XX年九年级数学下第26章反比例函数教案人教版.docx
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XX年九年级数学下第26章反比例函数教案人教版
XX年九年级数学下第26章反比例函数教案（人教版）
第二十六章 反比例函数 1.结合具体情景体会反比例函数的意义,理解并掌握反比例函数的概念.
能用待定系数法求反比例函数的解析式.
会用描点法画反比例函数图象.
掌握反比例函数的图象和性质,并能运用相关性质解决有关问题.
理解反比例函数中比例系数的几何意义.
能根据实际问题确定变量之间是反比例关系,并确定反比例函数解析式,能灵活运用反比例函数的意义和性质解决相关的实际问题.
从实际问题情景中经历探索两个变量之间关系的过程,使学生体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系,发展学生的观察能力、探究能力及归纳总结能力.
通过函数图象探究函数性质,进一步体会数形结合思想在数学中的应用,经历知识的形成过程,体会由特殊到一般的数学方法.
通过探究反比例函数解决实际问题,体会数学知识的现实意义,提高分析问题、解决问题的能力,培养数学应用意识.
经历探索具体问题中数量关系和变化规律的过程,体会建立函数模型的思想.
通过探索具体问题中数量关系和变化规律的过程,体验数学于生活,又应用于生活,提高学生应用数学的意识,体验数学活动中的探索性和创造性.
让学生经历观察、比较、归纳、应用以及猜想、验证的学习过程,使学生掌握类比、转化等学习数学的方法,养成既能自主探索,又能合作探究的良好学习习惯.
通过分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的反比例函数关系,获得用数学方法解决实际问题的经验,感受数学模型思想在实际问题中的应用价值.
函数知识是初中代数的核心内容,反比例函数也是新课标明确要求的初中学生必需体会和掌握的三种函数基本形式之一.本节课的内容,是在学生已经学习了函数及其图象的初步知识,以及系统地研究了一次函数的概念、图象、性质、简单应用,是在学生已经初步掌握研究函数的基本方法的基础上进行研究的.反比例函数是一种简单而又重要的函数,作为重要的数学模型,在解决日常生活、物理化学学科学习等实际问题中发挥了重要作用.通过学习可以培养和提高学生用函数模型解决实际问题,逐步提高分析问题、解决问题的能力.
本章内容从实际问题情景入手引出基本概念,引导学生进一步体会函数的模型思想,重点内容是对反比例函数的图象和性质的理解与掌握,通过画特殊的反比例函数的图象,归纳出一般反比例函数的图象特征和性质,体会由特殊到一般的数学学习方法,提高学生观察、分析、归纳总结的能力.对于某些解决实际问题的安排,力图加强反比例函数与实际问题的联系,让学生体会数学与生活息息相关,提高学生应用数学的意识.数形结合思想贯穿本章内容,函数图象是研究函数性质的直观载体,从图象上直观观察函数的变化规律,整体把握函数的性质,而解析式是对函数性质的无限“解读”,但抽象不直观,所以将两者结合起来,共同研究函数的性质.
本章重点是反比例函数的概念、图象、性质及应用,难点是反比例函数图象的生成过程,以及函数图象的间断及渐近性特点.根据学生特点,以前面学过的函数为基础,用类比的方法探究本章内容,重视反比例函数与一次函数、二次函数的联系、差异和综合运用.
【重点】
通过对实际问题情景的分析,确定反比例函数的解析式.
会用描点法画反比例函数图象,并能从图象中认识反比例函数的性质.
能用反比例函数性质解决简单的实际问题.
【难点】
能根据反比例函数图象特征及其性质解决有关问题.
应用反比例函数解决实际问题,能解决与其他函数结合的问题.
初中阶段从量变的角度研究函数,把函数定义为当一个量变化时,另一个量随这个量的变化而变化.根据学生的知识基础,一方面要以前面所学的函数概念及相关知识为基础,另一方面要进一步深化对函数内涵的理解和掌握.
反比例函数是初中阶段学习的最后一类函数,因此,教学中要处理好新旧知识的联系,通过复习相关内容,类比前边所学函数的内容结构和思路,为全章的学习做好铺垫,尽量减少学生接受新知识的困难.
在教学中,要重视反比例函数与已学函数,特别是与正比例函数的对比,教学时应引导从以下方面对比思考:
函数解析式与函数图象的异同、常数对函数图象的分布、增减性、变化趋势等性质的影响、自变量x的取值范围的异同.同时要重视反比例函数与一次函数、二次函数的联系、差异和综合运用.
渗透数学重要思想与方法成为本章的主要线索,类比思想、从特殊到一般、数形结合思想、方程思想及待定系数法等数学思想和方法,贯穿整章的教学,教学过程中每课时都要注重数学思想的培养.
1反比例函数
1.1反比例函数
1.2反比例函数的图象和性质3课时
2实际问题与反比例函数2课时
单元概括整合1课时
1 反比例函数 1.了解反比例函数概念,能从实际问题中抽象出反比例关系的函数解析式.
会画反比例函数图象,并结合图象分析总结出反比例函数的性质.
初步运用待定系数法确定反比例函数的解析式.
能灵活运用反比例函数的意义和性质解决相关的问题.
从实际问题情景中经历探索两个变量之间关系的过程,使学生体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系,发展学生的观察能力、探究能力及交流总结能力.
通过函数图象探究函数性质,进一步体会数形结合思想在数学中的应用.
经历观察、分析实际问题中变量之间的关系,建立反比例函数模型,进一步体会数学建模思想.
通过探索具体问题中数量关系和变化规律的过程,体验数学于生活,又应用于生活,提高学生应用数学的意识,体验数学活动中的探索性和创造性.
让学生经历观察、比较、归纳、应用的学习过程,使学生掌握类比、转化等学习数学的方法,养成既能自主探索,又能合作探究的良好学习习惯.
体会数学与现实生活的紧密联系,增强学生应用数学解决实际问题的意识.
【重点】
理解反比例函数的概念.
画反比例函数图象,理解反比例函数的性质.
利用反比例函数的性质解决有关问题.
【难点】
理解反比例函数的意义.
通过图象分析、总结反比例函数图象的特征和性质.
灵活运用反比例函数的图象和性质解决综合问题.
1.1 反比例函数 1.理解并掌握反比例函数定义.
能判断一个给定的函数是否为反比例函数.
能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式及自变量的取值范围.
让学生从实际问题情景中经历探索、分析和建立两个变量之间的反比例函数关系的过程.
用类比的思想方法,从实际问题中抽象出反比例函数概念,发展学生的观察能力、探究能力及交流总结能力.
经历探索具体问题中数量关系和变化规律的过程,体会建立函数模型的思想.
通过对一些实际问题的探究,发展学生合理的猜想、推理能力,增强他们学习数学的兴趣.
通过探索具体问题中数量关系和变化规律的过程,体验数学于生活,又应用于生活,提高学生应用数学的意识.
【重点】
理解并掌握反比例函数的定义,掌握反比例函数的一般形式.
能根据已知条件确定反比例函数的解析式.
【难点】
经历探索和表示反比例函数关系的过程,体验用反比例函数表示变量之间的关系.
【教师准备】 多媒体1~7.
【学生准备】 预习教材P1~3.导入一:
【1】 同一条铁路线上,由于不同车次列车运行时间有长有短,所以它们的平均速度有快有慢.
如果速度v一定,那么路程s与时间t是什么关系?
如果时间t一定,那么路程s与速度v又是什么关系呢?
如果路程s一定,那么速度v和时间t又是什么关系呢?
【思考】 以上关系是函数吗?
这个函数是不是我们前边学过的函数?
【导入语】 问题中的函数是一次函数,中的函数不是前边学过的函数,这类函数就是本章要研究的反比例函数.
[设计意图] 通过生活中的情景问题,引导学生发现不同于以往学过的新的函数关系,唤起学生对本课时的学习欲望,使学生带着问题进入新课的学习.
导入二:
【2】 我们知道,导体中的电流I与导体的电阻R、导体两端的电压U之间满足关系式U=IR,当U=220V时:
你能用含有R的代数式表示I吗?
利用写出的关系式完成下表:
R/Ω20406080100
I/A
当R越来越大时,I怎样变化?
当R越来越小呢?
变量I是R的函数吗?
为什么?
[设计意图] 从学生身边的生活和已有知识出发,创设情景,目的是让学生感受到生活当中处处有数学,激发学生学习数学的兴趣和愿望,同时也为抽象出反比例函数概念做铺垫.同时,这个事例的引入也有助于学生从学科综合的角度进行学习.
导入三:
【复习提问】
什么是函数?
什么是一次函数、二次函数?
一次函数、二次函数的学习过程是怎样的?
【3】 出示以往研究函数的基本思路:
【师生活动】 学生思考回答,教师点拨.
[设计意图] 通过复习一次函数、二次函数的概念,让学生从已有的知识体系中自然地构建出新知识.回忆学习一次函数、二次函数的研究思路,引导学生用类比的方法学习本章的反比例函数,初步了解本章的基本内容和研究思路,为后续学习做好铺垫.
[过渡语] 函数是初中数学中重要的数学模型,我们学习一次函数、二次函数时,在理解定义的基础上,研究它们的图象和性质,并用之解决实际问题,本章将用类似的方法研究一种新的函数——反比例函数.
思路一
感知反比例函数
【出示4】
京沪线铁路全程为1463,某次列车的平均速度v随此次列车的全程运行时间t的变化而变化;
某住宅小区要种植一块面积为10002的矩形草坪,草坪的长y随宽x的变化而变化;
已知北京市的总面积为1.68×1042,人均占有面积S随全市总人口n的变化而变化.
教师引导学生针对上面三个事例思考:
每个事例中的两个变量是什么?
当一个量变化时,另一个量随着怎样变化?
有几个值与变化的量相对应?
这种变化说明变量之间是什么关系?
题目中的等量关系是什么?
如果是函数关系,其解析式是什么?
所列出的函数关系式有什么特点?
[设计意图] 通过问题组的形式,引导学生发现这些变量之间的关系是一种函数关系,并且这种函数的解析式不同于以往的一次函数和二次函数,为进一步研究反比例函数做知识准备,同时激发学生学习的欲望,实现了让学生感知反比例函数的目的.
【学生活动】 独立思考后,小组合作交流,确定三个问题中的变量关系都是函数关系,并列出具体的函数解析式.
【参考答案】 v= y= S=.
反比例函数的概念
[过渡语] 刚才同学们总结的函数关系式,既不是一次函数,也不是二次函数,接下来让我们一起研究这类函数的特征吧.
观察前面的三个函数关系式,思考:
这三个函数是一次函数或二次函数吗?
这三个函数与前边学过的函数有什么不同?
你能说出它们的共同特征吗?
通过观察,你能归纳出这种函数的一般形式吗?
你能给这类函数下一个定义吗?
【师生活动】 学生思考后,逐一回答所提问题,教师适时启发,共同归纳结论.
教师引导学生从两个方面思考:
与一次函数和二次函数的解析式对比;给出的三个函数关系式等号右面是整式还是分式;三个函数关系式中的值有什么特点.
【总结】
一般地,形如y=的函数,叫做反比例函数,其中x是自变量,y是函数.自变量x的取值范围是不等于0的一切实数.
思考:
你身边哪些量之间存在着反比例函数关系?
在反比例函数y=中,,x,y可以取任意实数吗?
反比例函数y=中,自变量x的指数是1吗?
为什么?
反比例函数除了这种分式的形式外,还有其他表示方法吗?
【师生活动】 学生独立思考后,小组交流,学生回答时教师及时点评和引导,师生共同归纳反比例函数概念的有关特点:
反比例函数y=等号右边是分式形式.
反比例函数中,比例系数≠0,自变量x≠0,函数值y≠0.
反比例函数的三种表示形式:
y=,xy=,y=x-1.
[设计意图] 通过学生观察讨论,依据老师设计的问题串,类比已学函数,抽象出函数的本质特征,归纳出反比例函数的特征,学生经历概念的形成过程,从而达到真正理解定义的目的,同时培养学生归纳总结能力.
思路二
认识新的函数——反比例函数
【出示6】 下列五个事例:
某住宅小区要种植一块面积为10002的矩形草坪,草坪的长y与宽x有何关系?
物理学中电流I、电阻R、电压U之间满足关系式U=IR.当U=220V时,R与I有何关系?
当R=10Ω时,I与U有何关系?
京沪线铁路全程为1463,某次列车的平均速度v与此次列车的全程运行时间t有何关系?
用10长的篱笆围成矩形的小花园.
①如果花园的长为y,宽为x,那么y与x有何关系?
②如果花园的长为x,面积为y2,那么y与x又有何关系?
已知北京市的总面积为1.68×1042,人均占有面积S与全市总人口n有何关系?
教师引导学生针对上面五个事例思考:
每个事例中的两个变量是什么?
当一个量变化时,另一个量随着怎样变化?
这种变化说明变量之间是什么关系?
题目中的等量关系是什么?
如果是函数关系,其解析式是什么?
所列出的函数关系式有什么特点?
[设计意图] 问题情景既有教材“思考”栏目的问题,又有新增设的跨学科的物理问题,这些事例都要求学生从实际问题中找到两个变量,确定函数解析式.使已学函数和要研究的新函数都呈现在学生面前,引发学生的认识冲突,为形成反比例函数概念、辨析反比例函数做好准备.
【总结】 经过学生交流研讨,确认五个问题中的变量关系都是函数关系,并列出具体的函数解析式.
y=. R=;I=. v=. ①y=5-x. ②y=5x-x2. S=.
反比例函数的概念
[过渡语] 刚才同学们列出了相关的7个函数关系式,接下来我们开始研究这些函数解析式的特征吧.
反比例函数的一般形式
【出示7】 思考下列问题:
【问题1】 哪些是正比例函数、一次函数、二次函数?
【问题2】 哪些函数与问题1中的函数不同?
能给这类函数下定义吗?
【问题3】 你能尝试写出类似问题1中这种函数的一般形式吗?
【问题4】 上述函数中的常数分别是多少?
【问题提示】 上述情景中给出七个函数,其中、二、三、四个及第七个函数不是以往学习过的函数.通常情况下,我们用y表示函数,用表示常量,用x表示自变量.这几个特殊的函数学生可以初步总结为y=.
理解反比例函数概念
【问题1】 反比例函数的一般式y=的等号右边是什么式子?
【问题2】 反比例函数y=的比例系数、自变量x取值有什么要求?
【问题3】 反比例函数解析式还可以写成其他形式吗?
[设计意图] 通过前面的三个问题,观察学生是否能理解反比例函数的意义,是否能用数学语言表达反比例函数的解析式,是否理解自变量的取值范围,是否掌握判断反比例函数的标准和方法.通过学生的观察、思考、合作、交流,反比例函数概念及模型的建立也就会水到渠成.
例题讲解
[过渡语] 我们通过实例归纳总结了反比例函数的概念,试试能不能解决下列问题.
下列函数:
y=;y=;y=;y=;xy=2;y=.其中是反比例函数的是
,它们的比例系数分别是
〔解析〕 根据反比例函数概念进行判断,易得,,,是反比例函数,其中分别为5,0.4,,2.
〔答案〕
,0.4,,2
若y=x|a|-3是反比例函数,则a的值为
【师生活动】 学生独立思考后,小组交流答案,教师对学生的答案进行点评,并强调易错点.
〔解析〕 根据反比例函数概念可得,反比例函数满足两个条件:
常数≠0;自变量x的指数为-1.由题意可得|a|-3=-1,且a-2≠0,解得a=-2.故填-2.
[设计意图] 通过练习让学生进一步理解和掌握反比例函数的一般形式及特点,特别是忽略考虑≠0这一易错点.
已知y是x的反比例函数,并且当x=2时,y=6.
写出y关于x的函数解析式;
当x=4时,求y的值.
【师生活动】 师生共同复习待定系数法求函数解析式,然后学生独立完成,并板书过程,学生之间互相纠正错误答案,教师点评,并归纳待定系数法求函数解析式的一般步骤.
〔解析〕 类比一次函数、二次函数求解析式的方法——待定系数法,设出函数解析式,将一对x,y的值代入,求出待定系数.
解:
设所求函数解析式为y=.
因为当x=2时,y=6,所以有6=.
解得=12.因此所求函数解析式为y=.
把x=4代入y=,得:
y==3.
[设计意图] 通过复习待定系数法,再次用这一方法求反比例函数解析式,并让学生体会反比例函数解析式中只有一个待定系数,所以代入一组值即可求出函数解析式.同时让学生体会建模思想在数学中的应用,提高学生的归纳能力.
[知识拓展] 反比例函数y=等号右边分式的分母不能是多项式,只能是x的一次单项式,如y=,y=等都是反比例函数,但y=中,y就不是x的反比例函数.
反比例函数可以理解为两个变量的乘积是一个不为0的常数,因此可以写成xy=,y=x-1的形式.
反比例函数定义:
形如y=的函数叫做反比例函数.
反比例函数满足的条件:
函数右边是分式形式;
自变量的指数是-1;
比例系数不为0.
反比例函数的三种表示形式:
y=;xy=;y=x-1.
反比例函数自变量的取值范围:
x≠0.
下列函数中,是反比例函数的是
A.y=2x+1
B.y=0.75x
c.y=
D.xy=1
解析:
A中函数是一次函数;B中函数是正比例函数;c中函数右边分母不是x的单项式,所以A,B,c都不是反比例函数,只有D符合反比例函数定义.故选D.
反比例函数y=x-1中的取值范围是
A.≠1
B.≠-1
c.≠±1
D.全体实数
解析:
在反比例函数y=x-1中,比例系数≠0,所以+1≠0,所以≠-1.故选B.
若函数y=x2-1为反比例函数,则的值是
解析:
根据反比例函数定义可得2-1=-1,解得=0.故填0.
某蓄水池的排水管每小时排水83,6h可将满池水全部排空.
蓄水池的容积为
;
若每小时排水用Q表示,则排水时间t与Q的函数解析式为
解析:
由题意可得等量关系为:
单位时间内的排水量×排水时间=总排水量,所以蓄水池的容积为8×6=48,故Qt=48,即t=.
答案:
483 t=
已知y与3x成反比例,且当x=1时,y=.
写出y与x的函数解析式;
当x=时,求y的值;
当y=时,求x的值.
解:
设y与x的函数解析式为y=,
把x=1,y=代入,
得=,所以=2,
所以y与x的函数解析式为y=.
当x=时,y=2.
当y=时,=,
解得x=.
1.1 反比例函数
思路一
感知反比例函数
反比例函数的概念
思路二
认识新的函数——反比例函数
反比例函数的概念
例题讲解
例1
例2
例3
一、教材作业
【必做题】
教材第3页练习第1,2题.
【选做题】
教材第3页练习第3题.
二、课后作业
【基础巩固】
下列函数中,不是反比例函数的是
A.y=-
B.y=
c.y=
D.3xy=2
下列反比例函数中,当x=2时,y的值为-3的是
A.y=
B.y=-
c.y=-
D.y=-
若y=是反比例函数,则a的值为
A.1
B.-1
c.±1
D.任意实数
若一个矩形的面积为10,则这个矩形的长与宽之间的函数关系是
A.正比例函数关系
B.反比例函数关系
c.一次函数关系
D.不能确定
下列函数:
①y=2x-1;②y=-;③y=x2+8x-2;④y=;⑤y=;⑥y=.其中y是x的反比例函数的有
若反比例函数y=,当x=-1时,y=2,则的值是
已知y是x的反比例函数,且当x=3时,y=8,那么当x=4时,y=
若梯形的下底长为x,上底长为下底长的,高为y,面积为60,则y与x的函数解析式是
分别写出下列函数的解析式,指出是哪种函数,并确定其自变量的取值范围.
在路程为60的运动中,速度v关于运动时间t的函数关系式;
某校要在校园中开辟出一块面积为842的矩形土地做花圃,这个花圃的长y关于宽x的函数关系式;
市政府计划建设一项水利工程,工程需要运送的土石总量为106米3,某运输公司承办了该项工程运送土石的任务,运输公司的平均工作量V与完成运送任务所需要的时间t之间的函数关系式.
0.已知y与x的反比例函数解析式为y=.
请完成下表:
x-3-113
求当x=-10时函数y的值;
求当y=6时自变量x的值.
【能力提升】
1.将x=代入反比例函数y=-中,所得函数值记为y1,又将x=y1+1代入原反比例函数中,所得函数值记为y2,再将x=y2+1代入原反比例函数中,所得函数值记为y3,…,如此继续下去,则yXX=
已知一个长方体的体积是100c3,它的长是yc,宽是5c,高是xc.
写出用高表示长的解析式;
当x=3时,求y的值.
【拓展探究】
3.已知y=y1+y2,y1与x2成正比例,y2与x成反比例,且当x=1时,y=3;当x=-1时,y=1.求当x=时y的值.
【答案与解析】
c
B
A
B
②⑤
-2×2=-2.故填-2.）
6
y=
解:
v=,是反比例函数,t>0. y=,是反比例函数,x>0. V=,是反比例函数,t>0.
0.解:
-1 -3 3 1 当x=-10时,y=-. 当y=6时,6=,解得x=.
1.-
解:
y=. 当x=3时,y=.
3.解:
设y1=1x2,y2=,则y=y1+y2=1x2+.把x=1,y=3;x=-1,y=1代入得解得所以y=2x2+.当x=时,y=2×+2=. 本课时精心设计了课程导入环节,顺利地把学生带入课时学习的情景之中,为学好本课时的内容做了很好的铺垫.
在教学设计思路上,不是把概念直接交给学生,而是让学生通过比较反比例函数与其他函数区别的基础上得出结论,这样既巩固了先前的知识,又很好地做到了知识的迁移和延伸.
依托教材的素材对教材进行了开发,依据教材的情景,设计了对学生具有启发性和引导性的问题,精心设置了教材例题之外的例题,更好地为实现本节课的教学目标服务.
在复习一次函数和二次函数等函数知识的时候,给学生的时间较少,部分同学还没有很好地回忆和总结先前的知识,这在一定程度上造成了学生理解知识存在衔接的困难.在讨论问题组的时候,让学生自我学习和交流做得不够深入,老师过早地把问题结论提示给学生,对学生的思维活动没有做到很好的引导.在习题处理环节上,个例题可以让学生通过交流合作去完成.
因为本课时的学习内容需要联系以往的函数知识,教师应该在课前让学生进行有针对性的复习.降低补充的两个例题的综合程度,把处理的重点放在巩固基础知识上,而不是强调对知识的综合练习.在明确了反比例函数的定义之后,建议学生利用函数解析式把不同的函
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