初中学段式的运算.docx

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初中学段式的运算

信息化单元教学设计文本

单元课题名称

《初中学段“式”的运算》

主题内容概述

传统的数学教学模式中,教师侧重运用单一、机械的练习来培养学生的代数运算能力,不能很好地调动学生学习的主动性和积极性，不符合学生核心素养的培养理念。

随着素质教育和新课程改革的推进,教师逐渐意识到应不断更新教学的方式和理念,根据代数基础知识的需求和对学生运算能力的发展要求，进行初中学段“式”的运算为主题的教学设计是必要的。

初中学段中代数式的运算包含整式及其运算、因式分解、分式及其运算和二次根式及其运算，依据《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准》），二次根式根号下仅限于数，且在《标准》中将二次根式的概念及其加、减、乘、除运算等相关内容归属于实数的范畴。

因此，本教学设计的主题中不再涉及有关二次根式的内容。

所以，本设计属于单元教学设计的主题类教学设计，由整式及其运算、因式分解和分式及其运算三部分内容组成。

单元教学要素分析

数学分析

一、主题内容的数学本质、数学文化以及所渗透的数学思想

作为中学数学课程主要内容的初等代数，是古老算术的推广和发展。

在古代，当算术中积累了大量的关于各种数量问题的经验后，为了寻求系统的、更普遍的方法，以解决各类数量关系的问题，就产生了代数式，依据《标准》，在初中学段主要研究整式和分式两大类代数式。

代数式是数的化身，仍然可以进行如“数”一般的运算并服从基本运算定律，代数运算不仅仅是一个简单的用符号代替数字进行关系表示的过程，更是一种同质规律的抽象，随着不断完善，形成了完备的运算体系，同时也促进了数的概念的进一步发展,导致数域的扩充。

本主题教学设计中关于“式”及其运算的内容，实质上是对学生从具体的数的运算到符号化的代数运算的一次抽象代数教学，是一次在运算理论认识上的完备过程。

主题所包含的知识之间的关系十分紧密，关联性很强。

在教学中，类比思想贯穿始终，处处渗透了演绎化归思想，整体“换元”思想，同时为了更好的发展学生的几何直观，对数形结合应用意识的培养也融合在知识体系中，为发展学生的符号意识、掌握数与代数的基础知识和基本技能，初步形成运算能力，发展抽象思维提供了有效保障。

二、主题内容在本学段数学课程中的地位与作用

代数式的运算属于数学的“双基”内容，即基本知识和基本技能，依据《标准》，“运算能力”是十个核心概念之一，贯穿整个基础教育阶段。

学生通过对本主题的学习，将系统的形成“式”的运算的理论体系和一定的运算化简能力，能将生活中的各种数学现象与数学知识结合起来，通过代数式刻画现实生活中的各种数学模型，发展模型意识，并感受到数学的价值；同时，主题内各模块之间联系紧密，互为依托，相辅相成，是初中学段中运算能力培养的主阵地。

在教学过程中，培养学生从未知到已知、从特殊到一般的类比化归思想，并且进一步发展数形结合等数学思想方法，期望学生能够理解字母表示一般性的意义、发展符号意识，以及进一步学习用类比、归纳、转化等方法进行思考与运算。

还期望学生在学习“式”运算中，能够利用几何图形进行解释，将代数的抽象与几何的直观结合起来。

本主题教学设计内容中包含了大量的探究性活动和应用法则解决问题的活动，旨在学生能够理解运算的算理，同时在活动的过程中逐步积累数学活动经验，发展勇于探究、质疑及合作交流的精神，逐步形成更加科学、有效的逻辑推理能力。

三、主题内容与前后学段以及大学其他知识点之间的联系

本主题教学设计是在学生有理数的运算技能形成之后，从数的运算过渡到式的运算，是代数运算技能的基础教学，也是本学段中后续进行解方程和研究基本函数性质等内容的工具和手段，是研究代数式其他模块的必备基本技能。

同时代数式的基本运算技能也是高中学段代数部分学习的支撑点，诸如解高次不等式、研究抽象函数以及其他基本函数性质的基础支撑技能，更是作为一种化简运算的处理手段渗透到了后续学段中各个层面，例如圆锥曲线的相关性质探究就需要学生对分式的运算有一定的经验和能力积累；代数式的运算中对互逆的理解以及算理的掌握，对学生进行数论整除理论的学习也是至关重要的，尤其与有理数域中多项式的整除性的判断、可约理论的探究以及互素性等知识有着重要联系。

由此可见，本主题的内容与前后学段及大学知识点之间联系紧密。

课标分析

依据《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准》），结合本主题教学内容，课标分析如下：

1.经历数与代数的抽象、运算与建模等过程，体验从具体情境中抽象出数学符号的过程，理解代数式，掌握数与代数的基础知识和基本技能；建立数感、符号意识，初步形成运算能力，发展抽象思维.

2.通过探索具体问题过程中数量关系和变化规律的过程，掌握用代数式进行表述的方法，体会模型的思想，建立符号意识；借助现实情境，能分析简单问题中的数量关系，并会代入具体的值，进行求代数式值的运算，进一步理解字母表示数的意义.

3.要求学生掌握整式的基本运算技能，能够在理解整式概念的基础之上，掌握合并同类项、去括号和添括号法则，并能进行简单的整式加减法运算；了解整数指数幂的意义和基本性质，并能进行简单的整式乘法运算（其中多项式相乘仅指一次式之间以及一次式与二次式相乘），形成初步的代数式化简运算能力.

4.能推导乘法公式：

，

，了解公式的几何背景，并能利用公式进行简单计算.

5.能用提公因式法、公式法（直接利用公式不超过二次）进行因式分解（指数是正整数）.

6.了解分式和最简分式的概念，能利用分式的基本性质进行约分和通分；能进行简单的分式加减乘除运算.

教材比较分析

本主题教学设计覆盖的三部分内容：

整式及其运算、因式分解、分式及其运算，知识之间相辅相成，互为依托，形成有机的整体，是初中学段学生获得基本运算技能的重要支撑。

我们选取当下使用范围较广的人教2011课标版、北师大2011课标版和华东师大2011课标版三种教材进行教材比较分析。

依据《标准》的要求，三种版本的教材在设计理念和编写思路上大致相同：

（1）各教材都注重在学习中发展学生的运算能力、推理能力，均避免繁杂的题型训练，保证基本要求的同时，都有意识的满足学生多样化的学习需求；

（2）三种版本的教材在培养基本运算技能的同时，都重视将代数推理与几何直观结合，发展学生的几何直观；

（3）各版本教材都注重对运算法则的探索过程以及对算理的理解，发展有条例的思考和表达，避免知识灌输，强调数学思维的培养；

（4）各版本教材均注重发展学生的观察、发现、归纳及概括等基本技能。

三个版本知识的呈现过程科学合理，由浅入深，层次分明，重点突出，体现了新课标的要求。

但是不同的编者在编写上也一定存在差异，在编写体系、素材选取、教学活动及评价、例题和习题的设置等方面却不尽相同。

一、课程编排体系比较分析

1.内容安排的差异

知识内容

人教2011课标版

北师大2011课标版

华东师大2011课标版

整

式

的

加

减

第二章整式的加减

2.1整式

2.2整式的加减

数学活动

小结

第三章整式及其加减

3.1字母表示数

3.2代数式

3.3整式

3.4整式的加减

3.5探索与表达规律

回顾与思考

第3章整式的加减

3.1列代数式

3.2代数式的值

3.3整式

3.4整式的加减

小结

综合与实践身份证号码与学籍号

整

式

的

乘

除

第十四章整式的乘法与因式分解

14.1整式的乘法

14.1.1同底数幂的乘法

14.1.2幂的乘方

14.1.3积的乘方

14.1.4整式的乘法

14.2乘法公式

14.2.1平方差公式

14.2.2完全平方公式

14.3因式分解

14.3.1提取公因式法

14.3.2公式法

数学活动

小结

第一章整式的乘除

1.1同底数幂的乘法

1.2幂的乘方与积的乘方

1.3同底数幂的除法

1.4整式的乘法

1.5平方差公式

1.6完全平方公式

1.7整式的除法

回顾与思考

第12章整式的乘除

12.1幂的运算

12.2整式的乘法

12.3乘法公式

12.4整式的除法

12.5因式分解

小结

综合与实践面积与代数恒等式

（接上表）

知识内容

人教2011课标版

北师大2011课标版

华东师大2011课标版

因

式

分

解

合并于整式的运算

第四章因式分解

4.1因式分解

4.2提公因式法

4.3公式法

回顾与思考

合并于整式的运算

分

式

及

其

运

算

第十五章　分式

15.1 分式

15.1.1从分数到分式

15.1.2分式的基本性质

15.2 分式的运算

阅读与思考容器中的水能倒完吗

15.2.1分式的乘除

15.2.2分式的加减

数学活动

小结

第五章分式

5.1认识分式

5.2分式的乘除法

5.3分式的加减法

回顾与思考

第16章分式

16.1分式及其基本性质

16.2分式的运算

16.3零指数幂与负整指数幂

阅读材料光年和纳米

小结

2.编写顺序差异

人教2011课标版

北师大2011课标版

华东师大2011课标版

七年级上册

第二章　整式的加减

第三章整式及其加减

第3章整式的加减

七年级下册

第一章整式的乘除

八年级上册

第十四章整式的乘除与因式分解

第十五章分式

第12章整式的乘除

八年级下册

第四章因式分解

第五章分式与分式方程

第16章分式

从上述两个表格中可以看出，人教2011课标版、北师大2011课标版和华东师大2011课标版这三个版本的初中数学教材的确存在着差异，如：

（1）教材章节内容设置方面，人教2011课标版教材与华东师大2011课标版教材在每章后设置“小结”环节，更多的以构建本章知识体系为主，侧重于学生对数学知识之间联系的研究，而北师大2011课标版教材在每章末都编排了“回顾与思考”，以问题的形式出现，帮助学生通过思考与交流梳理所学的知识，建立符合个体认知特点的知识结构。

（2）课时教学环节设置方面，北师大2011课标版教材设立了“做一做”、“议一议”、“想一想”等栏目，使学生能够通过自主探索与合作交流形成新的知识，便于发展学生的自学能力；在这一点上，人教2011课标版教材和华东师大2011课标版教材在相关内容设置上更简明扼要，突显知识体系的逻辑性。

（3）在内容的安排方面，以同底数幂的除法为例，人教2011课标版教材则编排在整式的乘法一节中，让学生利用乘除的互逆关系学习新知识；而在北师大2011课标版教材和华东师大2011课标版教材中，均归属于幂的运算之中，紧跟在同底数幂的乘法之后，通过类比学习来研究算理。

（4）在内容编排的结构上，人教2011课标版教材与华东师大2011课标版教材则将因式分解的内容合并在整式的乘法一章内，而北师大2011课标版教材对因式分解单独设置成一章，其次，三种教材对学生能力和认知水平的理解略有差异，导致教学内容的设置出现年级差异和学期差异。

3.阅读材料差异

人教2011课标版教材、北师大2011课标版教材和华东师大2011课标版教材都设置了阅读性的拓展材料，这些材料均与学习内容息息相关，不做教学上的要求，起到扩展学生知识面，激发学生学习兴趣的作用，作为《标准》中“综合与实践”领域最基本的承载单元。

人教2011课标版教材在阅读材料方面有“信息技术应用”、“实验与探究”、“阅读与思考”等栏目。

这些阅读材料的呈现，让学生可以了解到更多的课外知识，对发展学生的数学思维，拓展学生的数学视野有极大的帮助。

此外信息技术的渗透，让学生们体会到信息技术与数学应用的紧密联系。

北师大2011课标版教材在阅读材料方面，在部分章节中插入“读一读”环节，以数学史、社会科学文化、探究实验、数学知识的实际应用为题，给学生提供自主学习的空间，让学生们体验数学在解决实际问题中的价值和作用，以及对于生活生产、天文、地理的重要作用。

华东师大2011课标版教材在阅读材料的选材上更为丰富，既有课外知识的延拓，又加大了对教材相关内容的进一步研究。

二、素材选取比较分析（概念引入、情景创设）

根据情景创设的问题背景的不同，可以将素材分为个人生活、公共常识、科学情境三类，具体分析如下表：

版本

个人生活情境

公共常识

科学情境

人教2011课标版

51例

101例

78例

北师大2011课标版

42例

89例

40例

华东师大2011课标版

33例

94例

42例

从上表可以看出，个人生活和公共常识类数量相差不多，而科学情境类的数量人教2011课标版教材高于北师大2011课标版教材和华东师大2011课标版教材。

此外，无任何实际背景的内容数量三者大致相当。

三、例题、习题的编排方式分析

1.例题、习题数量设置比较

（1）按题目类型比较：

版本

填空题

计算题

解答题

人教2011课标版

200

321

北师大2011课标版

102

112

华东师大2011课标版

136

183

（2）按知识内容比较：

整式

因式分解

分式

人教2011课标版

200

北师大2011课标版

154

112

华东师大2011课标版

189

101

前苏联教授玛什比茨通过研究得出：

“在对一个典型问题的运算形成解法之前，无论在什么学科中，不同的学生需要1-22次不等。

”所以教材课后练习题的数量应该适量，习题数量过多容易给学生造成沉重的学习负担，同时也会浪费学生的学习时间；而习题数量过少则会影响学生对知识的理解，达不到很好的辅助教学的目的，三个版本的教材习题数量虽然总量差不多，但是个别知识点所包含的习题数量的差距还是比较大，如因式分解内容的题目设置北师大2011课标版教材与另外两个版本教材差距较大。

三个版本解答题的设置上，人教2011课标版教材的数量明显高于另外两个版本教材，也就是说，人教2011课标版教材的课后练习更注重考察学生的数学思维，对问题的分析能力以及解决能力，为有能力的学生提供了更大的发展空间。

2.例题、习题梯度设置比较

人教2011课标版教材在每一课时后均设置“练习”栏目，在每一节结束时添设“习题”，习题从难易梯度上分为“复习巩固”、“综合运用”和“拓广探索”，计算题、解答题居多。

北师大2011课标版教材在每一课时后均设置“随堂练习”和“习题”，在习题设置中，又细分为“知识技能”、“数学理解”、“问题解决”和“联系拓广”，依据“四基”对学生的发展要求进行梯度设置，但无论数量还是难度均略低于人教版。

华东师大2011课标版教材没有对题目进行分组，无法让学生在直观上感知题目梯度，以题目难度来说，介于其他两种版本教材之间。

这体现了教材编写过程中编者对学生的个体差异性的考量，注重因材施教。

学情分析

一、学习新知识的预备状态

1.关于整式运算的学习预备状态

学生从小学开始就已经和字母有了接触，从小学到初中的数的运算实质就是代数式的运算，而且在小学学段中，学生已经经历了借助字母表示常用的数学公式和运算律的活动，对于字母表示数已具有一定的认知水平和经验积累。

此外，在进入初中学段以后，学生首先进行了数域的扩充学习，对符号运算具有了系统的理解和运用基础，具备了由数的运算转化为式的运算的知识基础，并且有理数及有理数的运算的深入学习，对处理含有字母形式的代数式的化简运算有了一定的能力基础。

类比有理数运算学习整式的运算是本主题教学的重点，也是是代数知识学习的重点内容，可以帮助学生认识到代数与现实世界、学生生活、相关学科联系十分密切，为数学本身和其他学科的研究提供了语言、方法和手段。

因此，结合有理数章节中所积累的能力和经验，学生在代数式的加减乘除运算的学习中，就可以从有理数的四则混合运算法则出发类比迁移。

2.关于因式分解的学习预备状态

对于互逆运算的相关关系的认知，在小学学段学生就已有储备，例如加法和减法运算，乘法和除法运算的互逆关系等，都是学生进一步构建代数式相关运算和互逆知识的基础，有一定的学习惯性和逻辑关联性。

在有关对因式分解学习的必要性层面，在小学学段整除理论的知识体系构建中，就早有接触，而且还可以直接类比于乘法分配律在小学运算教学中的应用，这也是进行本主题教学中因式分解模块教学的数学思维基础。

最后，在具体实施教学层面，整式的加减乘除运算已经在直观上为学生进行因式分解的学习提供了必要的基础，在互逆性的理解中更适合比较、归纳和类比学习，而且学生在代数式的其他相关内容的学习过程中已经积累了一些活动经验，对本主题教学内容的学习展开有相当充分的知识和能力准备。

3.关于分式运算的学习预备状态

在分式的认知和相关概念的构建学习前，学生的知识预备已经趋于完整，从知识的相似性或迁移类比学习层面来分析，在小学学段，学生就已经对分数的现实存在背景、运算的必要性以及分数结构认识、分数的性质及其运算储备了较完整的体系，这是我们进行分式相关求值运算的能力基础和知识基础，而且也是学生进行类比学习认知分式以及分式性质的重要对象，是学生从数到式认知构建中的直观表现。

此外，本主题设计中整式的运算和因式分解这两部分教学内容已经为分式的运算的学习提供了全面的技能准备和活动经验积累。

二、学生学习新知识的情感态度

基于小学学段的整式整除理论的学习，以及对分数性质和运算的学习认识，加之初中学段起始章节对字母表示数的探究认知，让学生感受了数的运算和式的运算的完备性和类比性，从这种递进式知识建构中，学生拥有了对数学统一美的初步感受。

特别地，学生所进行的这种从数的运算到式的运算的算理、运算能力的迁移，尤其是在利用现实情境来引入整式的运算、因式分解和分式的运算中，让该学段的学生有了数学学习合理性和必要性的深刻感受，为进一步让学生认识学习本主题的数学价值有了情感上的需要。

三、学生的学习方法、习惯以及风格

在之前学段的学习生涯中，学生具备了有理数域内的的四则混合运算以及乘方运算，通过实际情境认识了分数，并结合活动探究了分数的性质及分数的加减乘除运算等内容，并且已经接触了用字母表示的运算律和公式，具备了初步的抽象、归纳、概括、分析问题和解决问题的能力，从认知的特点来看，学生爱问好动、求知欲强，想象力丰富，对实际操作活动有着浓厚的兴趣，对直观的事物感知欲较强，是形象思维向抽象思维逐步过渡的阶段，要鼓励他们大胆尝试，充分发挥学生在教学中的主体能动作用，让学生自己通过观察、类比、活动、猜想、验证、归纳，共同探讨，进行小组间的讨论和交流、激发学习热情。

在具体的教学过程中，依据学生的知识预备状态，虽已经历具体问题符号化的过程，积累自主探究、合作学习的经验，培养了一定的符号感和推理能力，但是在整式运算等相关知识的学习过程中，仍然要培养学生的独立的学习能力和情感一事，让学生获得自我的数学认知，并鼓励学生通过经历探究学习的过程，形成从具体问题情境中抽象出数量关系和变化规律的能力。

另外在因式分解和分式运算的学习中，学生的抽象思维能力、逻辑思维能力、数学符号化能力有限，容易在逻辑推导过程和结构特点的认知上存在一定错误和偏见，因而让学生动手操作体验来避免习惯性思维形成的知识构建。

重点难点分析

一、单元整体教学重难点分析

1.整体教学重点分析：

代数式的运算能力是整个初中学段里最基本的技能要求之一，更是中学生发展核心素养的基本要点所需，因此本主题教学设计的重点就落在了“式”和与“式”有关的运算和相关性质的应用上，具体的有：

（1）体验从具体情境中抽象出数学符号的过程，理解代数式、整式、因式分解和分式等数与代数领域的相关基础概念。

（2）掌握“式”的运算的基本运算技能，运用整式的四则运算法则、因式分解法则、分式运算法则进行运算，初步形成运算能力，发展抽象思维。

（3）熟练运用乘法公式：

，

，了解公式的几何背景，并能利用公式法因式分解和进行简单计算。

（4）通过探索具体问题过程中数量关系和变化规律的过程，经历数与代数的抽象、运算与建模等过程，建立数感、符号意识。

2.整体教学难点分析：

（1）本主题三大模块内容之间的关系理解是难点之一。

整式乘法公式的理解掌握是简便运算的算理基础也是因式分解的学习基础，有承前启后的重要作用，因式分解的内容在整个学段的技能教学中有着能力衔接和知识上的承前启后作用，为分式的学习打下基础，同时分式的学习过程，又是对前者的算理再建构的过程。

（2）在教学过程中，渗透对学生的数学思想和基本技能的培养。

本主题教学中包含众多数学思想方法，如类比思想、化规思想、整体“换元”思想等，同时为发展学生的几何直观，对数形结合应用意识的培养也融合在知识体系中。

二、分课时教学重难点分析

依据《标准》，本主题教学设计中各个课时中的重难点为：

1.1用字母表示数：

理解用字母表示数的意义，使学生经历探索并用代数式表示规律的过程。

1.2代数式及其求值:

正确列出代数式表示现实问题中的数量关系；从不同的角度给代数式赋予实际意义,并能正确地求出代数式的值。

2.1整式：

单项式、多项式、整式概念的理解以及单项式的系数、次数和多项式的项数、次数等概念的理解。

2.2整式的加减法：

准确的找到同类项并正确合并同类项。

2.3幂的运算：

探索幂的各类运算法则并能理解算理，且能将法则熟练运用。

2.4整式的乘法：

理解整式乘法的运算法则并经历探究过程，能熟练运用法则进行运算。

2.5平方差公式与完全平方公式：

理解并熟练掌握乘法公式的运算法则，并能利用几何直观理解乘法公式的几何意义。

2.6整式的除法：

理解整式除法的运算法则并经历探究过程，能熟练运用法则进行运算。

3.1因式分解：

理解因式分解的概念，并感受因式分解与整式乘法的互逆关系。

3.2提公因式法：

因式分解的概念及提公因式法的应用，能正确找出多项式中各项的公因式和当公因式是多项式时的因式分解。

3.3公式法：

运用公式法进行因式分解，能正确识别公式的对象。

4.1认识分式：

了解分式的概念，明确分式和整式的区别。

4.2分式的基本性质：

理解分式的基本性质并能利用性质进行分式的约分。

4.3分式的乘除法：

探索分式的乘除运算法则，理解分式的乘除运算法则，会进行简单的分式的乘除法运算。

4.4分式的加减法：

类比分数加减法的法则，对分式的加减法法则的归纳和运用，会进行简单的分式加减运算。

教学方式分析

教学方式是为达到教学目的，实现教学内容，运用教学手段而进行的、由教学原则指导的一整套方式组成的、师生相互作用的活动。

在教学过程中积极践行新课程理念，要以教学方式的改变为突破口，突出学生个性学习，鼓励学生自主学习，倡导合作学习形成自主探索交流的方式。

同时应注重学生动手操作能力的培养，在教学活动中始终以教师为主线、学生为主体，让学生经历动手操作、合作交流、观察发现、归纳总结等一系列的学习活动，采用智能化教学评价策略，激活主题教学的活力。

根据初中学段学生的学习特点、个体差异，教学方式应该多样化、智能化，多种教学方式并存，教学手段采用学案引导下的多媒体教学。

1.创设生活化的情境

《标准》指出：

数学课程“不仅要考虑数学自身的特点，更应遵循学生学习数学的心理规律，强调从学生已有的生活经验出发，数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上。

”说明教学活动要以学生的发展为本，要把学生的个人知识、直接经验和现实背景作为数学教学的重要资源。

本主题教学设计

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