第10练构建函数模型
题型一 基本函数模型的应用
例1
(1)(2014·北京改编)加工爆米花时,爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下,可食用率p与加工时间t(单位:
分钟)满足函数关系p=at2+bt+c(a、b、c是常数),如图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据,可以得到最佳加工时间为__________分钟.
(2)为了保护环境,发展低碳经济,某单位在国家科研部门的支持下,进行技术攻关,新上了把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目,经测算,该项目月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y=
且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元,若该项目不获利,国家将给予补偿.
①当x∈[200,300]时,判断该项目能否获利?
如果获利,求出最大利润;如果不获利,则国家每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损?
②该项目每月处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成本最低?
变式训练1
(1)(2015·北京改编)某辆汽车每次加油都把油箱加满,下表记录了该车相邻两次加油时的情况.
加油时间
加油量(升)
加油时的累计里程(千米)
2015年5月1日
12
35000
2015年5月15日
48
35600
注:
“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程.
在这段时间内,该车每100千米平均耗油量为______升.
(2)2015年“五一”期间某商人购进一批家电,每台进价以按原价a扣去20%,他希望对货物定一新价,以使每台按新价让利25%销售后,仍可获得售价20%的纯利,则此商人经营这种家电的件数x与按新价让利总额y之间的函数关系式是______________.
题型二 分段函数模型的应用
例2 2015年4月,某地自来水苯超标,当地自来水公司对水质检测后,决定在水中投放一种药剂来净化水质,已知每投放质量为m的药剂后,经过x天该药剂在水中释放的浓度y(毫克/升)满足y=mf(x),其中f(x)=
当药剂在水中的浓度不低于4(毫克/升)时称为有效净化;当药剂在水中释放的浓度不低于4(毫克/升)且不高于10(毫克/升)时称为最佳净化.
(1)如果投放的药剂质量为m=4,试问自来水达到有效净化一共可持续几天?
(2)如果投放药剂质量为m,为了使在7天(从投放药剂算起包括7天)之内的自来水达到最佳净化,试确定应该投放的药剂质量m的最小值.
变式训练2 季节性服装当季节即将来临时,价格呈上升趋势,设某服装开始时定价为10元,并且每周(7天)涨价2元,5周后开始保持20元价格平稳销售;10周后当季节即将过去时,平均每周削价2元,直到16周末,该服装已不再销售.
(1)试建立价格P与周次t之间的函数关系式;
(2)若此服装每件进价Q与周次t之间的关系为Q=-0.125(t-8)2+12,t∈[0,16],t∈N,试问该服装第几周每件销售利润最大?
最大值是多少?
(注:
每件销售利润=售价-进价)
高考题型精练
1.(2015·北京改编)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程.下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是______.
①消耗1升汽油,乙车最多可行驶5千米;
②以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油量最多;
③甲车以80千米/时的速度行驶1小时,消耗10升汽油;
④某城市机动车最高限速80千米/时.相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油.
2.(2014·湖南改编)某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为p,第二年的增长率为q,则该市这两年生产总值的年平均增长率为________.
3.(2015·泰州模拟)假如某商品靠广告销售的收入R与广告费A之间满足关系R=a
,广告效应为D=a
-A,则当广告费A=________时,广告效应D最大.
4.某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖,引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物,已知该动物的繁殖数量y(只)与引入时间x(年)的关系为y=alog2(x+1),若该动物在引入一年后的数量为100只,则第7年它们发展到______只.
5.如果在若干年内,我国国民经济生产总值都控制在平均每年增长9%的水平,那么要达到国民经济生产总值比2005年翻两番的年份大约需要经过______年(lg2≈0.3010,lg1.09≈0.0374).
6.某公司在甲、乙两地销售一种品牌车,利润(单元:
万元)分别为L1=5.06x-0.15x2和L2=2x,其中x为销售量(单位:
辆).若该公司在这两地共销售15辆车,则能获得的最大利润为________万元.
7.(2014·福建)要制作一个容积为4m3,高为1m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是________元.
8.某化工厂打算投入一条新的生产线,但需要经环保部门审批后方可投入生产.已知该生产线连续生产n年的累计产量为f(n)=
n(n+1)(2n+1)吨,但如果年产量超过150吨,将会给环境造成危害.为保护环境,环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是______年.
9.一个容器装有细沙acm3,细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出,tmin后剩余的细沙量为y=ae-bt(cm3),经过8min后发现容器内还有一半的沙子,则再经过______min,容器中的沙子只有开始时的八分之一.
10.(2015·四川)某食品的保鲜时间y(单位:
小时)与储藏温度x(单位: