高一数学必修一 教案 14 充分条件与必要条件.docx

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高一数学必修一教案14充分条件与必要条件

1．4　充分条件与必要条件

1．4.1　充分条件与必要条件

学习目标

　1.理解充分条件、必要条件的概念.2.了解充分条件与判定定理，必要条件与性质定理的关系.3.能通过充分性、必要性解决简单的问题．

知识点　充分条件与必要条件

“若p，则q”为真命题

“若p，则q”为假命题

推出关系

p⇒q

p⇏q

条件关系

p是q的充分条件

q是p的必要条件

p不是q的充分条件

q不是p的必要条件

定理关系

判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件

性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件

思考　若p是q的充分条件，这样的条件p唯一吗？

答案　不唯一．例如“x>1”是“x>0”的充分条件，p可以是“x>2”“x>3”或“2

预习小测　自我检验

1．若条件p：

两个三角形相似，q：

两个三角形全等，则p是q的________条件．

答案　必要

2．已知A⊆B，则“x∈A”是“x∈B”的________条件．

答案　充分

3．p：

|x|＝|y|，q：

x＝y，则p是q的________条件．

答案　必要

解析　∵x＝y⇒|x|＝|y|，即q⇒p，

∴p是q的必要条件．

4．p：

a＝0，q：

ab＝0，则p是q的________条件．

答案　充分

一、充分条件的判断

例1　

（1）下列命题中，p是q的充分条件的是________．

①p：

（x－2）（x－3）＝0，q：

x－2＝0；

②p：

两个三角形面积相等，q：

两个三角形全等；

③p：

m<－2，q：

方程x2－x－m＝0无实根．

答案　③

解析　①∵（x－2）（x－3）＝0，

∴x＝2或x＝3，不能推出x－2＝0.

∴p不是q的充分条件．

②∵两个三角形面积相等，不能推出两个三角形全等，∴p不是q的充分条件．

③∵m<－2，∴12＋4m<0，∴方程x2－x－m＝0无实根，∴p是q的充分条件．

（2）“a>2且b>2”是“a＋b>4，ab>4”的________条件．

答案　充分

解析　由a>2且b>2⇒a＋b>4，ab>4，

∴是充分条件．

反思感悟　充分条件的判断方法

（1）判定p是q的充分条件要先分清什么是p，什么是q，即转化成p⇒q问题．

（2）除了用定义判断充分条件还可以利用集合间的关系判断，若p构成的集合为A，q构成的集合为B，A⊆B，则p是q的充分条件．

跟踪训练1　“x>2”是“x2>4”的________条件．

答案　充分

解析　x>2⇒x2>4，故x>2是x2>4的充分条件．

二、必要条件的判断

例2　在以下各题中，分析p与q的关系：

（1）p：

x>2且y>3，q：

x＋y>5；

（2）p：

一个四边形的四个角都相等，q：

四边形是正方形．

解　

（1）由于p⇒q，故p是q的充分条件，q是p的必要条件．

（2）由于q⇒p，故q是p的充分条件，p是q的必要条件．

反思感悟　

（1）判断p是q的什么条件，主要判断若p成立时，能否推出q成立，反过来，若q成立时，能否推出p成立；若p⇒q为真，则p是q的充分条件，若q⇒p为真，则p是q的必要条件．

（2）也可利用集合的关系判断，如条件甲“x∈A”，条件乙“x∈B”，若A⊇B，则甲是乙的必要条件．

跟踪训练2　分析下列各项中p与q的关系．

（1）p：

α为锐角，q：

α＝45°.

（2）p：

（x＋1）（x－2）＝0，q：

x＋1＝0.

解　

（1）由于q⇒p，故p是q的必要条件，q是p的充分条件．

（2）由于q⇒p，故p是q的必要条件，q是p的充分条件．

三、充分条件与必要条件的应用

例3　已知p：

实数x满足3a

实数x满足－2≤x≤3.若p是q的充分条件，求实数a的取值范围．

解　p：

3a

q：

－2≤x≤3，即集合B＝{x|－2≤x≤3}．

因为p⇒q，所以A⊆B，

所以

⇒－

≤a<0，

所以a的取值范围是－

≤a<0.

延伸探究

1．将本例中条件p改为“实数x满足a0”，若p是q的必要条件，求实数a的取值范围．

解　p：

a

q：

－2≤x≤3，即集合B＝{x|－2≤x≤3}．

因为q⇒p，所以B⊆A，

所以

⇒a∈∅.

2．将例题中的条件“q：

实数x满足－2≤x≤3”改为“q：

实数x满足－3≤x≤0”其他条件不变，求实数a的取值范围．

解　p：

3a

q：

－3≤x≤0，即集合B＝{x|－3≤x≤0}．

因为p是q的充分条件，所以p⇒q，所以A⊆B，

所以

⇒－1≤a<0.

所以a的取值范围是－1≤a<0.

反思感悟　充分条件与必要条件的应用技巧

（1）应用：

可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题．

（2）求解步骤：

先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式（组）进行求解．

1．若p是q的充分条件，则q是p的（　　）

A．充分条件

B．必要条件

C．既不是充分条件也不是必要条件

D．既是充分条件又是必要条件

答案　B

解析　因为p是q的充分条件，所以p⇒q，所以q是p的必要条件．

2．下列命题中，p是q的充分条件的是（　　）

A．p：

ab≠0，q：

a≠0

B．p：

a2＋b2≥0，q：

a≥0且b≥0

C．p：

x2>1，q：

x>1

D．p：

a>b，q：

>

答案　A

解析　根据充分条件的概念逐一判断．

3．“同位角相等”是“两直线平行”的（　　）

A．充分条件

B．必要条件

C．既是充分条件，也是必要条件

D．既不充分又不必要条件

答案　C

4．若“x>1”是“x>a”的充分条件，则a的取值范围是________．

答案　a≤1

解析　因为x>1⇒x>a，所以a≤1.

5．“x2＝2x”是“x＝0”的________条件，“x＝0”是“x2＝2x”的________条件（用“充分”“必要”填空）．

答案　必要　充分

解析　由于x＝0⇒x2＝2x，所以“x2＝2x”是“x＝0”的必要条件，“x＝0”是“x2＝2x”的充分条件．

1．知识清单：

（1）充分条件、必要条件的概念．

（2）充分性、必要性的判断．

（3）充分条件与判定定理，必要条件与性质定理的关系．

（4）充分条件与必要条件的应用．

2．常见误区：

充分条件、必要条件不唯一；求参数范围能否取到端点值．

1．使x>3成立的一个充分条件是（　　）

A．x>4B．x>0C．x>2D．x<2

答案　A

解析　只有x>4⇒x>3，其他选项均不可推出x>3.

2．使x>1成立的一个必要条件是（　　）

A．x>0B．x>3C．x>2D．x<2

答案　A

解析　只有x>1⇒x>0，其他选项均不可由x>1推出，故选A.

3．下列p是q的必要条件的是（　　）

A．p：

a＝1，q：

|a|＝1

B．p：

－1

a<1

C．p：

a

a

D．p：

a>b，q：

a>b＋1

答案　D

解析　要满足p是q的必要条件，即q⇒p，只有q：

a>b＋1⇒q：

a－b>1⇒p：

a>b，故选D.

4．下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的充分条件的是（　　）

A．若

＝

，则x＝yB．若x2＝1，则x＝1

C．若x＝y，则

＝

D．若x

答案　A

解析　B项中，x2＝1⇒x＝1或x＝－1；C项中，当x＝y<0时，

，

无意义；D项中，当xy2，所以B，C，D中p不是q的充分条件．

5．下列命题中，p是q的充分条件的是（　　）

A．p：

a是无理数，q：

a2是无理数

B．p：

四边形为等腰梯形，q：

四边形对角线相等

C．p：

x>0，q：

x≥1

D．p：

a>b，q：

ac2>bc2

答案　B

6．下列说法不正确的是________．（只填序号）

①“x>5”是“x>4”的充分条件；

②“xy＝0”是“x＝0且y＝0”的充分条件；

③“－2

答案　②

解析　②中由xy＝0不能推出x＝0且y＝0，则②不正确；①③正确．

7．条件p：

5－x<0，条件q：

x>a，若p是q的充分条件，则a的取值范围是__________．

答案　{a|a≤5}

解析　p：

x>5，若p是q的充分条件，则p⇒q，也就是说，p对应集合是q对应集合的子集，所以a≤5.

8．下列式子：

①a<0

其中能使

<

成立的充分条件有______．（只填序号）

答案　①②④

解析　当a<0

<0<

；

当b

<

<0；

当b<0

<0<

；

当0

<

，

所以能使

<

成立的充分条件有①②④.

9．指出下列各组命题中，p是q的什么条件：

（1）在△ABC中，p：

A>B，q：

BC>AC；

（2）p：

a＝3，q：

（a＋2）（a－3）＝0；

（3）p：

a

<1.

解　在

（1）中，由大角对大边，且A>B知BC>AC，反之也正确，所以p既是q的充分条件，也是q的必要条件；

在

（2）中，若a＝3，则（a＋2）（a－3）＝0，但（a＋2）（a－3）＝0不一定a＝3，所以p是q的充分条件但不是必要条件；

在（3）中，当a＝－2，b＝－1时，

＝2>1；当a＝2，b＝－1时，

＝－2<1，所以p既不是q的充分条件，也不是必要条件．

10．

（1）是否存在实数m，使2x＋m<0是x<－1或x>3的充分条件？

（2）是否存在实数m，使2x＋m<0是x<－1或x>3的必要条件？

解　

（1）欲使2x＋m<0是x<－1或x>3的充分条件，

则只要

⊆{x|x<－1或x>3}，

即只需－

≤－1，所以m≥2.

故存在实数m≥2，使2x＋m<0是x<－1或x>3的充分条件．

（2）欲使2x＋m<0是x<－1或x>3的必要条件，则只要{x|x<－1或x>3}⊆

，

这是不可能的．

故不存在实数m，使2x＋m<0是x<－1或x>3的必要条件．

11．对任意实数a，b，c，下列命题中，真命题是（　　）

A．“ac>bc”是“a>b”的必要条件

B．“ac＝bc”是“a＝b”的必要条件

C．“ac>bc”是“a>b”的充分条件

D．“ac＝bc”是“a＝b”的充分条件

答案　B

解析　“a＝b”⇒“a－b＝0”⇒“（a－b）c＝0”⇒“ac＝bc”，∴“ac＝bc”是“a＝b”的必要条件．

12．已知集合A＝{x∈R|－1

A．m≥2B．m≤2

C．m>2D．－2

答案　A

解析　因为x∈B成立的一个充分条件是x∈A，

所以A⊆B，所以3≤m＋1，即m≥2.

13．若A＝{x|a3}，且A是B的充分条件，则实数a的取值范围为_______________．

答案　{a|a≤－3，或a≥3}

解析　因为A是B的充分条件，

所以A⊆B，

又A＝{x|a3}．

因此a＋2≤－1或a≥3，

所以实数a的取值范围是{a|a≤－3，或a≥3}．

14．已知条件p：

x<－1或x>3，条件q：

x<－m＋1或x>m＋1（m>0），若条件p是条件q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是________．

答案　{m|0

解析　由题意，设集合A＝{x|x<－1或x>3}，B＝{x|<－m＋1或x>m＋1}，

因为条件p是条件q的充分不必要条件，即集合A是集合B的真子集，

所以

或

解得m<2，

又m>0，所以实数m的取值范围是0

15．设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么（　　）

A．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件

B．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件

C．丙既是甲的充分条件，又是甲的必要条件

D．丙既不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件

答案　A

解析　因为甲是乙的必要条件，所以乙⇒甲．

又因为丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，所以丙⇒乙，但乙⇏丙，

如图．

综上，有丙⇒甲，但甲⇏丙，

即丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件．

16．若p：

－2

关于x的方程x2＋ax＋b＝0有两个小于1的不等正根，则p是q的什么条件？

解　若a＝－1，b＝

，则Δ＝a2－4b<0，关于x的方程x2＋ax＋b＝0无实根，故p⇏q.

若关于x的方程x2＋ax＋b＝0有两个小于1的不等正根，不妨设这两个根为x1，x2，且0

于是0<－a<2,0

即－2

所以p是q的必要条件，但不是充分条件．

真理惟一可靠的标准就是永远自相符合。

——欧文

土地是以它的肥沃和收获而被估价的；才能也是土地，不过它生产的不是粮食，而是真理。

如果只能滋生瞑想和幻想的话，即使再大的才能也只是砂地或盐池，那上面连小草也长不出来的。

——别林斯基

我需要三件东西：

爱情友谊和图书。

然而这三者之间何其相通！

炽热的爱情可以充实图书的内容，图书又是人们最忠实的朋友。

——蒙田

时间是一切财富中最宝贵的财富。

——德奥弗拉斯多