《菱形的性质与判定》word教案 公开课获奖北师版 6.docx

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《菱形的性质与判定》word教案公开课获奖北师版6

1.1菱形的性质与判定

一、学生知识状况分析

“菱形的性质与判定”是继八年级下册“第三章图形的平移与旋转”和“第六章平行四边形”之后的一个学习内容。

九年级的学生在学习菱形之前，已经掌握了简单图形平移旋转和平行四边形的性质和判定，学生完全能够借助图形的旋转平移和轴对称直观的理解菱形的定义和性质

。

其次，经历了七年级下册“第二章相交线与平行线”、“第三章三角形”和八年级下册“第六章平行四边形”的学习，通过推理训练，学生们已经具备了一定的推理能力，树立了初步的推理意识，为严格的推理证明打下了基础。

再次，在以前的数学学习中，学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。

二、教学任务分析

教科书基于学生在平行四边形相关知识的基础上，提出了本课的具体学习任务：

①掌握菱形的定义；②探索并掌握菱形是轴对称图形；③探索并证明菱形“四条边相等”、“对角线互相垂直”等性质，并能应用这些性质计算线段的长度。

在教学过程中，要利用学生对图形的直观感知、已掌握的平行四边形的相关知识和已有的逻辑推理能力为基础，探索菱形的定义和性质，又要尝试利用它们解题。

所以在本节课的教学中，要帮助学生学会运用观察，分析，比较，归纳，概括等方法，得

出解决问题的方法，使传授知识与培养能力融为一体，使学生不仅学到科学的探究方法，而且体验到探究的乐趣，体会到成功的喜悦。

综上所述，本节的教学目标为：

1.经历从现实生活中抽象出图形的过程，了解菱形的概念及其与平行四边形的关系；

2.体会菱形的轴对称性，经历利用折纸等活动探索菱形性质的过程，发展合情推理能力；

3.在证明性质和运用性质解决问题的过程中进一步发展学生的逻辑推理能力

三、教学过程设计

本节课设计了六个教学环节：

第一环节：

课前准备；第二环节：

设置情境，提出课题；第三环节：

猜想、探究与证明；第四环节：

性质应用与巩固；第五环节：

课堂小结；第六环节：

布置作业。

第一环节　课前准备

1、教师

在课前布置学生复习平行四边形的性质，搜集菱形的相关图片。

2、教师准备菱形纸片，上课前发给学生上课时使用。

第二环节设置情境，提出课题

【教学内容】

学生：

观察衣服、衣帽架和窗户等实物图片。

教师：

同学们，在观察图片后，你能从中发现你熟悉的图形吗？

你认为它们有什么样的共同特

征呢？

学生1：

图片中有八年级学过的平行四边形。

教师：

请同学们观察，彩图中的平行四边形与ABCD相比较，还有不同点吗？

学生2：

彩图中的平行四边形不仅对边相等，而且任意两条邻边也相等。

教师：

同学们观察的很仔细，像这样，“一组邻边相等的平行四边形叫做菱形”。

【教学目的】

通过这个环节，培养了学生的观察和对比分析能力。

上课时让学生观察图形，从直观上把握菱形的特点，从而给出菱形的定义，让学生明确菱形不但是平行四边形，而且有其特点“一组邻边相等”。

同时，要让学生体会数学来源于生活，让学生去发现生活中因为有了数学而变得更精彩，从而提高学生学习数学的兴趣。

【注意事项】

学生在通过观察对比得到菱形定义的过程中，会提出菱形的许多性质，如四条边相等、对角相等和对边平行等等，教师要对学生的答案进行积极的有鼓励性的评价，激发学生的学习积极性，同时又要强调菱形不仅是平行四边形，而且有其自身特点“一组邻边相等”，这样强化了菱形的定义，又为下面的教学内容做好了铺垫。

第三环节　猜想、探究与证明

【教学内容】

1、想一想

①教师：

菱形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质。

你能列举一些这样的性质吗？

学生：

菱形的对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分。

②教师：

同学们，你认为菱形还具有哪些特殊的性质？

请你与同伴交流。

学生活动：

分小组讨论菱形的性质，组长组织组员讨论，让尽可能多的组员发言，并汇总结果。

教师活动：

教师巡视，并参与到学生的讨论中，启发同学们类比平行四边形，从图形的边、角和对角线三个方面探讨菱形的性质。

对学生的结论，教师要及时评价，积极引导，激励学生。

2、做一做

教师：

请同学们用菱形纸片折一折，回答下列问题：

（1）菱形是轴对称图形吗？

如果是，它有几条对称轴？

对称轴之间有什么位置关系？

（2）菱形中有哪些相等的线段？

学生活动：

分小组折纸探索教师的问题答案。

组长组织，并汇总结果。

教师活动：

教师巡视并参与学生活动，引导学生分析怎样折纸才能得到正确的结论。

学生研讨完毕，教师要展示汇总学生的折纸方法以及相应的结论，以便于后面的教学。

师生结论：

①菱形

是周对称图形，有两条对称轴，是菱形对角线所在的直线，两条对角线互相垂直。

②菱形的四条边相等。

3、证明菱形性质

教师：

通过折纸活动，同学们已经对菱形的性质有了初步的理解，下面我们要对菱形的性质进行严格的逻辑证明。

教师活动：

展示题目

已知：

如图1-1，在菱形ABCD中，AB=AD,对角线AC与BD相交于点O.

求证：

（1）AB=BC=CD=AD；

（2）AC⊥BD.

师生共析：

①菱形不仅对边相等，而且邻边相等，这样就可以证明菱形的四条边都相等了。

②因为菱形是平行四边形，所以点O是对角线AC与BD中点；又因为在菱形中可以得到等腰三角形，这样就可以利用“三线合一”来证明结论了。

学生活动：

写出证明过程，进行组内交流对比，优化证明方法，掌握相关定理。

证明：

（1）∵四边形ABCD是菱形，

∴AB=CD，AD=BC（菱形的对边相等）.

又∵AB=AD

∴AB=BC=CD=AD

（2）∵AB=AD

∴△ABD是等腰三角形

又∵四边形ABCD是菱形

∴OB=OD（菱形的对角线互相平分）

在等腰三角形ABD中，

∵

OB=OD

∴AO⊥BD

即AC⊥BD

教师活动：

展示学生的证明过程，进行恰当的点评和鼓励，优化学生的证明方法，提高学生的逻辑证明能力，最后强调“菱形的四条边都相等”“菱形的对角线互相垂直”，让学生形成牢固记忆，留下深刻印象。

【教学目的】

学生通过折纸可以猜想到菱形的相关性质，教师在参与学生的活动过程中，应该关注学生的口述论证过程，并根据学生的认知水平加以引导，尽量减少学生推理论证过程中的困难。

学生经过了折纸这一操作活动后，再经过逻辑证明，把操作层面的感知上升到了理性认识，充分了解了菱形的本质特征。

本环节让学生进行猜想探究和证明，符合学生的认知规律。

同时，操作活动得到的结论与逻辑推理相结合，是对数学知识进行探索活动的自然延续，实现了从感性认识到理性认识的升华。

【注意事项】

在折纸过程中，教师要与学生探讨折纸的方法，明确折叠过程中的对应点及相应的对称轴，对称轴是菱形对角线所在的直线，而不是菱形的对角线，以便于学生正确迅速找出菱形中的对称关系。

掌握数学知识，离不开“实践→认识→再实践→认识”这个重要的数学学习方法，通过说理论证可以使学生充分理解菱形的本质，对这样的过程学生也可以很好的掌握，在这个过程中，教师要充分关注学生使用几何语言的规范性和严谨性。

第四环节　性质应用与巩固

【教学内容】

教师：

通过刚才的严格论证，我们已经认识了菱形的特殊性质，下面我们利用这些性质来解决一些问题。

教师活动：

展示题目

1、例1如图1-2，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,∠BAD=60°，BD=6，求菱形的边长AB和对角线AC的长。

师生共析：

①因为菱形的邻边相等，一个内角是60°，这样就可以得到等边△ABD,BD=6，菱形的边长也是6。

②菱形的对角线互相垂直，可以得到直角△AOB；菱形的对角线互相平分，可以得到OB=3，根据勾股定理就可以求出OA的长度；再一次根据菱形的对角线互相平分,即AC=2OA,求出AC。

解：

∵四边形ABCD是菱形

∴AB=AD（菱形的四条边都相等）

AC⊥BD（菱形的对角线互相垂直）

OB=OD=BD=×6=3（菱形的对角线互相平分）

在等腰三角形ABC中，

∵∠BAD=60°

∴△ABD是等边三角形

∴AB=BD=6

在Rt△AOB中，由勾股定理，得OA2+OB2=AB2

∴

∴

2、随堂练习

如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O.

已知AB=5cm，AO=4cm求BD的长.

师生共析：

从图中可以知道AC与BD互相垂直，可以构成直角△AOB，因为AB=5cm，AO=4cm，这样就可以运用勾股定理求出OB；又因为菱形的对角线互相平分，BD为OB的两倍，这样就可以很方便的求出BD的数值了。

解：

∵四边形ABCD是菱

形

∴AC⊥BD（菱形的对角线互相垂直）

在Rt△AOB中，由勾股定理，得AO2+BO2=AB2

∴

∵四边形ABCD是菱形

∴BD=2BO=2×3=6（菱形的对角线互相平分）

所以，BD的长是6cm.

【教学目的】

学生通过本环节的学习，进一步理解和掌握了菱形的性质，对前面所学知识进行了更加深入的认识，同时提高了学生的逻辑推理能力，培养了学生的主动探索能力，激发了学生学习的兴趣。

【注意事项】

在此活动中，教师应重点关注以下方面：

（1）学生是否提出了不同的解题方法，这种方法的优点和缺点分别是什么；

（2）学生的几何语言是否准确、规范、严谨；（3）给学生充分的独立思考时间和交流时间，让学生在合作交流的过程中完成题目，理解所学的知识。

第五环节　课堂小结

【教学内容】

本节课我们探讨了菱形的定义、性质，我们

来共同总结一下：

1、菱形的定义：

一组邻边相等的平行四边形是菱形.

2、菱形的性质：

①菱形是轴对称图形，对称轴是两条对角线所在的直线；②菱形的四条边都相等；③菱形的对角线互相垂直平分。

3、菱形具有平行四边形的所有，应用菱形的性质可以进行计算和推理。

【教学目的】

教师鼓励学生交流课堂实践的经历、感受和收获；培养学生的归纳能力，使学生形成完整的知识结构，培养学生的自我评价能力、反思意识及总结能力。

【注意事项】

学生们畅所欲言自己的收获，老师对学生的回答给予充分的肯定和鼓励，及时引导学生归纳总结本节的知识。

第六环节　布置作业:

课本习题1.1知识技能　1、2、3数学理解4

四、教学设计反思

1、本节课的主要教学内容为菱形的定义和性质。

学生已经学习了平行四边形的性质，这是本节的知识基础。

关于菱形的定义和性质，就是在平行四边形的基础上，进一步强化条件得到的。

2、本节授课思路为“创设情境——猜想归纳——逻辑证明——知识运用”。

课堂上的折纸活动，可以让学生直观感知图形的特点，还可以激发学生的兴趣和积极性，教师要引导学生积极思考，抓住表面现象中的本质。

在性质的证明和应用过程中，教师要鼓励学生大胆探索新颖独特的证明思路和证明方法，提倡证明方法的多样性，并引导学生在与其他同学的交流中进行证明方法比较，优化证明方法，有利于提高学生的逻辑思维水平。

3、教师应该留给学生充分的独立思考的时间，不要让一些思维活跃的学生的回答代替了其他学生的思考，掩盖了其他学生的疑问。

第五章　反比例函数

一、学生知识状况分析

通过本章的学习，学生已经经历抽象反比例函数概念的过程，理解了反比例函数的概念，会作出反比例函数的图象，并探索和掌握其性质，能从函数图象中获取信息来解决实际问题。

本章的教学主要以直观操作，观察，概括和交流作为主要的活动方式。

通过这些活动，对函数的三种表示方法进行有机的整合，逐步形成对函数概念的整体性认识，逐步提高从函数图象中获取数学信息的能力，提高学生的感知水平，逐步形成从函数视角处理问题的意识，体验数形结合的数学思想方法.

教师应从现实情境和学生已有的知识经验出发，以本章三维教学目标为标准来考查学生的学习情况，考查学生对反比例函数的定义，图象，性质及其应用掌握的程度，以及从函数图象中敏锐地获取相关信息、分析问题、解决问题的能力.

二、教学任务分析

函数是在探索具体问题中数量关系和变化规律的基础上抽象出来的数学概念,是研究现实世界变化规律的重要内容及数学模型,学生已经在七年级下册和八年级上册学习过变量之间的关系、一次函数等内容,对函数已有了初步的认识,在此基础上讨论反比例函数,可以进一步领悟函数的概念，并积累研究函数性质的方法及用函数观点处理和解决实际问题的经验,为后继学习二次函数等产生积极的影响。

教学目标

（一）知识与能力

1.经历抽象反比例函数概念的过程，理解反比例函数的概念.

2.会作反比例函数的图象，并探索和掌握反比例函数的主要性质.

3.会从函数图象中获取信息，能运用反比例函数的概念、图象和主要性质解决实际问题.

（二）过程与方法

1.熟练掌握本章的整体知识结构，培养学生的概括和归纳能力，形成知识体系.

2.在经历抽象反比例函数概念的过程中，领会反比例函数的意义，理解反比例函数的概念，进一步培养学生的抽象思维能力.

3.经历一次函数的图象及其性质的探索过程，在合作与交流中发展学生的合作意识和交流能力.

　4.能根据所给信息确定反比例函数的表达式、会作反比例函数的图象，并能运用数形结合思想解决与反比例函数相关的数学问题和实际应用问题.

　　（三）情感与价值观

　　通过本章内容的回顾与思考，发展学生的数学应用能力，经历函数图象信息的识别与应用过程，发展学生的形象思维能力，激发学生学习的热情，培养学生学习数学的兴趣。

教学重点

　本章知识的网络结构体系.

　反比例函数的概念.

　会作反比例函数的图象，并掌握其性质.

　反比例函数的相关应用.

教学难点

　利用反比例函数的图像，探索反比例函数的主要性质.

　反比例函数的相关应用.

教学方法

　自主探究、合作交流.

三、教学过程分析

本节课设计了五个教学环节：

第一环节：

复习提问，引人入胜；第二环节：

知识串联，形成体系；第三环节：

例题精练，巩固新知；第四环节：

交流探讨、收获小结；第五环节：

课后作业

第一环节：

复习提问，引人入胜

活动目的给学生设置疑问，激发学生的思考和回顾，明确本节课的学习任务。

活动过程：

本章的内容已全部学完，请大家先回忆一下，本章学习了哪些主要内容?

学生回答预设：

反比例函数的定义；反比例函数的图象及性质；反比例函数的应用。

.教师引入：

下面我们就来系统全面地对本章内容进行复习。

.

第二环节：

知识串联，形成体系

活动目的：

引导学生对本章的所学的基础知识进行系统的归纳和整理，使学生明确各个知识点之间的联系，将基础知识网络化，形成本章知识的框架结构体系。

活动过程：

（一）本章知识结构

引导学生构造本章知识结构图。

（可课前让学生自己制作本章知识的内容框架或思维导图，上课进行展示和交流）

本章内容框架

活动效果：

学生可以根据以上内容框架，对自己整理的知识框架进行补充和整理，完善自己的知识体系，并能用自己的语言归纳总结本章内容.

注意事项：

1.应以学生自主总结和归纳为主，教师要在适时适当的给予指导；

2.对于学生个性化的结构框架的整理设计，只要合理，老师都应给予肯定。

（二）举出现实生活中有关反比例函数的实例，并归纳出反比例函数概念.

学生回答预设：

例：

当三角形的面积是16cm2时，它的底边a（cm）是这个底边上的高h（cm）的函数.

解：

a＝

.

在上式中，任意给定h一个值，相应地就确定了一个a的值.因此a是h的函数。

所以一般地，如果两变量x，y之间的关系可以表示成y=

（k是常数，k≠0）的形式,那么称y是x的反比例函数.

（三）说说函数y＝

和y＝-

的图象的联系和区别.

联系：

（1）图象都是由两支曲线组成；

（2）它们都不与坐标轴相交；

（3）它们都不过原点，既是中心对称图形，又是轴对称图形.

（4）虽然y＝

和y=-

的图象不同，但是在这两个函数图象上任取—点，过这两点分别作x轴、y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积相等，都为2.

区别：

（1）它们所在的象限不同，y=

的两支曲线在第一象限和第三象限；y=-

的两支曲线在第二象限和第四象限.

（2）y＝

的图象在每个象限内，y随x的增大而减小；y=-

的图象在每个象限内，y随x的增大而增大.

（四）回顾反比例函数图象的作图步骤及反比例函数图象的性质

画函数图象的步骤有列表、描点、连线.在作反比例函数的图象时应注意：

列表时自变量的取值应选取绝对值相等而符号相反的—对一对的数值，并尽量多取一些点，连线时要连成光滑的曲线，而不是折线.

反比例函数图象的性质有（课件演示）：

1.形状：

反比例函数的图象是两支双曲线.

2.位置：

当k>0时，图象分别位于第一、三象限；当k<0时，图象分别位于第二、四象限.

3.增减性：

当k>0时.在每一个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，在每一个象限，y随x的增大而增大.

4.因为在y=

（k≠0）中，x不能为0，y也不能为0，所以反比例函数的图象不可能与x轴相交，也不可能与y轴相交.

5.在一个反比例函数图象上任取两点P，Q，过点P，Q分别作x、轴，y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1，S2则S1＝S2

6.对称性：

反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴，对称中心是坐标原点.

第三环节：

例题精练，巩固新知

活动目的：

使学生运用反比例函数的概念、图象和主要性质熟练的解决实际问题，提高学生获取信息、分析问题、解决问题的能力。

活动过程：

课件展示

例一

1.下列函数中，其图象位于第一、三象限的有哪些?

在其图象所在象限内，y的值随x值的增大而增大的是哪些（）

（1）y=

（3）y=

（2）y=

（4）y=-

2.在函数y＝

的图象上任取一点P，过P分别作x轴、y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积是多少?

分析：

根据反比例函数图象的性质，当k＞0时，图象位于第一、三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，正好相反，但在y＝

中，形式虽然和反比例函数的形式不相同，但可以化成y=

的形式。

答案：

1.图象位于第一、三象限的有

（1）

（2）.在其图象所在象限内，y的值随x值的增大而增大的有（3）（4）.

2.S=｜k｜=3.

例二

1.一个圆台物体的上底面积是下底面积的

，当下底面放在桌子上时，对桌面的压强是200Pa，倒过来放，对桌面的压强是多少?

2.一定质量的CO2，当体积v＝5米3时.它的密度ρ＝1.98千克／米3，求

（1）ρ与v的函数关系式；

（2）当v=9米3时，CO2的密度.

分析：

压强p、受力面积S、压力F三者之间的关系为p=

，因为是同一物体，所以F是一定的，由于受力面积不同，因此压强也不同.

质量m、密度ρ、体积v三者之间的关系为：

ρ=

，由v=5米3，ρ=1.98千克／米3,可知质量m，实际代表已知反比例函数中的k，求出m，就确定了反比例函数的关系式.

答案：

解：

1.当下底面放在桌面上时，对桌面的压强为p1＝

＝200Pa,所以倒过来放时，对桌面的压强p2＝

＝800Pa.

2.设CO2的质量为m千克，将v=5米3，ρ=1.98千克／米3代入公式ρ＝

中，得m=9.9千克.

故所求ρ与v间的函数关系式为ρ＝

.

（2）当v＝9米3时，ρ=

＝1.1（千克／米3）。

课堂练习课件演示：

1.对于函数y=

，当x>0时，y_______0，这部分图象在第______象限；对于y＝-

，当x<0时，y____0，这部分图象在第_____象限.

2.函数y=

的图象在第____象限内，在每一个象限内，y随x的增大而______.

3.根据下列条件，分别确定函数y＝

的表达式

（1）当x=2时，y＝-3；

（2）点（-

）在双曲线y＝

上.

答案：

1.>一、三<二、四

2.一、三减小

3.

（1）y=

（2）y=

；

注意事项：

在本环节教学中，教师可以引导学生首先进行独立思考，避免替代思维，然后可以通过小组讨论、合作交流等形式，启发学生对问题进行探究，分析，完善解题思路，进而感悟和总结解决此类问题的一般方法和规律。

第四环节：

交流探讨收获小结

活动内容：

教师引导学生进行回顾和整理，然后通过师生交流和生生交流，回答以下问题：

本节课我们都一起回顾和复习了哪些内容？

交流预设：

1.反比例函数概念

2.反比例函数图像的做法及性质

3.反比例函数在生活中的应用

4.做题时要注意数形结合

5.具体题目的解题思路

活动目的：

使学生通过再次的回顾和总结，完善自己知识框架，进一步培养了学生归纳和交流能力。

第五环节：

课后作业

（一）复习题

（二）活动与探究

反比例函数图象与矩形的面积

若点A是反比例函数y=

（k≠0）图象上的任意一点，且AB垂直于x轴，垂足为B，AC垂直于y轴，垂足为C,则矩形面积SABOC=｜k｜.如图

（1）.

1.如图

（2），P是反比例函数）y=

（k≠O）图象上的一点，由P点分别向x轴，y轴引垂线，得阴影部分（矩形）的面积为3，则这个反比例函数的表达式______.

2.如图（3）过双曲线y=

上两点A、B分别作x轴，y轴的垂线，若矩形ADDC与矩形BFOE的面积分别为S1,S2,则S1与S2的关系是_____.

答案：

1.解：

由题意得｜k｜=3.

又双曲线的两支分布在第二、四象限，所以k<0，故k＝-3.

∴k=

.

2.解：

由题意得

S1=S2=｜k｜=2.

（三）补充练习（课件展示）

（四）反比例函数与正比例函数图象性质比较分析

四、板书设计

回顾与思考

一、本章知识结构

二、课堂练习

三、课时小节

四、课后作业

五、教学反思

本节作为本章的复习课，涉及到了中学数学里所有的数学思想方法，包括待定系数法、数形结合法、方程思想等等，这些方法相互渗透，相互融合，构成了函数应用的广泛性，解法的多样性，和思维的创造性。

   函数的性质、图象及函数与方程、不等式知识的联系和综合应用是命题的热点，尤以探索性题型考查较多，其主要特点是要求学生能够建立数学模型，对相关知识进行综合应用。