高中数学课程标准解读9三.docx
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高中数学课程标准解读9三
6．微积分内容的要求、变化及其原由
在高中数学新课程中，“导数及其应用”这部分内容的要求和处理有了较大的变化，这是基于“课标”突出数学本质、为学生的终身发展、更好地适应社会发展和对人才需求的基本理念。
“导数及其应用”分别安排在选修系列1-1和选修系列2-2中学习。
其中，对导数概念的认识、导数在研究函数性质中的应用，以及生活中的优化问题举例等内容，选修系列1-1和选修系列2-2的学习和教学要求基本上是一样的。
稍有区别的是在选修系列2-2中，增加了定积分与微积分基本定理的内容；此外，对运算的要求略有提高。
选修系列2-2比选修系列1-1增加的有：
（1）关于导数的运算，常见函数的导数增加了求
两个函数的导数；增加了求简单复合函数导数（仅限于形如
）。
（2）增加了定积分概念和微积分基本定理。
因为考虑到理科对数学的实际要求多一些、也高一些。
“课标”对这部分内容的调整进行了反复的研究与思考：
为何在我国中学数学中微积分会出现几进几出的安排？
如何使学生感受学习导数的必要性，帮助学生了解导数在研究函数性质和生活中涉及的导数的初步应用？
如何使学生较好地认识导数的本质，不仅将导数作为一种规则，更作为一种重要的思想、方法来学习？
如何更有效地学习导数的相关内容？
如何渗透算法思想、以及与现代信息技术的整合？
等等。
下面我们对上述问题作简要分析。
（1）我国中学数学课程中微积分几进几出的主要原因
Forpersonaluseonlyinstudyandresearch;notforcommercialuse
“课标”研制前期首先分析了微积分在我国中学数学课程中几进几出的原因，除了高考影响外，主要原因是定位不当：
把中学微积分内容作为大学微积分内容的一种缩编，简单下放。
学习的是压缩简编的微积分，
是按照（）微积分学科体系的基本线索：
极限理论
连续理论
导数与微分
积分理论
微积分基本定理展开的。
先讲极限概念，把导数作为一种特殊极限来讲，于是，形式化的极限概念就成了学生学习的障碍。
一是学习形式化极限本身带来的困难，二是把导数作为一种特殊的极限来学习，对导数概念缺乏感受和认识。
无论是导数概念，还是导数的应用，更多的是作为一种规则来教和学，会用公式和法则进行计算，一旦公式和法则忘记了，就留不下什么东西了。
严重影响了对导数概念本身的认识和理解。
造成的结果是：
大学不受欢迎，存在着炒夹生饭现象，中学也感受不到学导数的好处，反而加重了学生的负担。
（2）“课标”对“导数及其应用”内容的基本定位
强调对数学本质的认识，对导数本质的认识，不仅作为一种规则，更作为一种重要的思想、方法来学习。
全面体现数学的价值，包括应用价值：
了解导数是研究事物变化快慢、研究函数单调性、极大（小）值、最大（小）值和解决生活中优化问题的有力工具——导数的广泛应用性；体会微积分的科学价值和文化价值：
人类文明与科技、社会的发展对微积分创立的促进作用，以及微积分的创立在人类科学文化发展中的意义和价值。
体现数学的教育价值。
（3）处理方式上的变化及其原由
与原有教材相比较，“课标”在内容的处理上有很大的变化，主要表现在：
突出导数概念的本质，感受和领悟微积分的基本思想，而不是学习压缩简编的微积分
不讲极限概念，不是把导数作为一种特殊的极限（增量比的极限）来处理，而是直接通过实际背景和具体实例——速度、膨胀率、效率、增长率等反映导数思想和本质的实例，引导学生经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，并通过提出恰当的问题使学生感受学习瞬时变化率的必要性。
然后，在对实际背景问题研究的基础上，抽象概括出导数的概念。
例如，通过问题“研究高台跳水运动员从腾空到进入水面的过程中不同时刻的速度”以及恰当的问题，经历由平均变化率到（）瞬时变化率的过程，引出瞬时速度的概念,为抽象出导数概念作准备。
体会导数的思想，体会导数与变化率的关系：
凡变化的对象，都有变化率的问题，导数就是某个时刻的瞬时变化率。
现代社会中存在着大量这样的问题，新课程希望给学生对他今后的学习和步入社会后，能留下对微积分的一些实际认识。
同时也体现“课标”让学生在经历过程中感受数学的思想，认识数学，主动参与数学教学活动的基本理念。
强调导数在研究事物的变化率、变化的快慢，研究函数的基本性质和优化问题中的应用，并通过与初等方法比较，感受和体会导数在处理上述问题中的一般性和有效性。
应用导数探索函数的单调性、极值等性质及其在实际中的应用，感受导数在解决数学问题和实际问题中的作用，体会微积分的产生对人类文化发展的价值。
淡化计算
针对以往微积分教学中的问题，以及“课标”对这部分内容的定位——强调对导数本质的认识，不仅作为一种规则，更作为一种重要的思想、方法来学习。
因此，在处理导数的计算时，首先对几个常见的函数（如：
），用导数定义求出它们的导数，然后直接给出其它基本初等函数的导数以及导数的运算法则，只要求学生会用基本初等函数的导数以及导数的运算法则来计算导数，而且明确指出“要避免过量的形式化运算练习”。
与选修系列1-1相比，选修系列2-2对运算的要求略有提高，如增加了求简单复合函数（仅限于形如
）的导数。
重视几何直观等思想方法的渗透和学习
反复通过图形去认识和感受导数的几何意义，以及用导数的几何意义去解决问题，通过图形去认识和感受导数在研究函数性质中的作用。
以往对导数几何意义的处理和要求是较弱的，“课标”提高了对导数几何意义以及用导数的几何意义去解决问题的要求，其目的一是加深对导数本质的认识和理解，二是体现数学中几何直观这一重要数学思想方法对于数学学习的意义和作用：
导数作为刻画函数变化的瞬时变化率，能从数量上反映函数在一个点附近的变化情况，导数的符号可以反映函数是增还是减，导数绝对值的大小可以反映函数增减的快慢。
我们知道，函数的单调性是指当自变量增加（减少）时，函数值是增加还是减少？
从函数图象即几何的角度看，就是函数图像“走势”的变化规律：
是上升还是下降？
而上升或下降的快慢，即图象“走势”是“平缓”还是“陡峭”可以通过导数绝对值的大小反映出来，“课标”希望结合函数图象帮助学生认识和理解导数在研究函数单调性中的作用，使他们对函数的单调性有一个更完整的深入的认识和理解。
关注算法思想的渗透，以及与信息技术的整合
“算法”是高中课程中新增加的内容，“标准”明确指出：
算法是数学及其应用的重要组成部分，渗透（）算法思想是算法学习的一个重要方面，与信息技术的有机整合也是“课标”的一个基本理念。
因此，“课标”建议在阅读材料中，通过介绍用切线法求方程的近似解，来渗透算法思想，以及与信息技术的有机整合。
总之，为了更好地体现课程改革“进一步提高未来公民所必要的数学素养，以满足个人发展与社会进步的需要”的总目标，体现课程的时代性和基础性、强调本质、强调联系的基本理念；也是基于对我国中学数学课程中微积分内容几进几出原因分析，以及对微积分教学现状的思考。
“课标”对“导数及其应用”内容的处理有了上述变化，并提出了相应的要求。
7．新增内容及增加的原由
新课程的基本理念之一是要与时俱进地认识“双基”。
因此，除了在一些原有内容的要求和处理上有相应的变化外，还增加了算法、推理与证明、框图、统计案例等新的内容。
（1）算法
算法是高中数学课程中的新增内容，其基本思想是非常重要的，例如，带余除法、运用消元法解二元一次方程组、求最大公因数、用二分法求函数零点等都是体现算法及其基本思想的典型实例。
因此，“算法”一词虽然对中学数学内容来说较为陌生，但并不神秘。
——增加的原由
增加“算法初步”是“课标”基本理念的具体体现
“课标”指出，算法是数学及其应用的重要组成部分，是计算科学的重要基础。
随着现代信息技术飞速发展，算法在科学技术、社会发展中发挥着越来越大的作用，并日益融入社会生活的许多方面，算法思想已经成为现代人应具备的一种数学素养。
增加“算法初步”是“课标”时代性、与时俱进地认识“双基”的基本理念的具体体现。
下面我们对这部分课程的内容与要求，以及应注意的问题等方面作简要的分析。
——课程内容与要求
整体要求
对“算法初步”的整体要求是：
在义务教育阶段初步感受算法思想的基础上，结合对具体数学实例的分析，体验程序框图在解决问题中的作用；通过模仿、操作、探索，学习设计程序框图表达解决问题的过程；体会算法的基本思想以及算法的重要性和有效性，发展有条理的思考与表达的能力，提高逻辑思维能力；将算法的学习渗透在整个高中数学课程的学习中。
课程内容与要求
①算法的含义、程序框图
通过对解决具体问题过程与步骤的分析（如二元一次方程组求解等问题），体会算法的思想，了解算法的含义。
算法至今没有一个统一定义。
因此，“课标”要求通过对解决具体问题步骤的概括，如解二元一次方程组的步骤，给出算法的含义：
算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤。
在此基础上，还可通过一些实例，如质数的判定、用二分法求方程的近似解这些学生熟悉的问题，分析其算法步骤以帮助学生进一步理解算法的基本含义。
通过解决具体问题的步骤来表达算法的含义通俗易懂，但是不够准确，算法的基本结构也不清晰。
因此，“课标”建议通过框图形式表示具体问题的解决，如“质数的判定”的算法，介绍算法的基本逻辑结构（顺序结构、条件结构、循环结构），以及用程序框图表示算法的方法，使学生认识到程序框图表示的算法步骤更直观，也更准确．
“课标”要求通过模仿、操作、探索，经历设计程序框图表达解决问题的过程。
在具体问题的解决过程中（如三元一次方程组求解等问题），使学生体验为了有条理地、清晰地表达算法，需要将解决问题的过程整理成程序框图；理解程序框图的三种基本逻辑结构：
顺序结构、条件分支结构、循环结构。
顺序结构、条件结构、循环结构是算法的三种基本逻辑结构，从理论上来说，任何复杂的算法都可以用这三种基本逻辑结构来实现。
框图是理解和表达这三种基本逻辑结构的最好方式，同时，这三种基本逻辑结构也是程序框图的构成要素。
因此，将这三种基本逻辑结构的教学与程序框图的学习结合起来，不仅降低了这三种基本逻辑结构的学习难度，也为学习程序框图的画法提供了前提条件。
此外，也希望让学生认识到学习三种基本逻辑结构与程序框图对于“有计划按步骤”地完成一件事情的好处，发展有条理地思考和数学化地表达的能力。
②基本算法语句
在现代社会中，越来越多的事情可以由计算机来完成，而计算机完成任何一项任务都需要算法，因此算法是计算机科学的基础。
但是，用自然语言或程序框图描述的算法计算机是无法“理解”的，因此我们需要将算法用计算机能够理解的语言表达出来，这就是通常所说的程序与程序设计，所用的语言称为程序设计语言。
程序设计语言是由一些有特定涵义的程序语句构成的，与程序框图中介绍的算法的三种基本逻辑结构相对应，“课标”要求理解几种基本算法语句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句，进一步体会算法的基本思想。
③通过阅读中国古代数学中的算法案例，体会中国古代数学对世界数学发展的贡献，增强民族自豪感
中国古代数学以算法为主要特征，取得了举世公认的伟大成就，是数学文化的重要组成部分。
中国古代数学著作《九章算术》是其中的杰出代表。
此外，中国古代数学中的割圆术、多项式求值的秦九韶算法等也都是体现算法及其思想的典型算法案例，“课标”建议选择相应的内容作为阅读材料，使学生体会中国古代数学对世界数学发展的贡献，增强民族自豪感。
——应注意的问题
①强调算法基本思想
中学阶段安排算法的学习，除学习必要的算法初步知识外，更重要的是使学生接受算法思想的熏陶，而不是以学习多少算法知识为目标。
因此，无论是算法的含义、三种基本逻辑结构（顺序结构、条件结构、循环结构）、程序框图及其画法、五种基本算法语句（输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句）和简单程序的编写，更多的应关注算法思想的提炼，而不是把注意力放在更多的算法知识的学习上。
②算法学习必须通过实例进行
使学生在解决具体问题的过程中学习一些基本逻辑结构和语句。
有条件的学校，应鼓励学生尽可能上机尝试。
与其它数学内容的学习相比较，算法学习的一个最大的特点就是操作实践性强。
因此，在安排具体内容时，要求结合具体例子安排算法知识的学习。
例如，可用学生熟悉的“二元一次方程组的解法”介绍算法的含义，使学生明确算法实际上就是解决问题的一种程序性方法，它通常指向某一类问题．；用“质数的判定”的程序框图介绍程序框、流程线与基本逻辑结构；“用二分法求方程的近似解”介绍程序框图的画法；用“计算1＋2＋…＋100的值”介绍直到型与当型两种不同的循环结构与循环语句，等等。
如果条允许，尽可能的让学生上机实现，或模拟上机实现，这是检验学生学习算法的一种方式，也是学生比较感兴趣的部分。
在实例教学中让学生理解和初步掌握算法的基本思想和操作过程。
通过模仿、操作、探索，经历“写出算法步骤、画出程序框图、编制程序、上机验证”的全过程，并由此落实算法教学内容。
③突出教学重点，体会算法思想
切忌将算法课变成程序设计课。
应该抓住用程序框图表示算法这个核心突出教学重点，突破程序框图的画法这个难点，理解算法的三种基本逻辑结构和基本算法语句的对应关系，通过具体算法案例所蕴涵的算法思想，重点培养学生利用算法解决问题的意识，并明确自然语言描述的算法步骤、程序框图和程序是不同形式的算法，它们体现了算法逐渐“精确”的过程。
④充分关注算法思想在其它数学内容中的渗透
不仅在必修3中的算法教学应注意将算法与其它数学内容联系，而且还应充分关注将算法思想渗透到后续的高中数学课程的学习中去，鼓励学生尽可能地运用算法解决相关问题。
例如，在概率教学时，我们可以给出以下的例子：
“天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40％。
这三天恰有两天下雨的概率是多少？
”试利用整数型随机数设计算法，估计概率。
（2）推理与证明
——增加的原由
我们都知道，推理与证明贯穿于整个数学课程，对于它的系统学习是新课程的一个变化。
目的是希望能对以前所学知识与方法作一个总结、归纳，并对后继学习起到促进的作用；希望通过此内容的学习，使学生进一步学会数学的学习和思考方式，为步入社会起到促进学生发展的作用。
——应关注的问题
推理与证明是数学的基本思维过程，是学数学、做数学的一种基本功，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式，是发展理性思维的重要方面。
合情推理具有猜测和发现新结论、探索和提供解决问题的思路和方法的作用；演绎推理则具有证明结论，整理和建构知识体系的作用，是公理体系中的基本推理方法。
两者紧密联系、相辅相成，对它们的系统学习有利于培养和发展学生的逻辑思维能力和创新思维能力，发展理性思维，使学生体会并认识合情推理在数学发现中的作用，体会证明的功能和特点，以及在数学和生活中的作用，养成言之有理、论之有据的习惯。
通过变隐性为显性、分散为集中，通过挖掘、提炼、明确化，使学生知道：
数学与其它学科的不同除了研究对象不同之外，最突出的就是数学对象内部的真确性必须用逻辑推理的方式来证明，在证明过程中不仅用到演绎推理，而且要用到合情推理，尤其是对一些较为复杂的问题，演绎推理与合情推理经常是交替使用的。
使学生懂得如何学会数学地思考，感受和体会推理与证明在学习数学以及日常生活中的意义和作用，提高数学素养。
在教学中，要力求通过恰当选择有关内容，可以从已学的内容和问题中，引导学生观察提炼思想方法；精心设计问题，激发学生思维，引发学生猜想；利用类比和归纳，进行特殊到一般的思维训练；利用演绎证题，揭露蕴涵性质等。
渐进地培养学生的自主探索意识和推理能力。
要让学生感受探究的过程，通过观察问题和从问题发现到对问题解决的整个思维过程，让学生真实地感受到数学的创造过程，它需要经历观察、试验、归纳结论，最后再加以严格证明的一个完整的归纳推理和演绎推理相结合的思维过程。
例如：
关于凸多面体的“欧拉公式”：
任意凸多面体的顶点（V）、面（F）、棱（E）、之间有关系式：
V+F-E=2的探究思路。
（3）框图
——增加的原由
框图是表示一个系统各部分和各环节之间关系的图示，它的作用在于能够清晰地表达比较复杂的系统各部分之间的关系。
框图已经广泛应用于算法、计算机程序设计、工序流程的表述、设计方案的比较等方面，也是表示数学计算与证明过程中主要逻辑步骤的工具，并将成为日常生活和各门学科中进行交流的一种常用表达方式。
“课标”在选修1-2中设置了框图的内容，是为希望在人文社科方面发展的学生新增加的内容，目的是希望通过框图有关内容的学习，帮助学生清晰地表达和交流思想，提高学生的抽象概括能力和逻辑思维能力，提高学生思维的条理性，养成用框图清晰地表达和交流思想的习惯，以更好地适应现代社会对未来人才基本素养的要求。
——内容与要求
这部分内容应在必修3算法中学习程序框图有关知识的基础上，通过具体实例，“进一步”认识程序框图。
如画出用二分法求方程
的近似根的程序框图。
通过具体实例了解工序流程图（即统筹图）——由一些图形符号和文字说明构成的图。
工序流程图可以直观、明确地表示动态过程从开始到结束的步骤，在日常生活和工作的很多领域都有广泛应用。
通过实例，了解结构图——一种描述系统结构的图示。
一般有构成系统的若干要素和表达各要素之间关系的连线（或方向箭头）构成。
连线通常按照从上到下、从左到右的方向表示要素的从属关系或逻辑的先后关系。
（4）统计案例
——增加的原由
考虑到统计在日常生活中的广泛应用，学生需要具备一定的数据处理能力，了解和使用一些常用的统计方法。
因此，“课标”在选修系列1和系列2中都安排了“统计案例”这一内容。
——内容与要求
在必修3学习的基础上，通过对典型案例（如“人的体重与身高的关系”等）的探究，进一步讨论一元线性回归模型，分析产生随机误差项的原因，从相关系数的角度研究两个变量间线性相关关系的强弱，使学生了解在什么情况下可以考虑使用回归模型，了解回归的基本思想、方法及初步应用。
通过对典型案例（如“肺癌与吸烟有关吗”等）的探究，了解独立性检验（只要求2×2列联表）的基本思想、方法及初步应用。
——应注意的问题
这部分内容是新增加的内容，有一定难度，在教学中要把握好以下几个方面：
给学生提供联系实际、为学生感兴趣的典型实例，激发学生的学习兴趣
教学中，教师首先要尽可能选择联系实际的、贴近学生的、学生感兴趣的、能反映统计方法的典型案例，引导学生就如何解决案例中的问题展开讨论，以激发学生的学习兴趣。
引导学生自己设计解决问题的方案，探索解决问题的途径，认识所学的基本思想、方法
数据处理的能力需要建立在学生亲自处理数据、解决问题的基础上。
在对统计案例进行讨论后，教师不宜采取直接介绍方法，然后让学生模仿的教学方式。
应引导学生尝试设计解决问题的方案，探索解决问题的途径，以使他们经历问题处理的过程，培养他们对数据的直观感觉，认识统计方法的特点（如统计推断可能犯错误，估计结果的随机性），体会统计的基本思想、方法。
引导学生借助案例体会统计方法的基本思想，不要求追究方法的理论基础，避免单纯记忆和机械套用公式
考虑到高中学生的认知特点，教学中更加强调的是具体案例所使用的方法、具体方法所反映的思想。
对于这些方法的合理性，教学中只要学生能根据案例直观体会（实际上也是这种方法的原始产生过程）即可。
回归分析在必修部分统计中已经有所讨论，由于它的应用极其广泛，这里希望学生能进一步加深理解其思想，能用配方法导出其回归系数公式。
也可以通过实例，讨论一下可线性化的非线性回归问题。
这里我们还要说的一点是，在“课标”中设计的是四个案例，教材审定组考虑到这部分新增内容的难度和现实情况，删去了其中的两个案例，保留了现有教材中安排的两个案例。
仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。
Forpersonaluseonlyinstudyandresearch;notforcommercialuse.
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