概率与数理统计第7章参数估计习题与答案.docx
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概率与数理统计第7章参数估计习题与答案
第7章参数估计----点估计
一、填空题
1、设总体X服从二项分布B（N,p），0P1，X1,X2Xn是其一个样本，那么矩估
计量p?
X
N
.
2、设总体X~B（1,p），其中未知参数0p1,X1,X2,Xn是X的样本，
则p的矩估计为_
1
n
i
n
1
X
i
_，样本的似然函数为_
i
n
1
Xi（1p）1X
p__。
i
3、设X1,X2,,Xn是来自总体X~N（,2）的样本，则有关于及
2
的似然函数
2
L（X,X,Xn;,）_
12
i
n
1
1
2
e
1
2（X）
i
2
2
__。
二、计算题
1、设总体X具有分布密度f（x;）
（1）x,0x1，其中1是未知参数，
X1,X2,X为一个样本，试求参数的矩估计和极大似然估计.
n
解：
因
E（X
）
1
x
0
1
a（）
α
1
（α1）xdx1xdx
α
0
α1
1
2
a
2|
x
0
α
α
α
1
2
令E（X）X
?
α
?
α
1
2
2X1
α?
为的矩估计
1X
n
因似然函数L（x1,x2,x;）
（1）（x1x2x）
nn
n
lnLnln（α1）lnX，由
α
i
i1
lnL
α
n
α
1
i
n
lnX0
得，
i
1
n
?
的极大似量估计量为
（1）
α
n
ln
X
i
i1
2、设总体X服从指数分布f（x）
x
e,x0
0,
其他
，X1,X2,Xn是来自X的样本，
（1）
求未知参数的矩估计；
（2）求的极大似然估计.
56
解：
（1）由于
1
E（X），令
11
X
X
，故的矩估计为
?
1
X
（2）似然函数
n
L（x,x,,x）e
12n
i
n
x
i
1
n
lnLnlnx
ii1
n
dlnLnn
x0
in
d
i1
x
ii1
故的极大似然估计仍为
1
X
。
3、设总体
2
X~N0,，
X1,X2,,Xn为取自X的一组简单随机样本，求
2
的极大似
然估计；
[解]
（1）似然函数
n
1
Le
i1
2
2
x
i
2
2
2
n
22
e
n
2
x
i
2
i
12
于是
n2
nnx
2
i
lnLln2ln
2
222
i1
dlnLn1
d
224
22
n
i1
2
x
i
，
令
dlnL
2
d
2
0
，得的极大似然估计：
n
1
22
X
i
n
i1
.
4、设总体X服从泊松分布P（）,X1,X2,,Xn为取自X的一组简单随机样本,
（1）求
未知参数估计；
（2）求大似然估计.
解：
（1）令E（X）X?
X，此为估计。
n
（2）似然函数
i1
L（x,x,,x）
12nn
x
i
e
n
x
i
!
i1
EMBEDEquation.3的极大似然估计仍为X。
第七章参数估计----点估计的评价标准
一、填空题
1、设总体样本，则下面三个均值估计量体均值的无偏估计，则最有效.
57
2、设总体，则可以作为估计量是（A）.
A、、、、计算题
二、计算题
1、设一总体中抽出的一组样本，总体均值，用计总体方差是否是偏估计，应如何修改，才
能成为无偏估计.
n
22
解：
因EMBEDEquation.3
n1
偏估计
2
但EMBEDEquation.3
的无偏估计
2
2、设总体样本，若使EMBEDEquation.3
的无偏估计，求常数C的值。
解：
章参数估计----区间估计
第七章参数估计----区间估计
一、选择题
2
1、设总体EMBEDEquation.3未知，设总体均值信度信区间长度么EMBEDEquation.3
a的关系为（A）.
A、，B、，
C、，D、EMBEDEquation.3l关系不确定
2、设总体，现在以置信度总体均值列做法中一定能使估计更精确的是（C）.
A、提高置信度加样本容量B、提高置信度少样本容量
C、降低置信度加样本容量D、降低置信度少样本容量
二、计算题
1、设总体样本容量测得未知参数信度为0.95的置信区间.
解：
信区间为EMBEDEquation.30.05EMBEDEquation.30.9
EMBEDEquation.3的置信区间为2、设总体0,要使总体均值的置信水平为1
的置信区间的长度不大于L，问需要抽取多大容量的样本。
EMBEDEquation.3n9EMBEDEquation.3的置信区间为2、设总体
0,要使总体均值的置信水平为1的置信区间的长度不大于L，问需要抽取多大容量
的样本。
信区间为2、设总体
0,要使总体均值的置信水平为1的置信区间的长度不大于
L，问需要抽取多大容量的样本。
2、设总体0,要使总体均值的置信水平为1的置信区间的长度不大于L，问需要抽
取多大容量的样本。
58
解：
信区间为、某车间生产自行车中所用小钢球，从长期生产实践中得知钢球直径从某
批产品里随机抽取6件，测得它们的直径（单位：
mm）为：
、某车间生产自行车中所用小钢球，从长期生产实践中得知钢球直径从某批产品里随机抽取
6件，测得它们的直径（单位：
mm）为：
3、某车间生产自行车中所用小钢球，从长期生产实践中得知钢球直径从某批产品里随机抽
取6件，测得它们的直径（单位：
mm）为：
14.6，15.1，14.9，14.8，15.2，15.1，置信度
（1）若信区间
（2）若，求信区间
（1）若信区间
（2）若，求信区间
（3）求方差方差的置信区间.
解：
（1），则信区间为EMBEDEquation.3
n5,0.05,Z1.96
2
代入则得信区间2），则信区间为EMBEDEquation.3n5,0.05
（2），则信区间为EMBEDEquation.3n5,0.05
2
查表得入得信区间为3）EMBEDEquation.3
的置信区间EMBEDEquation.3
0.5,n5代入得信区间为：
均方差的置信区间为、设从正态总体X中采用了n
=31个相互独立的观察值,算得样本均值方差总体X的均值和方差的90%的置信区间
2
（3）EMBEDEquation.3
的置信区间EMBEDEquation.30.05,n5代入得
信区间为：
均方差的置信区间为、设从正态总体X中采用了n=31个相互独立的观察值,
算得样本均值方差总体X的均值和方差的90%的置信区间
信区间EMBEDEquation.30.05,n5代入得信区间为：
均方差的置信区间
为、设从正态总体X中采用了n=31个相互独立的观察值,算得样本均值方差总体X的
均值和方差的90%的置信区间
入得信区间为：
均方差的置信区间为、设从正态总体X中采用了n=31个相互独立
的观察值,算得样本均值方差总体X的均值和方差的90%的置信区间
均方差的置信区间为、设从正态总体X中采用了n=31个相互独立的观察值,算
得样本均值方差总体X的均值和方差的90%的置信区间
4、设从正态总体X中采用了n=31个相互独立的观察值,算得样本均值方差总体X的
均值和方差的90%的置信区间
解：
EMBEDEquation.3
t0.05（30）1.6973
59
的90%的置信区间为:
EMBEDEquation.3
222
14.7（30）43.770.95（30）18.49，S
=33.64
2
S
=33.64
（1-a）%的置信区间为:
2的90%的置信区间为:
（23.1,54.6）
2
的90%的置信区间为:
（23.1,54.6）即
2的90%的置信区间为:
（23.1,54.6）
22
未知,现从5、设某种灯泡的寿命X服从正态分布N（,）,,
中任取5个灯泡进行寿命测试（单位:
1000小时）,得:
0.6,11.0,11.2,12.5,12.8,
求方差及均方差的90%的置信区间.
解：
EMBEDEquation.3
22
x0.05（4）9.488,x0.95（4）0.711
EMBEDEquation.3
22
x0.05（4）9.488,x0.95（4）0.711
EMBEDEquation.3
4
0.995
9.488
4
1.995
0.419,5.598
0.711
2及的90%的置信区间为（0.419,5.598）
2及的90%的置信区间为（0.419,5.598）
22
及、二正态总体N（1,1
）,N（2,2）的参数均未知,依次取容量为
n1=10,n2=11的二独立样本,测得样本均值分别为x11.2,x22.8，样本方差分别为1）求
二总体均值差
12的90%的置信区间。
（2）求二总体方差比90%的置信区间。
22
6、二正态总体N（1,1）,N（2,2）的参数均未知,依次取容量为n1=10,n2=11的二独
立样本,测得样本均值分别为
x11.2,x22.8，样本方差分别为1）求二总体均值差
12的90%的置信区间。
（2）求二总体方差比90%的置信区间。
（1）求二总体均值差12的90%的置信区间。
（2）求二总体方差比90%的置信区间。
解：
）
290.34100.29
s0.3137，t0.05（19）1.729，
w
19
（1）
290.34100.29
s0.3137，
w
19
t0.05（19）1.729，
12的90%的置信区间为
60
1111
（1.22.81.7290.3137,1.22.81.7290.3137）
10111011
（2.0231,1.1769）
（2）
EMBEDEquation.3
F（9,10）
0.95
11
F（10,9）3.14
0.7
EMBEDEquation.3
22
1/的90%的置信区间为:
2
EMBEDEquation.3
22
1/的90%的置信区间为:
2
0%的置信区间为:
61
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