版高中数学必修二同步讲义人教A版第四章圆与方程431Word版含答案.docx
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版高中数学必修二同步讲义人教A版第四章圆与方程431Word版含答案
4.3.1 空间直角坐标系
学习目标
1.了解空间直角坐标系的建系方式.2.掌握空间中任意一点的表示方法.3.能在空间直角坐标系中求出点的坐标.
知识点 空间直角坐标系
思考1 在数轴上,一个实数就能确定一个点的位置.在平面直角坐标系中,需要一对有序实数才能确定一个点的位置.为了确定空间中任意一点的位置,需要几个实数?
答案 三个.
思考2 空间直角坐标系需要几个坐标轴,它们之间什么关系?
答案 空间直角坐标系需要三个坐标轴,它们之间两两相互垂直.
梳理
(1)空间直角坐标系及相关概念
①空间直角坐标系:
从空间某一定点引三条两两垂直,
且有相同单位长度的数轴:
x轴、y轴、z轴,这时我们说建立了一个空间直角坐标系Oxyz.
②相关概念:
点O叫做坐标原点,x轴、y轴、z轴叫做坐标轴,通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面,分别称为xOy平面、yOz平面、zOx平面.
(2)右手直角坐标系
在空间直角坐标系中,让右手拇指指向x轴的正方向,食指指向y轴的正方向,如果中指指向z轴的正方向,则称这个坐标系为右手直角坐标系.
(3)空间一点的坐标
空间一点M的坐标可以用有序实数组(x,y,z)来表示,有序实数组(x,y,z)叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标,记作M(x,y,z),其中x叫做点M的横坐标,y叫做点M的纵坐标,z叫做点M的竖坐标.
类型一 确定空间中点的坐标
例1 已知正四棱锥P-ABCD的底面边长为5
,侧棱长为13,建立的空间直角坐标系如图,写出各顶点的坐标.
解 因为|PO|=
=
=12,
所以各顶点的坐标分别为P(0,0,12),
A
,B
,
C
,D
.
引申探究
1.若本例中的正四棱锥建立如图所示的空间直角坐标系,试写出各顶点的坐标.
解 各顶点的坐标分别为P(0,0,12),A(5,0,0),B(0,5,0),C(-5,0,0),D(0,-5,0).
2.若本例中的条件变为“正四棱锥P-ABCD的底面边长为4,侧棱长为10”,试建立适当的空间直角坐标系,写出各顶点的坐标.
解 因为正四棱锥P-ABCD的底面边长为4,侧棱长为10,所以正四棱锥的高为2
,以正四棱锥的底面中心为原点,平行于BC,AB所在的直线分别为x轴、y轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则正四棱锥各顶点的坐标分别为A(2,-2,0),B(2,2,0),C(-2,2,0),D(-2,-2,0),P(0,0,2
).
反思与感悟
(1)建立空间直角坐标系时应遵循的两个原则
①让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面上.
②充分利用几何图形的对称性.
(2)求某点M的坐标的方法
作MM′垂直平面xOy,垂足M′,求M′的横坐标x,纵坐标y,即点M的横坐标x,纵坐标y,再求M点在z轴上射影的竖坐标z,即为M点的竖坐标z,于是得到M点坐标(x,y,z).
(3)坐标平面上的点的坐标特征
xOy平面上的点的竖坐标为0,即(x,y,0).
yOz平面上的点的横坐标为0,即(0,y,z).
xOz平面上的点的纵坐标为0,即(x,0,z).
(4)坐标轴上的点的坐标特征
x轴上的点的纵坐标、竖坐标都为0,即(x,0,0).
y轴上的点的横坐标、竖坐标都为0,即(0,y,0).
z轴上的点的横坐标、纵坐标都为0,即(0,0,z).
跟踪训练1 在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中,E、F分别是D1D、BD的中点,G在棱CD上,且|CG|=
|CD|,H为C1G的中点,试建立适当的坐标系,写出E、F、G、H的坐标.
解 建立如图所示的空间直角坐标系.
点E在z轴上,它的横坐标x、纵坐标y均为0,而E为DD1的中点,故E点坐标为(0,0,
).
过F作FM⊥AD、FN⊥DC,由平面几何知识,得|FM|=
,|FN|=
,故F点坐标为(
,
,0).
点G在y轴上,其横坐标x、竖坐标z均为0,又|GD|=
,故G点坐标为(0,
,0).
过H作HK⊥CG于K,由于H为C1G的中点,故K为CG的中点,故点H的坐标为(0,
,
).
类型二 已知点的坐标确定点的位置
例2 在空间直角坐标系Oxyz中,作出点P(5,4,6).
解 方法一
第一步:
从原点出发沿x轴正方向移动5个单位.第二步:
沿与y轴平行的方向向右移动4个单位.第三步:
沿与z轴平行的方向向上移动6个单位(如图所示),即得点P.
方法二 以O为顶点构造长方体,使这个长方体在点O处的三条棱分别在x轴,y轴,z轴的正半轴上,且棱长分别为5,4,6,则长方体与顶点O相对的顶点即为所求点P.
反思与感悟 已知点P的坐标确定其位置的方法
(1)利用平移点的方法,将原点按坐标轴方向三次平移得点P.
(2)构造适合条件的长方体,通过和原点相对的顶点确定点P的位置.
(3)通过作三个分别与坐标轴垂直的平面,由平面的交点确定点P.
跟踪训练2 点(2,0,3)在空间直角坐标系中的( )
A.y轴上B.xOy平面上
C.xOz平面上D.yOz平面上
答案 C
解析 ∵点(2,0,3)的纵坐标为0,∴此点是xOz平面上的点,故选C.
类型三 空间中点的对称问题
例3
(1)在空间直角坐标系中,点P(-2,1,4)关于点M(2,-1,-4)对称的点P3的坐标是( )
A.(0,0,0)B.(2,-1,-4)
C.(6,-3,-12)D.(-2,3,12)
(2)已知点A(-3,1,-4),则点A关于x轴的对称点的坐标为( )
A.(-3,-1,4)B.(-3,-1,-4)
C.(3,1,4)D.(3,-1,-4)
答案
(1)C
(2)A
解析
(1)根据题意知,M为线段PP3的中点,设P3(x,y,z),由中点坐标公式,可得x=2×2-(-2)=6,y=2×(-1)-1=-3,z=2×(-4)-4=-12,∴P3(6,-3,-12).故选C.
(2)∵在空间直角坐标系中,关于x轴对称的点的横坐标不变,纵坐标和竖坐标变为原来的相反数,又点A(-3,1,-4),∴点A关于x轴对称的点的坐标是(-3,-1,4).故选A.
反思与感悟
(1)利用线段中点的坐标公式可解决关于点的对称问题.
(2)解决关于线对称问题的关键是关于“谁”对称,“谁”不变,如本例
(2)中点A关于x轴对称,则对称点的横坐标不变,纵、竖坐标都变为其相反数.
跟踪训练3 在空间直角坐标系中,P(2,3,4),Q(-2,3,-4)两点的位置关于______对称.
答案 y轴
例4 在空间直角坐标系中,点P(1,3,-5)关于平面xOy对称的点的坐标是( )
A.(-1,3,-5)B.(1,-3,5)
C.(1,3,5)D.(-1,-3,5)
答案 C
解析 ∵两点关于平面xOy对称,则横坐标相同,纵坐标相同,竖坐标互为相反数,∴点P(1,3,-5)关于平面xOy对称的点的坐标是(1,3,5).故选C.
反思与感悟 本题易错点是把关于平面对称与关于线对称搞混,破解此类题关键是关于“谁”对称,“谁”不变,如本题,点P关于平面xOy对称,则对称点的横、纵坐标不变,竖坐标变为其相反数.
跟踪训练4 点(1,a,b)关于平面xOy及x轴的对称点的坐标分别是(1,2,c)和(d,-2,-3),则a,b,c,d的值分别是________.
答案 2,3,-3,1
1.点P(a,b,c)到坐标平面xOy的距离是( )
A.
B.|a|
C.|b|D.|c|
答案 D
解析 点P在xOy平面的射影的坐标是P′(a,b,0),所以|PP′|=|c|.
2.以棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB,AD,AA1所在的直线为坐标轴,建立空间直角坐标系,如图所示,则正方形AA1B1B的对角线的交点坐标为( )
A.(0,
,
)B.(
,0,
)
C.(
,
,0)D.(
,
,
)
答案 B
解析 由题图得A(0,0,0),B1(1,0,1),
所以对角线的交点即为AB1的中点,
由中点坐标公式,可得对角线的交点坐标为(
,0,
).
3.如图所示,点P′在x轴的正半轴上,且|OP′|=2,点P在xOz平面内,且垂直于x轴,|PP′|=1,则点P的坐标是________.
答案 (2,0,1)
4.点P(1,1,1)关于xOy平面的对称点P1的坐标为______;点P1关于z轴的对称点P2的坐标为________.
答案 (1,1,-1) (-1,-1,1)
解析 点P(1,1,1)关于xOy平面的对称点P1的坐标为(1,1,-1),点P1关于z轴的对称点P2的坐标为(-1,-1,1).
5.如图,正四棱柱ABCD-A1B1C1D1(底面为正方形的直棱柱)中,|AA1|=2|AB|=4,点E在CC1上且|C1E|=3|EC|.试建立适当的坐标系,写出点B,C,E,A1的坐标.
解 以点D为坐标原点,射线DA,DC,DD1为x轴、y轴、z轴的正半轴,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.
依题设知,B(2,2,0),C(0,2,0),E(0,2,1),A1(2,0,4).
1.空间中确定点M的坐标的三种方法
(1)过点M作MM1垂直于平面xOy,垂足为M1,求出M1的横坐标和纵坐标,再由射线M1M的指向和线段MM1的长度确定竖坐标.
(2)构造以OM为体对角线的长方体,由长方体的三个棱长结合点M的位置,可以确定点M的坐标.
(3)若题中所给的图形中存在垂直于坐标轴的平面,或点M在坐标轴或坐标平面上,则利用这一条件,再作轴的垂线即可确定点M的坐标.
2.求空间对称点的规律方法
(1)空间的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题,要掌握对称点的变化规律,才能准确求解.
(2)对称点的问题常常采用“关于谁对称,谁保持不变,其余坐标相反”这个结论.
课时作业
一、选择题
1.如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,则点B1的坐标是( )
A.(1,0,0)B.(1,0,1)C.(1,1,1)D.(1,1,0)
答案 C
解析 点B1到三个坐标平面的距离都为1,易知其坐标为(1,1,1),故选C.
2.在空间直角坐标系中,已知点P(1,
,
),过点P作平面yOz的垂线PQ,则垂足Q的坐标为( )
A.(0,
,0)B.(0,
,
)
C.(1,0,
)D.(1,
,0)
答案 B
3.在空间直角坐标系中,P(2,3,4)、Q(-2,-3,-4)两点的位置关系是( )
A.关于x轴对称
B.关于yOz平面对称
C.关于坐标原点对称
D.以上都不对
答案 C
解析 当三个坐标均相反时,两点关于原点对称.
4.若点P(-4,-2,3)关于xOy平面及y轴对称的点的坐标分别是(a,b,c),(e,f,d),则c与e的和为( )
A.7B.-7C.-1D.1
答案 D
解析 ∵点P(-4,-2,3)关于xOy平面及y轴对称的点的坐标分别为(-4,-2,-3),(4,-2,-3),
∴c=-3,e=4,则c+e=1.
5.设y∈R,则点P(1,y,2)的集合为( )
A.垂直于xOz平面的一条直线
B.平行于xOz平面的一条直线
C.垂直于y轴的一个平面
D.平行于y轴的一个平面
答案 A
解析 点P(1,y,2)的集合为横、竖坐标不变,而纵坐标变化的点的集合,由空间直角坐标的意义知,点P(1,y,2)的集合为垂直于xOz平面的