）1k
（k=0,1）
此时为0—1
分布。
其期望E（X）
=np，方差D（X）=n（1-p）
（3）泊松分布：
若一个随机变量X概率分布为：
P{Xk}
e
k
0，
k0,1,2
k!
则称X服从参数为的泊松分布，记为：
X~P（）（或X~（）,其中P{Xk}1，k0
称为泊松流强度。
泊松定理：
在n重伯努利试验中，事件A在每次试验中发生的概率为Pn,如果n时，
nPn（0的常数），则对任意给定的k，
k
有limb（k;n,p）limCnkpnk（1pn）nke，这表明，当n很大时，p接近0或1nnk!
k
时，有Cnkpnk（1pn）nke（np）。
k!
其期望方差相等，即：
E（X）=D（X）=。
8、常用连续型分布
11其期望E（X）=,方差D（X）=2.
其期望E（X）=μ,D（X）=2。
定Y的概率分布。
2）连续型随机变量函数分布方法：
设已知X的分布函数FX（x）或者概率密度fX（x），则
布函数FY（y），求出Y的密度函数。
YX21的分布函数和密度函数
解：
设FY（y）和fY（y）分别是随机变量Y的分布函数和概率密度函数，则由1x1得：
1y
2,那么当y1时FY（y）
P{Y
y}
P{X21y}
P（）0,当1y
2时，得：
2
y1
0（1x）dx
Y（y）
P{Yy}P{X21
y}P{
y
1xy1
y1（1|x|）dx
y1
y1
1
y1（1
0
x）dx2y1（y
1）,当y
2时，
FY（y）P{Y
y}P{X21
y}0dx
0,y1
1（1
|x|）dx1
0dx
1,所以，FY（y）
2y1
（y1）,1y2,
1,y2
1
1,1y2
fX（x）
FY（y）'
y
1
0,其他
10、
设随机
变量
2
X~N（,2）
Y=aX
b也服从正态分布.即
YaXb~N（ab,（a）2）。
11、联合概率分布
（1）离散型联合分布：
Pij1
ij
XY
y1⋯⋯
yj
P{X=xi}
x1
p11
p1j
P1jj
xi
Pi1
Pij
Pijijj
P{Y=yj}
Pi1i
Piji
1
（2）连续型随机变量函数的分布：
0,其他
求f（x）,f（y）,E（X）,E（Y）,cov（X,Y），XY，D（X+Y）.
0
或x>2时，由fX（x）0dy0dy0，所以，
1/8x21/4x,0x2
0,其他
2
②E（X）=xfX（x）dx7/6,由对称性同理可求得，E（Y）=7/6。
0
22
1/8xy（xy）dxdy4/3.
00
22
③因为E（XY）=xyf（x,y）dxdy
00
2
所以，cov（X,Y）=E（XY）-E（X）E（Y）=4/3-（7/6）2=-1/36。
⑤D（X+Y）=D（X）+D（Y）+2cov（X,Y）=
X的条件分布函数
边缘分布概率为FX（x）、FY（y），若对于任意x、y有：
P{Xx,Yy}P{Xx}P{Yy}，即：
F（x,y）FX（x）FY（y），则称X和Y独立。
14、连续型随机变量的条件密度函数：
设二维连续型随机变量（X,Y）的概率密度为f（x,y）,边缘概率密度函数为fX（x）、fY（y），则对于一切使fX（x）>0的x,定义在X=x的条件下Y的条件密度函数为：
fY|X（y|x）f（x,y），同理得到定义在Y=y条件下X的条件概率密fX（x）
度函数为：
X|Y（x|y）f（x,y），若f（x,y）=fX（x）fY（y）几乎处处成立，则称X,Y相互fY（y）
独立。
例：
设二维随机变量（X，Y）的概率密度函数为
f（x,y）
ce（2xy）,x0,y0
0,其它，求
（1）确定常数c；
（2）X,Y的边缘概率密
度函数；（3）联合分布函数F（x,y）;（4）P{Y≤X};
（5）条件概率密度函数fX|Y（x|y）；（6）P{X<2|Y<1}
数学期望的性质：
①
变量都有数学期望。
E（CX）=CE（X）①E（X1X2）E（X1）E（X2）③设X,Y独立，
15个房间，每个房间容纳的人数不限，设X表示有人的房间数，求）
则E（XY）=E（X）E（Y）.例：
10个人随机进入E（X）（设每个人进入房间是等可能的，且各人是否进入房间相互独立附：
二项分布b（n,p）和两点分布b（1,p）的另一个关系，仍设一个实验只有两个结果：
A和A,
1，第i次试验A出现
0，第i次试验A不出现
且P（A）=p,现在将试验独立进行n次，记为n次试验中结果A出现的次数，则X~b（n,p），若记Xi为第i次试验中结果A出现的次数，即：
Xi
1,第i号房间有人；
i1,2,3,
0，第i号房间没人；i1,2,3,
2
（2）方差性质：
①D（CX）=C2D（X）;②若X.Y相互独立，则：
D（XY）D（X）D（Y）
17、协方差：
（1）cov（X,Y）=E（XY）-E（X）E（Y）,特别，X,Y独立时，有：
cov（X,Y）=0.
（2）协方差性质：
①cov（X,X）=D（X）;②cov（aX,bY）=abcov（X,Y）;③cov（C,Y）=0;④cov（X1X2,Y）=cov（X1,Y）cov（X2，Y）⑤随机变量和的方差与协方差的关系
D（XY）D（X）D（Y）2cov（X,Y）.
（3）相关系数XYcov（X,Y）,性质：
①|XY|1;②若X和Y相互独立，则XY=0，
XYD（X）D（Y）XYXY
即X和Y不相关。
③若D（X）>0，D（Y）>0，则当且仅当存在常数a，b（a0），使：
P{YaXb}1时，|XY|1，而且a0时，XY1;当a0时，XY1.
2
④设e=E[Y-（aXb）]2,称为用aXb来近似Y的均方差，则：
设D（X）>0，D（Y）>0,有：
2
2,则对于给定任意正数
a0coDv（（XX,）Y）,b0E（Y）a0E（X）,使均方误差达到最小。
18、切比雪夫不等式：
设随机变量X的期望E（X）=μ,方差D（X）=
2
19、大数定理：
设随机变量X1,X2,⋯⋯Xn⋯⋯相互独立，且具有相同的期望和方差：
E（Xi）
D（Xi）2，i=1,2,3⋯⋯，记Yn1Xi，则对于任意>0,有：
ni1
linmP{|Yn|}1,推论linmP{|nnA
nnnA发生的次数，p为概率。
p|
1（其中nA为n重伯努利中
20、中
心极限定理；
（1）设随机变量X1,X
2,
相互独立，服从同一分布，且
E（Xi）,D（Xi）
i=1,2,3⋯⋯，则：
n
XinlinmP{n
x}
1et/2dt.一个结论：
2
n
Xi~N（0,1）/n
i1
（2）棣莫佛—拉普拉斯定理：
设随机变量X1,X2,
Xn
相互独立，并且都服从参数为p
的两点分布，则对任意实数
n
Xinpx，有：
lnimP{np（1p）
的信息，因此，当方
第二部分数理统计
21、由于样本方差（或样本标准差）很好的反应总体方差（或标准差）
差2未知时，常用S2去估计，而总体标准差
则常用样本标准差S去估计。
22、常用统计分布
（1）分位数：
设随机变量
（01）,若实数F满足P{XF}
若实数T、2满足P{|X|T、2},则称T、2为随机变量X分布的的双侧分位数。
X的分布函数F（x）,对给定的实数
则称F为随机变量X分布的水平的上侧分位数，
2）2分布：
设X1,X2,Xn是取自总体N（0,1）的样本，
2X12X22Xn2服从自由度为n的2分布。
E（
称统计量
2）n,D
（2）
2n，
3）t分布X~N（0,1）,Y~2（n）,且X和Y相互独立，则称T
Y/n
服从自由度为n的t分布。
4）F分布：
设X~2（m）,Y~2（n）,且X与Y相互独立，则称F服从自由度为（m,n）的F分布，记：
F~F（m,n）
X/mnX
Y/nmY22、
抽样分布A、单正态总体抽样分布
（1）设总体X~N（，2）,X1，X,2，Xn是取自X的一个样本，
X为该样本的样本均值，则有：
X~N
2X
2/n）;UX~N（0,1）
/n
B、双正态总体抽样分布：
是总体分布的未知参数，为估计未知参数，需要构造一个适当的：
（X1,X2,Xn），然后观察值：
（x1,x2,xn）来估计，（X1,X2,Xn）称为
的估计量，（x1,x2,xn）称为的估计值，估计量和估计值统称为点估计。
设（X1,X2,Xn）是未知参数的估计量，若E（）,则称为的无偏估计量，
设X1，X,2，Xn是取自X的样本，总体X的均值为，方差为2，则：
样本均值X是的无偏估计量，样本方差S2是2的无偏估计量，样本二阶中心矩1n
1（XiX）2是2的无偏估计量。
ni1
24、点估计常用方法
（1）矩估计法：
先求E（X）,得到一个E（X）与未知参数的式子，用E（X）表示未知参数，再把E（X）用X代替即可。
例：
已知总体X的概率分布为P{Xk}C2k
（1）k2k,k0,1,2,求参数的矩估计。
1-E（X）
2
n
解：
E（X）xiP{Xk}0x21x（21-）（21-）22-2，
i1
用样本均值X代替E（X）得到的矩估计为：
1-X。
（2）最大似然估计：
一般方法：
a、写出最大似然函数
L（x1,x2,xn;）;b令dL（）0或dlnL（）0,求出驻点；c、判断并求出最大
dd值点，在最大值点得表达式中，用样本均值代入即得到参数的最大释然估计值。
并在原假设H0成立的前提下导出U的概率分布，要求U的分布不依赖于任何未知参数；
（4）确定拒绝域，即依据直观分析先确定拒绝域形式，然后根据给定的显著性水平α和U
的分布，由P｛拒绝H0|H0为真｝=α，确定拒绝域的临界值，从而确定拒绝域W；（5）做一
次具体抽样，根据得到的样本观察值和所得的拒绝域，对假设H0做出拒绝或接受的判断。
例：
水泥厂用包装机包装水泥，每袋额定重量50千克，某日开工后随机抽查了9袋，得其样本均值为49．9，样本方差为0．29．假设每袋重量服从正态分布，问包装机工作是否正常（0.05）？
（已知t0.025（8）2.306）
解：
（1）建立假设H0:
μ=50，H1:
μ≠50;
2）选择统计量：
T（X0）/（S/n）~t（n1）；
3）对于给定的显著性水平α，确定k，使
P{|T|>k}=α，查t分布表得：
kt/2t0.025（8）2.306，从而
得拒绝域为：
|t|>2.306.
即认为包装正常
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