数据结构课后习题和解析第六章.docx

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数据结构课后习题和解析第六章

第六章习题

1．试分别画出具有3个结点的树和3个结点的二叉树的所有不同形态。

2．对题1所得各种形态的二叉树，分别写出前序、中序和后序遍历的序列。

3．已知一棵度为k的树中有n1个度为1的结点，n2个度为2的结点，……，nk个度为k的结点，则该树中有多少个叶子结点并证明之。

4.假设一棵二叉树的先序序列为EBADCFHGIKJ，中序序列为ABCDEFGHIJK，请画出该二叉树。

5．已知二叉树有50个叶子结点，则该二叉树的总结点数至少应有多少个？

6．给出满足下列条件的所有二叉树：

①    前序和后序相同

②    中序和后序相同

③    前序和后序相同

7．n个结点的K叉树，若用具有k个child域的等长链结点存储树的一个结点，则空的Child域有多少个？

8．画出与下列已知序列对应的树Ｔ：

树的先根次序访问序列为GFKDAIEBCHJ；

树的后根次序访问序列为DIAEKFCJHBG。

9．假设用于通讯的电文仅由8个字母组成，字母在电文中出现的频率分别为：

0.07，0.19，0.02，0.06，0.32，0.03，0.21，0.10

请为这8个字母设计哈夫曼编码。

10．已知二叉树采用二叉链表存放,要求返回二叉树T的后序序列中的第一个结点指针,是否可不用递归且不用栈来完成?

请简述原因.

11.画出和下列树对应的二叉树：

12．已知二叉树按照二叉链表方式存储，编写算法，计算二叉树中叶子结点的数目。

13．编写递归算法：

对于二叉树中每一个元素值为x的结点，删去以它为根的子树，并释放相应的空间。

14．分别写函数完成：

在先序线索二叉树T中，查找给定结点*p在先序序列中的后继。

在后序线索二叉树T中，查找给定结点*p在后序序列中的前驱。

15．分别写出算法，实现在中序线索二叉树中查找给定结点*p在中序序列中的前驱与后继。

16．编写算法，对一棵以孩子-兄弟链表表示的树统计其叶子的个数。

17．对以孩子-兄弟链表表示的树编写计算树的深度的算法。

18．已知二叉树按照二叉链表方式存储，利用栈的基本操作写出后序遍历非递归的算法。

19．设二叉树按二叉链表存放，写算法判别一棵二叉树是否是一棵正则二叉树。

正则二叉树是指：

在二叉树中不存在子树个数为1的结点。

20．计算二叉树最大宽度的算法。

二叉树的最大宽度是指：

二叉树所有层中结点个数的最大值。

21．已知二叉树按照二叉链表方式存储，利用栈的基本操作写出先序遍历非递归形式的算法。

22.证明：

给定一棵二叉树的前序序列与中序序列，可唯一确定这棵二叉树；

　　　　　给定一棵二叉树的后序序列与中序序列，可唯一确定这棵二叉树；

23.二叉树按照二叉链表方式存储，编写算法，计算二叉树中叶子结点的数目。

24.二叉树按照二叉链表方式存储，编写算法，将二叉树左右子树进行交换。

实习题

1.        [问题描述]建立一棵用二叉链表方式存储的二叉树，并对其进行遍历（先序、中序和后序），打印输出遍历结果。

[基本要求]从键盘接受输入先序序列，以二叉链表作为存储结构，建立二叉树（以先序来建立）并对其进行遍历（先序、中序、后序），然后将遍历结果打印输出。

要求采用递归和非递归两种方法实现。

[测试数据]ABCффDEфGффFффф（其中ф表示空格字符）

         输出结果为：

先序：

ABCDEGF

                      中序：

CBEGDFA

                      后序：

CGBFDBA

2．已知二叉树按照二叉链表方式存储，编写算法，要求实现二叉树的竖向显示（竖向显示就是二叉树的按层显示）。

3．如题1要求建立好二叉树，按凹入表形式打印二叉树结构，如下图所示。

2.        按凹入表形式打印树形结构，如下图所示。

第六章答案

6．1分别画出具有3个结点的树和3个结点的二叉树的所有不同形态。

【解答】

具有3个结点的树         具有3个结点的二叉树      

6.3已知一棵度为k的树中有n1个度为1的结点，n2个度为2的结点，……，nk个度为k的结点，则该树中有多少个叶子结点？

【解答】设树中结点总数为n,则n=n0+n1+……+nk

树中分支数目为B,则B=n1+2n2+3n3+……+knk

因为除根结点外，每个结点均对应一个进入它的分支，所以有n=B+1

即n0+n1+……+nk=n1+2n2+3n3+……+knk+1

由上式可得叶子结点数为：

n0=n2+2n3+……+（k-1）nk+1

6.5已知二叉树有50个叶子结点，则该二叉树的总结点数至少应有多少个？

【解答】n0表示叶子结点数，n2表示度为2的结点数，则n0=n2+1

   所以n2=n0–1=49，当二叉树中没有度为1的结点时，总结点数n=n0+n2=99 

6.6试分别找出满足以下条件的所有二叉树:

（1）前序序列与中序序列相同;

（2）中序序列与后序序列相同;

（3）前序序列与后序序列相同。

【解答】

（1）前序与中序相同：

空树或缺左子树的单支树；

（2）中序与后序相同：

空树或缺右子树的单支树；

      （3）前序与后序相同：

空树或只有根结点的二叉树。

6.9 假设通讯的电文仅由8个字母组成，字母在电文中出现的频率分别为：

0.07，0.19，0.02，0.06，0.32，0.03，0.21，0.10

请为这8个字母设计哈夫曼编码。

【解答】

    构造哈夫曼树如下：

哈夫曼编码为：

I1：

11111                I5：

1100

   I2：

11110                I6：

10

I3：

1110         I7：

01 

I4：

1101         I8：

00

6.11画出如下图所示树对应的二叉树。

【解答】

6.15分别写出算法，实现在中序线索二叉树T中查找给定结点*p在中序序列中的前驱与后继。

在先序线索二叉树T中，查找给定结点*p在先序序列中的后继。

在后序线索二叉树T中，查找给定结点*p在后序序列中的前驱。

（1）找结点的中序前驱结点

BiTNode *InPre（BiTNode *p）

/*在中序线索二叉树中查找p的中序前驱结点，并用pre指针返回结果*/

{if（p->Ltag==1） pre=p->LChild;  /*直接利用线索*/

 else

  {/*在p的左子树中查找“最右下端”结点*/

    for（q=p->LChild;q->Rtag==0;q=q->RChild）;

     pre=q;

   }

 return（pre）;  

}

（2）找结点的中序后继结点

BiTNode *InSucc（BiTNode *p）

/*在中序线索二叉树中查找p的中序后继结点，并用succ指针返回结果*/

{if（p->Rtag==1） succ=p->RChild;  /*直接利用线索*/

 else

  {/*在p的右子树中查找“最左下端”结点*/

    for（q=p->RChild;q->Ltag==0;q=q->LChild）;

     succ=q;

   }

 return（succ）;  

}

（3）找结点的先序后继结点

BiTNode *PreSucc（BiTNode *p）

/*在先序线索二叉树中查找p的先序后继结点，并用succ指针返回结果*/

{if（p->Ltag==0） succ=p->LChild;  

 else  succ=p->RChild;

 return（succ）;  

}

（4）找结点的后序前驱结点

BiTNode *SuccPre（BiTNode *p）

/*在后序线索二叉树中查找p的后序前驱结点，并用pre指针返回结果*/

{if（p->Ltag==1） pre=p->LChild;  

 else  pre=p->RChild;

 return（pre）;  

}

6.21已知二叉树按照二叉链表方式存储，利用栈的基本操作写出先序遍历非递归形式的算法。

【解答】

Void PreOrder（BiTree root）   /*先序遍历二叉树的非递归算法*/

{

 InitStack（&S）;

 p=root;

 while（p!

=NULL||!

IsEmpty（S））

 {if（p!

=NULL）

   {

Visit（p->data）;

push（&S,p）;

p=p->Lchild;

       }

else

 {

  Pop（&S,&p）;

  p=p->RChild;

}

}

}

6.24已知二叉树按照二叉链表方式存储，编写算法，将二叉树左右子树进行交换。

【解答】

  算法

（一）

      Void exchange（BiTree root）

{

   p=root;

             if（p->LChild!

=NULL||p->RChild!

=NULL）

 {

                    temp=p->LChild;

p->LChild=p->RChild;

                    p->RChild=temp;

                    exchange（p->LChild）;

                    exchange（p->RChild）;

             }

      }     

算法

（二）

      Void exchange（BiTree root）

{

   p=root;

             if（p->LChild!

=NULL||p->RChild!

=NULL）

 {          

                    exchange（p->LChild）;

                    exchange（p->RChild）;

           temp=p->LChild;

p->LChild=p->RChild;

                    p->RChild=temp;

       }

      }     

第六章习题解析

1．试分别画出具有3个结点的树和3个结点的二叉树的所有不同形态。

2．对题1所得各种形态的二叉树，分别写出前序、中序和后序遍历的序列。

3．已知一棵度为k的树中有n1个度为1的结点，n2个度为2的结点，……，nk个度为k的结点，则该树中有多少个叶子结点？

[提示]：

参考P.116性质3

∵　n=n0+n1+……+nk

B=n1+2n2+3n3+……+knk

n=B+1

∴ n0+n1+……+nk=n1+2n2+3n3+……+knk+1

∴ n0=n2+2n3+……+（k-1）nk+1

4.假设一棵二叉树的先序序列为EBADCFHGIKJ，中序序列为ABCDEFGHIJK，请画出该二叉树。

[提示]：

参考P.148 

6．      已知二叉树有50个叶子结点，则该二叉树的总结点数至少应有多少个？

[提示]：

[方法1]

（1）一个叶子结点，总结点数至多有多少个？

结论：

可压缩一度结点。

（2）满二叉树或完全二叉树具有最少的一度结点

（3）可能的最大满二叉树是几层？

有多少叶结点？

如何增补？

25<50<26

可能的最大满二叉树是6层

有25=32个叶结点

假设将其中x个变为2度结点后，总叶结点数目为50

则：

2x+（32–x）=50

得：

x=18

此时总结点数目=（26–1）+18×2

[方法2]

假设完全二叉树的最大非叶结点编号为m，

则最大叶结点编号为2m+1,

（2m+1）-m=50

m=49

总结点数目=2m+1=99

[方法3]

由性质3：

n0=n2+1

即：

50=n2+1

所以：

n2=49

令n1=0得：

n=n0+n2=99

7．      给出满足下列条件的所有二叉树：

a）    前序和中序相同

b）   中序和后序相同

c）    前序和后序相同

[提示]：

去异存同。

a）  DLR与LDR的相同点：

DR，如果无L，则完全相同,如果无LR，…。

b）  LDR与LRD的相同点：

LD，如果无R，则完全相同。

c）  DLR与LRD的相同点：

D，如果无LR，则完全相同。

（如果去D，则为空树）

7．n个结点的K叉树，若用具有k个child域的等长链结点存储树的一个结点，则空的Child域有多少个？

[提示]：

参考P.119 

8．画出与下列已知序列对应的树Ｔ：

树的先根次序访问序列为GFKDAIEBCHJ；

树的后根次序访问序列为DIAEKFCJHBG。

[提示]：

（1）先画出对应的二叉树

（2）树的后根序列与对应二叉树的中序序列相同

9．假设用于通讯的电文仅由8个字母组成，字母在电文中出现的频率分别为：

0.07，0.19，0.02，0.06，0.32，0.03，0.21，0.10

（1）请为这8个字母设计哈夫曼编码，

（2）求平均编码长度。

10．已知二叉树采用二叉链表存放,要求返回二叉树T的后序序列中的第一个结点的指针,是否可不用递归且不用栈来完成?

请简述原因.

[提示]：

无右子的“左下端” 

11.画出和下列树对应的二叉树：

12．已知二叉树按照二叉链表方式存储，编写算法，计算二叉树中叶子结点的数目。

13．编写递归算法：

对于二叉树中每一个元素值为x的结点，删去以它为根的子树，并释放相应的空间。

[提示]：

[方法1]：

（1）按先序查找；

（2）超前查看子结点（3）按后序释放；

voidDelSubTree（BiTree *bt, DataTypex）

{

if（*bt!

=NULL&&（*bt）->data==x）

{ FreeTree（*bt）;

*bt=NULL;

}

else DelTree（*bt, x）

voidDelTree（BiTreebt, DataTypex）

{if（bt）

  {if（bt->LChild&&bt->LChild->data==x）

{FreeTree（bt->LChild）;

 bt->LChild=NULL;

}

    if（bt->RChild&&bt->RChild->data==x）

{FreeTree（bt->RChild）;

 bt->RChild=NULL;

}

DelTree（bt->LChild, x）;

DelTree（bt->RChild, x）;

}

}

[方法2]：

（1）先序查找；

（2）直接查看当前根结点（3）用指针参数；

[方法3]：

（1）先序查找；

（2）直接查看当前根结点

（3）通过函数值，返回删除后结果；

（参示例程序）

14．分别写函数完成：

在先序线索二叉树T中，查找给定结点*p在先序序列中的后继。

在后序线索二叉树T中，查找给定结点*p在后序序列中的前驱。

[提示]：

（1）先查看线索，无线索时用下面规律：

（2）结点*p在先序序列中的后继为其左子或右子；

（3）结点*p在后序序列中的前驱也是其左子或右子。

15．分别写出算法，实现在中序线索二叉树中查找给定结点*p在中序序列中的前驱与后继。

（参例题）

16．编写算法，对一棵以孩子-兄弟链表表示的树统计其叶子的个数。

[提示]：

（1）可将孩子-兄弟链表划分为根、首子树、兄弟树，递归处理。

（2）可利用返回值，或全局变量。

17．对以孩子-兄弟链表表示的树编写计算树的深度的算法。

18．已知二叉树按照二叉链表方式存储，利用栈的基本操作写出后序遍历非递归的算法。

（参课本）

19．设二叉树按二叉链表存放，写算法判别一棵二叉树是否是一棵正则二叉树。

正则二叉树是指：

在二叉树中不存在子树个数为1的结点。

[提示]：

可利用任何递归、非递归遍历算法。

20．计算二叉树最大宽度的算法。

二叉树的最大宽度是指：

二叉树所有层中结点个数的最大值。

21．已知二叉树按照二叉链表方式存储，利用栈的基本操作写出先序遍历非递归形式的算法。

22.证明：

给定一棵二叉树的前序序列与中序序列，可唯一确定这棵二叉树；

　　给定一棵二叉树的后序序列与中序序列，可唯一确定这棵二叉树；

23.二叉树按照二叉链表方式存储，编写算法将二叉树左右子树进行交换。

实习题

1.    [问题描述]建立一棵用二叉链表方式存储的二叉树，并对其进行遍历（先序、中序和后序），打印输出遍历结果。

[基本要求]从键盘接受输入先序序列，以二叉链表作为存储结构，建立二叉树（以先序来建立）并对其进行遍历（先序、中序、后序），然后将遍历结果打印输出。

要求采用递归和非递归两种方法实现。

[测试数据]ABCффDEфGффFффф（其中ф表示空格字符）

         输出结果为：

先序：

ABCDEGF

                      中序：

CBEGDFA

                      后序：

CGBFDBA

2．已知二叉树按照二叉链表方式存储，编写算法，要求实现二叉树的竖向显示（竖向显示就是二叉树的按层显示）。

[提示]：

（1）参习题6.20，实现逐层遍历

（2）队中保存每个结点的打印位置，其左、右子的距离

3．如题1要求建立好二叉树，按凹入表形式打印二叉树结构，如图6.34所示。

图6.34

4．按凹入表形式打印树形结构，如图6.35所示。

[提示]：

参P.129例，用先根遍历。