K12学习版高中数学 小问题集中营 专题24 由三角函数图象和性质求参数值范围.docx

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K12学习版高中数学小问题集中营专题24由三角函数图象和性质求参数值范围

专题2.4由三角函数图象和性质求参数值（范围）

一、问题的提出

对三角函数的图像与性质的考查，是近几年高考的热点，不仅有主观题，还有客观题。

客观题常以选择填空题的形式出现，往往涉及参数问题。

此类问题对学生来讲，有一定难度，就此总结几种常见做法。

．

二、问题的探源

函数

y＝sinx

y＝cosx

y＝tanx

图像

单调性

在（k∈Z）上单调递增；在2kπ（k∈Z）上单调递减

在[－π＋2kπ，2kπ]（k∈Z）上单调递增；在[2kπ，π＋2kπ]（k∈Z）上单调递减

在（k∈Z）上单调递增

函数

y＝sinx

y＝cosx

y＝tanx

对称性

对称中心：

（kπ，0）（k∈Z）；对称轴：

x＝＋kπ（k∈Z）

对称中心：

（k∈Z）；对称轴：

x＝kπ（k∈Z）

对称中心：

（k∈Z）

三、问题的佐证

（一）利用奇偶性确定参数的值

例1

（1）已知函数f（x）＝2sin是偶函数，则θ的值为（　　）

A．0B.C.D.

解：

∵函数f（x）为偶函数，∴θ＋＝kπ＋（k∈Z）．又∵θ∈，∴θ＋＝，解得θ＝，经检验符合题意．故选B.

（2）若函数y＝3cos（2x－＋φ）为奇函数，则|φ|的最小值为________．

解：

依题意得，－＋φ＝kπ＋（k∈Z），φ＝kπ＋（k∈Z），因此|φ|的最小值是.故填.

【评注】若是奇函数，则（），若是偶函数，则（）；

若是奇函数，则（），若是偶函数，则（）．

（二）利用单调性求参数的值．

例2．若函数在区间是减函数，则的取值范围是.

解:

时，是减函数，又，∴由得在上恒成立，．

（三）利用周期性和对称性求参数的值．

例3.若函数的图象关于直线对称，且当

时，，则（）

A.B.C.D.

【答案】A

从而

本题选择A选项.

（四）利用三角函数的最值求参数的值．

例4.函数,对任意,存在,使得成立,则实数的取值范围是．

解：

依题意可知，，故

，所以，解得.

例5.已知函数，若，，且的最小值为，则的值为（）

A.B.C.D.

【答案】C

∴

故选：

C

四、问题的解决

1．若将函数的图象向右平移个单位后得到的图象关于点对称，则（）

A.B.C.D.

【答案】A

2.将函数的图像向右平移个单位后得到函数的图像，若函数在区间上单调递增，则正数的取值范围为（）

A.B.C.D.

【答案】D

【解析】将函数f（x）=2cos2x的图象向右平移个单位后得到函数g（x）的图象，

得g（x）=2cos2（x﹣）=2cos（2x﹣），

由，得．

当k=0时，函数的增区间为[]．要使函数g（x）在区间[0，]，

则，解得a∈．故选D．

3.若为三角形中的最小内角，则函数的值域是（）

A.B.C.D.

【答案】B

4.当时，函数的最小值为（）

A.B.C.D.

【答案】B

【解析】函数

=sin+（1+cos）﹣

=（sin+cos）

=sin（+），

当时，+∈[，]，

∴sin（+）∈[，1]；∴函数f（x）=sin（﹣）的最小值为．故选：

B．

5.已知函数的一条对称轴为，且,则的最小值为（）

A.B.C.D.

【答案】C

本题选择C选项.

6.已知函数，则下列说法正确的是（）

A.函数的最小正周期为

B.函数的对称轴为（）

C.，

D.函数在上单调递增

【答案】B

【解析】A：

最小正周期为，，错误；

B：

正确；

C：

当时，，错误；

D：

当时，，，

所以，此时，不单调，错误。

故选B。

7.已知函数在区间上是增函数，且在区间上恰好取得一次最大值，则的取值范围是（）

A.B.C.D.

【答案】D

8.若是函数的零点，是函数的对称轴，在区间上单调，则的最大值是（）

A.B.C.D.

【答案】A

【解析】因为是函数的零点，是函数的对称轴，

所以，即,，即，即为正偶数.

因为在区间上单调，则，即..

当时，，得，,，所以，，，时，，其中，，即在区间上不单调；

当时，，得，,，所以，，，时，，满足在区间上不单调.

故的最大值是14.

故选A.

9.已知函数．若函数的图象关于直线对称，且在区间上具有单调性，则的取值集合为（）

A.B.C.D.

【答案】A

【解析】函数化简得:

的图象关于直线对称

则

故答案选

10.函数的值域为____________.

【答案】

【解析】

由于

当时，有最大值

当时，有最小值

故函数的值域为

11.若函数的图象相邻的两个对称中心为，，将的图象纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，得到的图象，则__________．

【答案】

12.已知函数．

（1）当时，求函数的值域；

（2）已知，函数，若函数在区间上是增函数，求的最大值．

【解析】

（1）∵．．．．．．．．．．．．．2分

∵，∴，∴，．．．．．．．．．．．．．4分

∴函数的值域为，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分

13.已知函数（），其最小正周期为．

（1）求在区间上的减区间；

（2）将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向右平移个单位，得到函数的图象，若关于的方程在区间上有且只有一个实数根，求实数的取值范围．

【解析】

（1），

因为的最小正周期为，所以，

即，

因为，所以

当时，即时，为减函数，

所以的减区间为．

14.已知函数.

（1）当时，求函数的值域；

（2）已知，函数，若函数在区间上是增函数，求的最大值．

【解析】

（1）．

∵，∴，∴．

∴函数的值域为

（2），

当，，

∵在上是增函数，且，

∴．

即，化简得，

∵，∴，，∴，解得，因此，的最大值为，

15.函数在它的某一个周期内的单调减区间是．

（1）求的解析式；

（2）将的图象先向右平移个单位，再将图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），所得到的图象对应的函数记为，若对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．