完整版概率论基本公式.docx

1、完整版概率论基本公式1、 A BAB A AB;ABA (B A)例：证明：AB)B A AB ABAB.第一部分 概率论基本公式概率论与数理统计基本公式证明： 由(A B) B，知 B不发生， A发生，则 AB不发生，从而 A B) B A AB成立，也即 A B成立，也即 A B成立。得证。2、对偶率： A B A B；A B A B.3、概率性率：(1) 有限可加： A1、 A2为不相容事件，则 P(A1 A2) P(A1) P(A2)P(A B)P(A)P(B);P(A)P(B)(3) 对任意两个事件有： P(AB) P(A)P(B) P(AB)例：已知：P(A)0.5， P(AB)0

2、.2，P(B)0.4.求：(1)P(AB);P(A B); P(A解： ABAB B,且B、AB是不相容事件，P(AB) P(AB) P(B)即P(AB)0.2.,又P(A) 0.5,P(A B)P(A) P(AB) 0.3P(A B)P(A)P(B) P(AB)0.7, P( AB) PA B 1 P(A B) 0.3.4、古典概型P(A B) P(A) P(AB),特别， B A时有： (2)B); P( AB )例： n双鞋总共 2n只，分为 n堆，每堆为 2只，事件 A每堆自成一双鞋的概率2n(2-n2)!！2！,自成一双为：n!C22n解：分堆法： C22nn！，则 P(A)5、条件

3、概率P(B| A)P(AB) ,称为在事件 A条件下，事件 B的条件概率，P(A)P(B)称为无条件概率。乘法公式： P(AB) P(A)P(B |A) P(AB) P(B)P(A |B)全概率公式：P(B) P(Ai )P(B| Ai )i贝叶斯公式： P(Ai |B) P(AiB) P(Ai)P(B|Ai)i P(B) P(Aj)P(B |Aj)j例：有三个罐子， 1号装有 2红1黑共 3个球， 2号装有 3红1黑 4个球， 3号装有 2红2黑 4 个球，某人随机从其中一罐，再从该罐中任取一个球， (1)求取得红球的概率； ( 2)如果取得是红球，那么是从第一个罐中取出的概率为多少？解：(

4、1)设Bi 球取自 i号罐 ，i 1,2,3。 A 取得是红球 ，由题知 B1、B2、B3是一个完备事件231 由全概率公式 P(B) P(Ai )P(B| Ai )，依题意，有： P(A|B1) ;P(A|B2) ;P(A|B3) .i 3 4 2 1P(B1) P(B2 ) P(B3) ， P(A) 0.639.3( 2)由贝叶斯公式： P(B1| A) P(A|B1)P(B1) 0.348.1 P(A)6、独立事件(1)P(AB)=P(A)P(B), 则称 A、 B 独立。(2)伯努利概型 如果随机试验只有两种可能结果：事件 A 发生或事件 A 不发生，则称为伯努利试验，即：P(A)=p

5、, P(A) 1 p q (0p1,p+q=1) 相同条件独立重复 n 次，称之为 n 重伯努利试验，简称伯努利概型。 伯努利定理： b(k;n, p) Cnk pk (1 p)n k ( k=0,1,2 )事件 A 首次发生概率为： p(1 p)k 1例：设事件 A 在每一次试验中发生的概率为 0.3，当 A 发生不少于 3 次时，指示灯发出信号 (1)进行 5 次重复独立试验，求指示灯发出信号的概率； (2)进行了 7 次重复独立试验， 求指示灯发出信号的概率。解：(1)设 B “5次独立试验发出指示信 号”，则由题意有：5P(B) C5kpk(1 p)5 k，代入数据得： P(B) 0.

6、163i3(2)设C “7次独立试验发出指示信 号”，则由题意有：7P(C) C7k pk (1i37kp) 7 k 12C7k pk (1 p)n k，代入数据，得： P(C) 0.353 i0第二章7、常用离散型分布(1)两点分布：若一个随机变量X 只有两个可能的取值，且其分布为：P X x1 p;P Xx2 1p (0p2 时，由 f X (x) 0dy 0dy 0 ，所以，1/8x 2 1/ 4x,0 x 20,其他2 E(X)= xfX(x)dx 7/6 ,由对称性同理可求得， E(Y)=7/6 。0221/8xy(x y)dxdy 4/3.0022因为 E(XY)= xyf(x,y

7、)dxdy002所以， cov( X,Y )= E(XY)- E(X) E(Y)=4/3-(7/6) 2 =-1/36 。D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2cov(X,Y)=X的条件分布函数边缘分布概率为 FX (x)、FY(y)，若对于任意 x、y 有：PX x,Y y PX xPY y，即：F(x,y) FX(x)FY(y)，则称 X和 Y独立。14、连续型随机变量的条件密度函数： 设二维连续型随机变量 ( X,Y )的概率密度为 f(x,y), 边缘概率密度函数为 f X ( x)、 f Y ( y) ，则对于一切使 fX(x)0 的 x,定义在 X=x 的条件下 Y 的条件密度函数为

8、： fY|X(y|x) f(x,y)，同理得到定义在 Y=y 条件下 X 的条件概率密 fX (x)度函数为：X|Y(x|y) f(x,y)，若 f (x, y) = f X (x) fY (y)几乎处处成立，则称 X,Y 相互 fY(y)独立。例：设二维随机变量(X，Y)的概率密度函数为f (x, y)ce (2x y),x 0, y 00, 其它 ，求( 1)确定常数 c；(2)X,Y 的边缘概率密度函数；( 3)联合分布函数 F(x,y);(4)PY X; (5)条件概率密度函数 f X |Y ( x | y ) ；(6) PX2|Y0 ，D(Y)0 ，则当且仅当存在常数 a，b(a 0

9、)，使：PY aX b 1时，| XY | 1，而且 a 0时， XY 1;当a 0时， XY 1.2设 e=EY-( aX b) 2 ,称为用 aX b来近似 Y 的均方差，则：设 D(X)0 ，D(Y)0, 有：22 , 则对于给定任意正数a0 coDv(XX,)Y),b0 E(Y) a0E(X ),使均方误差达到最小。18、切比雪夫不等式： 设随机变量 X 的期望 E(X)= ,方差 D(X)=219、大数定理：设随机变量 X 1 ,X 2 , X n 相互独立，且具有相同的期望和方差：E(Xi),D(Xi) 2 ， i=1,2,3 ， 记Yn 1 Xi ，则对于任意 0,有： ni1l

10、inm P| Yn | 1,推论linm P| nnAn n n A发生的次数， p为概率。p|1（其中n A为n重伯努利中20、中心极限定理； （ 1）设随机变量 X 1 ,X2,相互独立，服从同一分布，且E(Xi) ,D(Xi )i=1,2,3，则：nXi n linmP nx1 e t /2dt. 一个结论：2nXi N (0,1) /ni1（2）棣莫佛拉普拉斯定理：设随机变量 X1,X 2,Xn相互独立， 并且都服从参数为 p的两点分布，则对任意实数nXi np x，有： lnim P np(1 p)的信息，因此，当方第二部分 数理统计21、由于样本方差（或样本标准差）很好的反应总体方

11、差（或标准差）差 2未知时，常用 S2 去估计，而总体标准差则常用样本标准差 S 去估计。22 、常用统计分布（ 1）分位数：设随机变量（0 1）,若实数 F 满足PX F 若实数T 、2满足P| X | T 、2 ,则称T 、2为随机变量 X分布的 的双侧分位数。X 的分布函数 F（x） ,对给定的实数,则称 F 为随机变量 X分布的水平 的上侧分位数，2） 2分布：设X 1,X 2, X n是取自总体 N （0,1）的样本，2 X12 X22 X n2服从自由度为 n的 2分布。 E（称统计量2) n,D( 2 )2n，3）t分布X N（0,1）,Y 2（n）,且X和Y相互独立，则称 TY

12、/n服从自由度为 n的 t分布。4） F分布：设 X 2 （m）,Y 2 （n）,且X与Y相互独立，则称 F 服从自由度为（ m, n）的F分布，记： F F（m,n）X /m nXY /n mY 22 、抽样分布 A 、单正态总体抽样分布（1）设总体 X N（ ， 2）,X1，X,2， Xn是取自 X的一个样本，X 为该样本的样本均值， 则有： X N2X2 /n);U X N (0,1)/nB、双正态总体抽样分布：是总体分布的未知参数 ，为估计未知参数 ，需要构造一个适当的：(X1,X2, Xn) ，然后观察值： (x1,x2, xn)来估计 ， (X1,X2, Xn)称为的估计量， (x

13、1,x2, xn )称为 的估计值，估计量和估计值统称为点估计。设 (X1, X2, X n )是未知参数 的估计量，若 E( ) ,则称 为 的无偏估计量，设X1，X ,2， Xn是取自 X的样本，总体 X的均值为 ，方差为 2，则： 样本均值 X 是 的无偏估计量，样本方 差 S2是 2的无偏估计量，样本二 阶中心矩 1n1 (Xi X)2是 2的无偏估计量。ni124、点估计常用方法 (1)矩估计法： 先求 E(X),得到一个 E(X)与未知参数的式子， 用 E(X) 表示未知参数，再把 E(X)用 X 代替即可。例：已知总体 X 的概率分布为 PX k C2k(1 )k 2 k,k 0

14、,1,2,求参数 的矩估计。1- E(X)2n解： E(X) xiP X k 0x 2 1x(2 1- ) (21- )2 2-2 ，i1用样本均值 X代替E(X)得到 的矩估计为： 1- X。( 2 ) 最 大 似 然 估 计 ： 一般 方 法 ： a、 写 出 最 大 似 然 函 数L( x1,x2, xn; );b令 dL ( ) 0 或 dlnL( ) 0,求出驻点；c、判断并求出最大dd 值点，在最大值点得表达式中，用样本均值代入即得到参数的最大释然估计值。并在原假设 H0 成立的前提下导出 U 的概率分布，要求 U 的分布不依赖于任何未知参数；(4)确定拒绝域，即依据直观分析先确定

15、拒绝域形式，然后根据给定的显著性水平和 U的分布，由 P拒绝 H0|H0 为真= ，确定拒绝域的临界值，从而确定拒绝域 W；(5)做一次具体抽样，根据得到的样本观察值和所得的拒绝域，对假设 H 0 做出拒绝或接受的判断。例：水泥厂用包装机包装水泥，每袋额定重量 50千克，某日开工后随机抽查了 9 袋，得其 样本均值为 499，样本方差为 0 29假设每袋重量服从正态分布，问包装机工作是否正 常( 0.05 )？(已知 t0.025 (8) 2.306)解：(1)建立假设 H0: =50， H1: 50;2) 选择统计量： T (X 0)/(S/ n) t(n 1)；3) 对于给定的显著性水平，确定 k，使P|T|k= ，查 t 分布表得： k t /2 t 0.025 (8) 2.306 ，从而得拒绝域为： |t|2.306.即认为包装正常