名师导学数学江苏理提高版大一轮复习练习91平面的性质与空间直线的位置关系含答案解析.docx

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名师导学数学江苏理提高版大一轮复习练习91平面的性质与空间直线的位置关系含答案解析

第46课　平面的性质与空间直线的位置关系

【自主学习】

（本课时对应学生用书第117~118页）

自主学习　回归教材

1.（必修2P23练习2改编）用集合符号表示“点P在直线l外，直线l在平面α内”为　　　　　　　　.

【答案】P

l，l

α

【解析】考查点、线、面之间的符号表示.

2.（必修2P26练习2改编）如果OA∥O1A1，OB∥O1B1，那么∠AOB与∠A1O1B1的大小关系为　　　　　　　　.

【答案】相等或互补

【解析】考虑两种情况.

3.（必修2P31习题12改编）在正方体ABCD-A'B'C'D'中，对角线AD'与BD所成角的大小为　　　　.

【答案】60°

【解析】∠DBC'就是对角线AD'与BD所成角的平面角.

4.（必修2P31习题5改编）下列说法中正确的是　　　　.（填序号）

①两两相交的三条直线共面；

②四条线段首尾相接，所得的图形是平面图形；

③平行四边形的四边所在的四条直线共面；

④若AB，CD是两条异面直线，则直线AC，BD不一定异面.

【答案】③

【解析】当三条直线交于一点时有可能不共面；四条线段首尾相接，所得的图形可以构成空间四边形；若AB，CD是两条异面直线，则直线AC，BD一定异面，可反证.

1.公理1：

如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.它是判定直线在平面内的依据.

2.公理2：

如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线.它是判定两平面相交、作两个平面交线的依据.

3.公理3：

经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.

推论1：

经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面.

推论2：

经过两条相交直线，有且只有一个平面.

推论3：

经过两条平行直线，有且只有一个平面.

4.公理4：

平行于同一条直线的两条直线互相平行.

5.等角定理：

如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同，那么这两个角相等.

6.空间两条直线的位置关系有以下三种：

位置关系

共面情况

公共点

相交

在同一个平面内

有且只有一个

平行

在同一个平面内

没有

异面

不同在任何一个平面内

没有

【要点导学】

要点导学　各个击破

　多点共线与多线共点的证明

例1　如图

（1），已知△ABC的各顶点均在平面α外，直线AB，AC，BC分别交平面α于点P，Q，R.求证：

P，Q，R三点共线.

　（例1

（1））

【思维引导】根据公理2，选择恰当的两个平面，只要证明R，Q，P三点都是这两个平面的公共点即可证明这三点在这两个平面的交线上.

【解答】如图

（2），设△ABC确定了一个平面β，

　（例1

（2））

因为点R∈BC，所以R∈β.

又因为R∈α，所以R在平面α和平面β的交线上.

同理，点P，Q也在平面α和平面β的交线上.

而平面α和平面β的交线只有一条，故P，Q，R三点共线.

【精要点评】

（1）证明点共线的方法：

①先考虑两个平面的交线，再证明有关的点都是这两个平面的公共点；②先选择其中两点确定一条直线，再证明其他点也在这条直线上.

（2）公理的正确运用，严密的逻辑推理过程，文字、符号、图形语言的转化是立体几何的基本要求，也是高考考查的重点.

变式　如图，已知E，F，G，H分别为空间四边形ABCD的边AB，AD，BC，CD上的点，且直线EF和GH交于点P，求证：

B，D，P三点在同一直线上.

　（变式）

【解答】因为EF∩GH=P，

所以P∈EF，P∈GH.

因为E∈AB，F∈AD，所以EF

平面ABD，

所以P∈平面ABD.

因为G∈BC，H∈CD，所以GH

平面BCD，

所以P∈平面BCD.

因为平面ABD∩平面BCD=BD，

所以P∈BD，即B，D，P三点在同一直线上.

　点、线共面的证明

例2　已知直线l与三条平行直线a，b，c都相交，求证：

直线l与直线a，b，c共面.

【思维引导】先由两平行直线确定一个平面，再确定另一个平面，最后说明两平面重合且直线l在三条平行直线所确定的平面内即可.

【解答】如图，设直线l与直线a，b，c分别交于点A，B，C，因为a∥b，所以过a，b可确定一个平面α.

　（例2）

因为b∥c，所以过b，c可确定一个平面β.

因为A∈a，B∈b，C∈c，且A，B，C∈l，

所以l

α，l

β，

所以存在两条相交直线b，l既在α内又在β内，

所以由公理3及推论知α，β必重合，

所以直线l与直线a，b，c共面.

【精要点评】证明几条线共面的方法：

①先由有关元素确定一个基本平面，再证其他的点（或线）在这个平面内；②先由部分点线确定平面，再由其他点线确定平面，然后证明这些平面重合.

变式　如图，A∈l，B∈l，C∈l，D

l，求证：

直线AD，BD，CD共面.

　（变式）

【解答】因为D

l，所以过点D及直线l可确定一个平面α.因为A∈l，B∈l，C∈l，所以A，B，C∈α，所以直线AD，BD，CD共面于α.

　求异面直线所成的角

例3　如图，在正方体ABCD-A'B'C'D'中.

（1）哪些棱所在的直线与直线BA'是异面直线?

（2）求异面直线BA'与CC'所成角的大小.

（3）哪些棱所在的直线与直线AA'垂直?

　（例3）

【思维引导】找异面直线要严格依据定义，而要求角，先找角；要找角，先找平行.根据异面直线所成角的定义找到平面角，然后再借助解三角形求角的大小.

【解答】

（1）由异面直线的判定方法，可知与直线BA'成异面直线的有B'C'，AD，CC'，DD'，DC，D'C'.

（2）由BB'∥CC'，可知∠B'BA'等于异面直线BA'与CC'所成的角，所以异面直线BA'与CC'所成的角为45°.

（3）直线AB，BC，CD，DA，A'B'，B'C'，C'D'，D'A'与直线AA'都垂直.

【精要点评】求异面直线所成的角的关键是借助平行关系找到平面角，然后再放到某个三角形中求解角的大小，即“找角—求角”.虽然在近几年的高考中求角问题不太常见，但仍需适当关注.

变式　如图，已知A是△BCD所在平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点.

（1）求证：

直线EF与BD是异面直线；

（2）若AC⊥BD，AC=BD，求EF与BD所成的角.

　（变式）

【解答】

（1）假设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，从而DF与BE共面，即AD与BC共面，所以A，B，C，D在同一平面内，这与A是△BCD所在平面外的一点相矛盾，故直线EF与BD是异面直线.

（2）取CD的中点G，连接EG，FG，则EG∥BD，所以相交直线EF与EG所成的角即为异面直线EF与BD所成的角.在Rt△EGF中，由EG=FG=

AC，求得∠FEG=45°，即异面直线EF与BD所成的角为45°.

1.下列图形中，不一定是平面图形的是　　　　.（填序号）

①三角形；②菱形；③梯形；④四边相等的四边形.

【答案】④

2.已知α∩β=m，a

α，b

β，a∩b=A，那么直线m与点A的位置关系可用集合符号表示为　　　　　　.

【答案】A∈m

3.如图，已知正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为a，则直线BA'和AD'所成的角的大小为　　　　.

　（第3题）

【答案】60°

【解析】连接BC'，A'C'，易知△A'BC'是正三角形，且有BC'∥AD'，所以∠A'BC'就是直线BA'和AD'所成的角，又∠A'BC'=60°，所以直线BA'和AD'所成的角的大小为60°.

4.如图，已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为3的正方体，点E在AA1上，点F在CC1上，且AE=FC1=1，求证：

E，B，F，D1四点共面.

　（第4题）

【解答】在DD1上取一点N使得DN=1，连接CN，EN，显然四边形CFD1N是平行四边形，

所以D1F∥CN.

同理，四边形DNEA也是平行四边形，

所以EN∥AD，且EN=AD.

又BC∥AD，且AD=BC，

所以EN∥BC，EN=BC，

所以四边形CNEB是平行四边形，

所以CN∥BE，即D1F∥BE，

故E，B，F，D1四点共面.

趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》中的练习第91~92页.

【检测与评估】

第九章　立体几何初步

第46课　平面的性质与空间直线的位置关系

一、填空题

1．给出下列三个命题：

①书桌面是平面；

②有一个平面的长是50m，宽是20m；

③平面是绝对的平、无厚度，可以无限延展的抽象数学概念.

其中正确命题的个数为　　　　.

2．空间中，可以确定一个平面的条件是　　　　.（填序号）

①两条直线；　　②一点和一条直线；

③一个三角形；　④三个点.

3．已知平面α与平面β，γ都相交，那么这三个平面的交线可能有　　　　条.

4．两条异面直线所成的角的范围为　　　　.

5．如果两条直线a和b没有公共点，那么a与b的位置关系是　　　　.

6．如果OA∥O1A1，OB∥O1B1，且

与

方向相同，而

与

方向相反，那么∠AOB与∠A1O1B1　　　　.

7．在如图所示的正方体中，M，N分别为棱BC和棱CC1的中点，则异面直线AC和MN所成的角的大小为　　　　.

（第7题）

8．以下命题中错误的是　　　　.（填序号）

①和同一条直线都相交的两条直线在同一平面内；

②三条两两相交的直线在同一平面内；

③有三个不同公共点的两个平面重合；

④三条两两平行的直线确定三个平面.

二、解答题

9．在如图所示的正方体ABCD-AB'C'D'中，E是棱A'D'的中点.

（1）求异面直线AE和CC'所成角的正切值；

（2）找到直线AE和BA'所成的角.

（第9题）

10．如图，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，AB，BC，DC，AD（或延长线）分别与平面α相交于点E，F，G，H，求证：

E，F，G，H必在同一条直线上.

（第10题）

11．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，对角线A1C与平面BDC1交于点O，AC，BD交于点M，E为AB的中点，F为AA1的中点.

（1）求证：

C1，O，M三点共线.

（2）求证：

E，C，D1，F四点共面.

（第11题）

三、选做题

12．如图，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD=∠FAB=90°，BC

AD，BE

FA，G，H分别为FA，FD的中点.

（第12题）

（1）求证：

四边形BCHG是平行四边形.

（2）问：

C，D，F，E四点是否共面?

为什么?

【检测与评估答案】

第九章　立体几何初步

第46课　平面的性质与空间直线的位置关系

1．1

2．③

3．1，2或3

4．

　【解析】注意异面直线所成的角不能为0.

5．平行或异面

6．互补

7．60°　【解析】构造△ACD1，然后再借助长度关系求∠CAD1的大小.

8．①②③④　【解析】和同一条直线都相交的两条直线可以异面；三条两两相交的直线若交于一点，可以异面；有三个不同公共点的平面可以相交；三条两两平行的直线可以共面.

9．

（1）因为AA'∥BB'∥CC'，故AE和AA'所成的锐角∠A'AE就是AE和CC'所成的角.

在Rt△AA'E中，tan∠A'AE=

=

，所以AE和CC'所成角的正切值是

.

（2）如图，取B'C'的中点F，连接EF，BF，

EF

A'B'

AB，

所以四边形ABFE是平行四边形，

从而BF∥AE且BF=AE，

所以BF与BA'所成的锐角∠A'BF就是AE和BA'所成的角.

（第9题）

10．因为AB∥CD，所以AB，CD确定平面AC.

因为AD∩α=H，H∈平面AC，H∈α，由公理2可知，H必在平面AC与平面α的交线上.

同理，F，G，E都在平面AC与平面α的交线上，因此E，F，G，H必在同一条直线上.

11．

（1）因为C1，O，M∈平面BDC1，且C1，O，M∈平面A1ACC1，

由公理2知，点C1，O，M在平面BDC1与平面A1ACC1的交线上，

所以C1，O，M三点共线.

（2）连接A1B，CD1，EF.

因为E，F分别是AB，A1A的中点，

所以EF∥A1B.

因为A1B∥CD1，所以EF∥CD1，

所以E，C，D1，F四点共面.

12．

（1）由G是FA的中点，H是FD的中点，得GH

AD.

又BC

AD，所以GH

BC，

所以四边形BCHG为平行四边形.

（2）方法一：

C，D，F，E四点共面.理由如下：

由BE

AF，G为FA的中点，知BE

FG，所以四边形BEFG为平行四边形，

所以EF∥BG.

由

（1）知BG∥CH，

所以EF∥CH，所以EF与CH共面.

又D∈FH，所以C，D，F，E四点共面.

方法二：

C，D，E，F四点共面.理由如下：

如图，延长FE，DC分别与AB的延长线交于点M，M'.

因为BE

AF，所以B为MA的中点.

因为BC

AD，所以B为M'A的中点.

所以M与M'重合，即FE与DC的延长线交于点M（M'），所以C，D，F，E四点共面.

（第12题）