10.若函数y＝
|1－x|＋m的图象与x轴有公共点，则实数m的取值范围是________.
11.已知函数f（x）＝
且关于x的方程f（x）＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是________.
12.定义两个实数间的一种新运算“*”：
x*y＝ln（ex＋ey），x，y∈R.当x*x＝y时，x＝
.对任意实数a，b，c，给出如下命题：
①a*b＝b*a；②（a*b）＋c＝（a＋c）*（b＋c）；③（a*b）－c＝（a－c）*（b－c）；④（a*b）*c＝a*（b*c）；⑤
≥
.
其中正确的命题有______.（写出所有正确的命题序号）
第7练 抓重点——函数性质与分段函数
常考题型精析
题型一 函数单调性、奇偶性的应用
例1
（1）（2014·湖北改编）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝
（|x－a2|＋|x－2a2|－3a2）.若∀x∈R，f（x－1）≤f（x），则实数a的取值范围为________.
（2）（2014·课标全国Ⅱ）已知偶函数f（x）在[0，＋∞）上单调递减，f
（2）＝0.若f（x－1）>0，则x的取值范围是________.
变式训练1
（1）（2015·天津改编）已知定义在R上的函数f（x）＝2|x－m|－1（m为实数）为偶函数，记a＝f（log0.53），b＝f（log25），c＝f（2m），则a，b，c的大小关系为__________________________.
（2）（2015·盐城模拟）已知奇函数f（x）的定义域为[－2,2]，且在区间[－2,0]上递减，求满足f（1－m）＋f（1－m2）<0的实数m的取值范围.
题型二 函数的周期性与对称性的应用
例2
（1）已知函数f（x）是（－∞，＋∞）上的奇函数，且f（x）的图象关于直线x＝1对称，当x∈[－1,0）时，f（x）＝－x，则f（2015）＋f（2016）＝________.
（2）定义在R上的函数f（x）满足f（x＋6）＝f（x）.当－3≤x<－1时，f（x）＝－（x＋2）2；当－1≤x<3时，f（x）＝x，则f
（1）＋f
（2）＋f（3）＋…＋f（2016）＝________.
变式训练2 已知定义在R上的偶函数满足：
f（x＋4）＝f（x）＋f
（2），且当x∈[0,2]时，y＝f（x）单调递减，给出以下四个命题：
①f
（2）＝0；②x＝－4为函数y＝f（x）图象的一条对称轴；③函数y＝f（x）在[8,10]上单调递增；④若方程f（x）＝m在[－6，－2]上的两根为x1，x2，则x1＋x2＝－8.则所有正确命题的序号为________.
题型三 分段函数
例3 已知函数f（x）＝
是奇函数.
（1）求实数m的值；
（2）若函数f（x）在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围.
变式训练3 （2014·浙江）设函数f（x）＝
若f（f（a））≤2，则实数a的取值范围是________.
高考题型精练
1.（2015·安徽改编）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是________.
①y＝lnx;②y＝x2＋1；③y＝sinx;④y＝cosx.
2.（2015·陕西改编）设f（x）＝
则f（f（－2））＝________.
3.（2014·山东改编）函数f（x）＝
的定义域为__________.
4.（2014·江西改编）已知函数f（x）＝
（a∈R），若f[f（－1）]＝1，则a＝________.
5.下列函数f（x）中，满足“∀x1，x2∈（0，＋∞），且x1≠x2，（x1－x2）[f（x1）－f（x2）]<0”的是________.
①f（x）＝
－x;②f（x）＝x3；③f（x）＝lnx;④f（x）＝2x.
6.函数y＝f（x－1）的图象关于直线x＝1对称，当x∈（－∞，0）时，f（x）＋xf′（x）<0成立，若a＝20.2·f（20.2），b＝ln2·f（ln2），c＝（log
）·f（log
），则a，b，c的大小关系是__________.
7.设函数g（x）＝x2－2（x∈R），f（x）＝
则f（x）的值域是________________.
8.（2015·无锡模拟）对实数a和b，定义运算“⊗”：
a⊗b＝
设函数f（x）＝（x2－2）⊗（x－x2），x∈R.若函数y＝f（x）－c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是____________.
9.（2014·安徽）若函数f（x）（x∈R）是周期为4的奇函数，且在[0,2]上的解析式为f（x）＝
则f
＋f
＝________.
10.对于任意实数a，b，定义min{a，b}＝
设函数f（x）＝－x＋3，g（x）＝log2x，则函数h（x）＝min{f（x），g（x）}的最大值是________.
11.已知函数f（x）＝
其中[x]表示不超过x的最大整数.若直线y＝k（x＋1）（k>0）与函数y＝f（x）的图象恰有三个不同的交点，则实数k的取值范围是____________.
12.已知函数y＝f（x），x∈R，有下列4个命题：
①若f（1＋2x）＝f（1－2x），则f（x）的图象关于直线x＝1对称；
②y＝f（x－2）与y＝f（2－x）的图象关于直线x＝2对称；
③若f（x）为偶函数，且f（2＋x）＝－f（x），则f（x）的图象关于直线x＝2对称；
④若f（x）为奇函数，且f（x）＝f（－x－2），则f（x）的图象关于直线x＝1对称.
其中正确命题的序号为________.
第8练 突难点——抽象函数与函数图象
题型一 与函数性质有关的简单的抽象函数问题
例1
（1）（2014·湖南改编）已知f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）－g（x）＝x3＋x2＋1，则f
（1）＋g
（1）＝________.
（2）（2014·课标全国Ⅰ改编）设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论中正确的是________.
①f（x）g（x）是偶函数；②|f（x）|g（x）是奇函数；③f（x）|g（x）|是奇函数；④|f（x）g（x）|是奇函数.
变式训练1 已知f（x）是定义在R上的偶函数，且以2为周期，则“f（x）为[0,1]上的增函数”是“f（x）为[3,4]上的减函数”的________条件.
题型二 与抽象函数有关的综合性问题
例2 （2014·辽宁改编）已知定义在[0,1]上的函数f（x）满足：
①f（0）＝f
（1）＝0；②对所有x，y∈[0,1]，且x≠y，有|f（x）－f（y）|<
|x－y|.
若对所有x，y∈[0,1]，|f（x）－f（y）|变式训练2 对于函数f（x），若在定义域内存在实数x，满足f（－x）＝－f（x），则称f（x）为“局部奇函数”.
（1）已知二次函数f（x）＝ax2＋2x－4a（a∈R），试判断f（x）是否为“局部奇函数”？
并说明理由；
（2）若f（x）＝2x＋m是定义在区间[－1,1]上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围.
题型三 函数图象的判断与应用
例3 已知函数f（x）＝
，则y＝f（x）的图象大致为________.（填序号）
变式训练3 （2015·连云港模拟）若直角坐标平面内的两个不同点M，N满足条件：
①M，N都在函数y＝f（x）的图象上；②M，N关于原点对称.则称点对[M，N]为函数y＝f（x）的一对“友好点对”（注：
点对[M，N]与[N，M]为同一“友好点对”）.
已知函数f（x）＝
此函数的“友好点对”有________对.
高考题型精练
1.（2014·陕西改编）下列函数中，满足“f（x＋y）＝f（x）·f（y）”的单调递增函数是________.
①f（x）＝x
；②f（x）＝x3；③f（x）＝（
）x;④f（x）＝3x.
2.设f（x）为偶函数，对于任意的x>0，都有f（2＋x）＝－2f（2－x），已知f（－1）＝4，那么f（－3）＝________.
3.对于函数y＝f（x），x∈R，“y＝|f（x）|的图象关于y轴对称”是“y＝f（x）是奇函数”的____________条件.
4.（2015·课标全国Ⅱ改编）设函数f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（－1）＝0，当x>0时，xf′（x）－f（x）＜0，则使得f（x）>0成立的x的取值范围是__________.
5.设函数f（x）和g（x）分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是________.
①f（x）＋|g（x）|是偶函数；②f（x）－|g（x）|是奇函数；③|f（x）|＋g（x）是偶函数；④|f（x）|－g（x）是奇函数.
6.（2015·南京模拟）函数y＝xln|x|的图象大致是______（填序号）.
7.定义在R上的偶函数f（x）满足f（2－x）＝f（x），且在[－3，－2]上是减函数，α，β是钝角三角形的两个锐角，则下列不等式中正确的是________.
①f（sinα）>f（cosβ）;②f（sinα）f（cosβ）.
8.函数f（x）的定义域为A，若x1，x2∈A且f（x1）＝f（x2）时总有x1＝x2，则称f（x）为单函数.例如，函数f（x）＝2x＋1（x∈R）是单函数.下列命题：
①函数f（x）＝x2（x∈R）是单函数；
②若f（x）为单函数，x1，x2∈A且x1≠x2，则f（x1）≠f（x2）；
③若f：
A→B为单函数，则对于任意b∈B，它至多有一个原象；
④函数f（x）在某区间上具有单调性，则f（x）一定是单函数.
其中的真命题是________.（写出所有真命题的序号）
9.已知g（x）＝－x2－4，f（x）为二次函数，满足f（x）＋g（x）＋f（－x）＋g（－x）＝0，且f（x）在[－1,2]上的最大值为7，则f（x）的解析式为________________________.
10.方程
＋
＝－1的曲线即为函数y＝f（x）的图象，对于函数y＝f（x），有如下结论：
①f（x）在R上单调递减；②函数F（x）＝4f（x）＋3x不存在零点；③函数y＝f（x）的值域是R；④f（x）的图象不经过第一象限.其中正确的有________.
11.函数y＝f（x）为定义在R上的减函数，函数y＝f（x－1）的图象关于点（1,0）对称，x，y满足不等式f（x2－2x）＋f（2y－y2）≤0，M（1,2），N（x，y），O为坐标原点，则当1≤x≤4时，
·
的取值范围为____________.
12.已知函数y＝f（x）（x∈R）为奇函数，且对定义域内的任意x都有f（1＋x）＝－f（1－x）.当x∈（2,3）时，f（x）＝log2（x－1），给出以下4个结论：
①函数y＝f（x）的图象关于点（k,0）（k∈Z）成中心对称；
②函数y＝f（x）是以2为周期的周期函数；
③当x∈（－1,0）时，f（x）＝－log2（1－x）；
④函数y＝f（|x|）在（k，k＋1）（k∈Z）上单调递增，则正确结论的序号是__________.
第9练 顾全局——函数零点问题
题型一 零点个数与零点区间问题
例1
（1）（2014·湖北改编）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝x2－3x，则函数g（x）＝f（x）－x＋3的零点的集合为______________.
（2）（2015·北京）设函数f（x）＝
①若a＝1，则f（x）的最小值为________；
②若f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围是________.
变式训练1 （2015·宿迁模拟）[x]表示不超过x的最大整数，例如[2.9]＝2，[－4.1]＝－5.已知f（x）＝x－[x]（x∈R），g（x）＝log4（x－1），则函数h（x）＝f（x）－g（x）的零点个数是________.
题型二 由函数零点求参数范围问题
例2 （2014·天津）已知函数f（x）＝
若函数y＝f（x）－a|x|恰有4个零点，则实数a的取值范围为________.
变式训练2 （2015·扬州模拟）函数f（x）是定义在R上的偶函数，且满足f（x＋2）＝f（x）.当x∈[0,1]时，f（x）＝2x.若在区间[－2,3]上方程ax＋2a－f（x）＝0恰有四个不相等的实数根，则实数a的取值范围是______.
高考题型精练
1.已知x1，x2是函数f（x）＝e－x－|lnx|的两个零点，则________.
①
2.（2015·天津改编）已知函数f（x）＝
函数g（x）＝b－f（2－x），其中b∈R，若函数y＝f（x）－g（x）恰有4个零点，则b的取值范围是____________.
3.（2015·泰州模拟）已知函数f（x）＝
则函数f（x）的零点为________.
4.函数f（x）＝2sinπx－x＋1的零点个数为________.
5.（2015·南京模拟）若方程lnx－6＋2x＝0的解为x0，则不等式x≤x0的最大整数解是________.
6.方程2－x＋x2＝3的实数解的个数为________.
7.（2015·徐州模拟）已知函数f（x）＝
若函数g（x）＝f（x）－k有两个不同的零点，则实数k的取值范围是__________.
8.已知函数f（x）＝logax＋x－b（a>0，且a≠1），当29.已知f（x）是以2为周期的偶函数，当x∈[0,1]时，f（x）＝x，且在[－1,3]内，关于x的方程f（x）＝kx＋k＋1（k∈R，k≠－1）有四个根，则k的取值范围是__________.
10.（2015·江苏）已知函数f（x）＝|lnx|，g（x）＝
则方程|f（x）＋g（x）|＝1实根的个数为________.
11.（2015·南通模拟）定义运算M：
x⊗y＝
设函数f（x）＝（x2－3）⊗（x－1），若函数y＝f（x）－c恰有两个零点，则实数c的取值范围是______________.
12.定义在R上的奇函数f（x），当x≥0时，f（x）＝
则关于x的函数F（x）＝f（x）－a（0第10练构建函数模型
题型一 基本函数模型的应用
例1
（1）（2014·北京改编）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：
分钟）满足函数关系p＝at2＋bt＋c（a、b、c是常数），如图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为__________分钟.
（2）为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，新上了把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目，经测算，该项目月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似地表示为y＝
且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元，若该项目不获利，国家将给予补偿.
①当x∈[200,300]时，判断该项目能否获利？
如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损？
②该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
变式训练1
（1）（2015·北京改编）某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况.
加油时间
加油量（升）
加油时的累计里程（千米）
2015年5月1日
12
35000
2015年5月15日
48
35600
注：
“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程.
在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为______升.
（2）2015年“五一”期间某商人购进一批家电，每台进价以按原价a扣去20%，他希望对货物定一新价，以使每台按新价让利25%销售后，仍可获得售价20%的纯利，则此商人经营这种家电的件数x与按新价让利总额y之间的函数关系式是______________.
题型二 分段函数模型的应用
例2 2015年4月，某地自来水苯超标，当地自来水公司对水质检测后，决定在水中投放一种药剂来净化水质，已知每投放质量为m的药剂后，经过x天该药剂在水中释放的浓度y（毫克/升）满足y＝mf（x），其中f（x）＝
当药剂在水中的浓度不低于4（毫克/升）时称为有效净化；当药剂在水中释放的浓度不低于4（毫克/升）且不高于10（毫克/升）时称为最佳净化.
（1）如果投放的药剂质量为m＝4，试问自来水达到有效净化一共可持续几天？
（2）如果投放药剂质量为m，为了使在7天（从投放药剂算起包括7天）之内的自来水达到最佳净化，试确定应该投放的药剂质量m的最小值.
变式训练2 季节性服装当季节即将来临时，价格呈上升趋势，设某服装开始时定价为10元，并且每周（7天）涨价2元，5周后开始保持20元价格平稳销售；10周后当季节即将过去时，平均每周削价2元，直到16周末，该服装已不再销售.
（1）试建立价格P与周次t之间的函数关系式；
（2）若此服装每件进价Q与周次t之间的关系为Q＝－0.125（t－8）2＋12，t∈[0,16]，t∈N，试问该服装第几周每件销售利润最大？
最大值是多少？
（注：
每件销售利润＝售价－进价）
高考题型精练
1.（2015·北京改编）汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程.下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是______.
①消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米；
②以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油量最多；
③甲车以80千米/时的速度行驶1小时，消耗10升汽油；
④某城市机动车最高限速80千米/时.相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油.
2.（2014·湖南改编）某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为________.
3.（2015·泰州模拟）假如某商品靠广告销售的收入R与广告费A之间满足关系R＝a
，广告效应为D＝a
－A，则当广告费A＝________时，广告效应D最大.
4.某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物，已知该动物的繁殖数量y（只）与引入时间x（年）的关系为y＝alog2（x＋1），若该动物在引入一年后的数量为100只，则第7年它们发展到______只.
5.如果在若干年内，我国国民经济生产总值都控制在平均每年增长9%的水平，那么要达到国民经济生产总值比2005年翻两番的年份大约需要经过______年（lg2≈0.3010，lg1.09≈0.0374）.
6.某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润（单元：
万元）分别为L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x为销售量（单位：
辆）.若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为________万元.
7.（2014·福建）要制作一个容积为4m3，高为1m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________元.
8.某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批后方可投入生产.已知该生产线连续生产n年的累计产量为f（n）＝
n（n＋1）（2n＋1）吨，但如果年产量超过150吨，将会给环境造成危害.为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是______年.
9.一个容器装有细沙acm3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，tmin后剩余的细沙量为y＝ae－bt（cm3），经过8min后发现容器内还有一半的沙子，则再经过______min，容器中的沙子只有开始时的八分之一.
10.（2015·四川）某食品的保鲜时间y（单位：
小时）与储藏温度x（单位：
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